PME2100 - MecA P2

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(Parte 1 de 2)

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Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231 CEP 05508-970, São Paulo, SP Departamento de Engenharia Mecânica

PME 2100 – MECÂNICA A – Segunda Prova – 19 de outubro de 2010 Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido o uso de calculadoras)

QUESTÃO 1 (3,0 pontos): Sabendo que os dois discos têm o mesmo raio R e o mesmo peso mg, e que o coeficiente de atrito tem o mesmo valor µ em todos os contatos, pede-se: a) desenhar o diagrama de corpo livre de cada disco; b) calcular todas as forças na situação de equilíbrio; c) determinar o valor mínimo de µ para que o equilíbrio seja possível.

d) para esse valor mínimo de µ calcular o máximo valor de F compatível com o equilíbrio.

QUESTÃO 2 (3,5 pontos): Considere uma bobina com um cabo enrolado conforme mostrado na figura. O raio de enrolamento é 2R e o raio de rolamento é R. Sabendo que não há escorregamento entre a bobina e o suporte fixo e que o cabo é tracionado horizontalmente com velocidade constante v, pede-se:

a) o CIR e o vetor de rotação ω da bobina; b) a velocidade Ov e a aceleração

Oa do centro geométrico O da bobina; c) a aceleração Aa do ponto A da bobina; d) dizer se o cabo está se enrolando ou desenrolando. Justifique.

QUESTÃO 3 (3,5 pontos): O disco está conectado pelo seu centro C à peça CPO por um mancal, de tal forma que possa girar em torno do segmento CP mantendo sua face plana sempre perpendicular a este segmento. O eixo Oy está sempre na direção do segmento OE, sendo que não há escorregamento no ponto de contato E entre o disco e a plataforma. O sistema de coordenadas Oxyz é solidário à peça CPO. Em relação

ao referencial fixo, os vetores de rotação da plataforma e da peça CPO são, respectivamente, kpp constante, e kbb

ωω=, constante. Os pontos P e O pertencem ao eixo Oz e são fixos.

O segmento CP é paralelo à face plana da plataforma e a esta, por sua vez, é perpendicular ao eixo Oz. No instante mostrado na figura, o segmento CA (comprimento R), é paralelo ao eixo

Oz. Adotando a peça CPO como referencial móvel, determine:

a) O vetor de rotação relativa reld,ω e o vetor de rotação absoluta dω do disco. b) As acelerações relativa relAa, , de Coriolis CorAa, e absoluta Aa do ponto A do disco.

c) A relação entre bω e pω para que a velocidade absoluta do ponto A seja zero no instante mostrado na figura.

F g

A Plataforma x y z P

C ωb ωp

Disco Referencial fixo v O

R 2R

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QUESTÃO 1 (3,0 pontos): Sabendo que os dois discos têm o mesmo raio R e o mesmo peso mg, e que o coeficiente de atrito tem o mesmo valor µ em todos os contatos, pede-se:

a) desenhar o diagrama de corpo livre de cada disco; b) calcular todas as forças na situação de equilíbrio; c) determinar o valor mínimo de µ para que o equilíbrio seja possível. d) para esse valor mínimo de µ calcular o máximo valor de F compatível com o equilíbrio.

No segundo disco, para equilibrar a normal em B, a

força de atrito em C deve ser para a esquerda. Sendo assim, para equilibrar momentos em torno do centro do segundo disco, a força de atrito em B deve ser para baixo. Conclui-se então, pelo equilíbrio de momentos em torno do centro do primeiro disco, que a força de atrito em A deve ser para a esquerda.

No primeiro disco:

BatAatz

BatAy AatBx

No segundo disco:(0,5)

CatBatz

BatCy CatBx

Assim, de (3) e (6): atCatBatAatFFFF=== Substituindo (4) em (1): FF2FFatAatCat==+

FFat=
Substituindo em (2), (4) e (5):(0,5)
FmgNA−=2
FmgNC+=

Lei de Coulomb em A: AatANFµ≤

Fmg

FFmgF

Lei de Coulomb em B: BatBNFµ≤

≥µ⇒µ≤(0,5)

Lei de Coulomb em C: CatCNFµ≤

Fmg Fmáxmín 2

Assim: i) se mgF≤<0 ⇒ 1=mínµ i) se mgFmg2<< ⇒ i) se mgF2≥ ⇒ não há equilíbrio

F g

F g

NC FatA

FatB

FatB

FatC mg mg

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QUESTÃO 2 (3,5 pontos): Considere uma bobina com um cabo enrolado conforme mostrado na figura. O raio de enrolamento é 2R e o raio de rolamento é R. Sabendo que não há escorregamento entre a bobina e o suporte fixo e que o cabo é tracionado horizontalmente com velocidade constante v, pede-se:

a) o CIR e o vetor de rotação ω da bobina; b) a velocidade Ov e a aceleração

Oa do centro geométrico O da bobina; c) a aceleração Aa do ponto A da bobina; d) dizer se o cabo está se enrolando ou desenrolando. Justifique.

Não há escorregamento, então: 0vA =, logo

ACIR≡(0,5)

R vRviRiv jRkCIRBkivvB

(0,5)
−=(0,5)

Como O se translada horizontalmente com v constante: 0aO

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