Baixe Aula 11- Analise Combinatoria Parte II e outras Notas de aula em PDF para Engenharia Informática, somente na Docsity! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 1 AULA ONZE: Análise Combinatória (Parte II) Olá, amigos! Tudo bem com vocês? Esta é nossa décima primeira aula, e ainda sequer chegamos à metade de nosso curso! Longo é o caminho do Raciocínio Lógico... Muitos assuntos estão ainda por vir! Mas o fato é que estamos seguindo sempre em frente! Já dizia o sábio que toda grande caminhada se inicia com o primeiro passo! E em se tratando de preparação para concursos, isso se torna muito verdadeiro! O importante é não se deixar esmorecer! Força e coragem são as palavras de ordem! E por falar nisso, criemos coragem e passemos à resolução do dever de casa da aula passada! Adiante! Dever de Casa 01. (BNB 2002 FCC) Apesar de todos caminhos levarem a Roma, eles passam por diversos lugares antes. Considerando-se que existem três caminhos a seguir quando se deseja ir da cidade A para a cidade B, e que existem mais cinco opções da cidade B para Roma, qual a quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, passando necessariamente por B? a) Oito b) Dez c) Quinze d) Dezesseis e) Vinte Sol.: A questão é das mais simples. Nosso objetivo aqui é o de, partindo da cidade A, chegar a Roma, passando necessariamente pela cidade B. Facilmente percebemos que há como dividir esse evento em duas etapas bem definidas: 1ª) Partir de A e chegar a B; 2ª) Partir de B e chegar a Roma. Trabalharemos com o Princípio da Contagem! Da cidade A para a cidade B, teremos: 3 caminhos possíveis; Da cidade B para Roma, teremos: 5 caminhos possíveis. Multiplicando-se os resultados parciais de cada etapa, teremos: 3 x 5 = 15 Número total de possibilidades do evento completo! Resposta) Letra C. 02. (AFCE TCU 99 ESAF) A senha para um programa de computador consiste em uma seqüência LLNNN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é dado por: a) 226 310 b) 262 103 c) 226 210 d) 26! 10! e) C26,2 C10,3 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 2 Sol.: Nosso conjunto universo consiste do seguinte: {26 letras, 10 algarismos}. (Todos perceberam que são dez algarismos? Cuidado: de zero a nove, temos dez algarismos!) Pois bem! O objetivo agora é o de formar uma senha, composta por duas letras e por três algarismos. Ou seja, nosso subgrupo será o seguinte: Letra Letra Número Número Número Vamos lá! Primeiro questionamento: na hora de formar o subgrupo, poderemos usar elementos repetidos (iguais)? Sim! Pois assim dispõe o enunciado: Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos! O “ou não” aí ficou inutilizado! Ora, se os elementos do subgrupo podem ser iguais, então trabalharemos com o Princípio Fundamental da Contagem! Não foi assim que aprendemos na aula passada? Claro! Para quem está mais esquecido, segue aí o esquema de memória auxiliar: Elementos iguais no subgrupo Elementos distintos no subgrupo Daí, trabalhando pelo Princípio, dividiremos o evento em cinco etapas, e descobriremos o número de resultados possíveis para a realização de cada uma delas. Teremos: 1ª Etapa) Definição da primeira letra Há 26 possibilidades; 2ª Etapa) Definição da segunda letra Há 26 possibilidades; 3ª Etapa) Definição do primeiro algarismo Há 10 possibilidades; 4ª Etapa) Definição do segundo algarismo Há 10 possibilidades; 5ª Etapa) Definição do terceiro algarismo Há 10 possibilidades. Finalmente, multiplicando-se os resultados parciais de cada etapa, teremos o resultado final para todo o evento. Teremos: Total de Possibilidades para todo o Evento = 26x26x10x10x10 = 262x103 Resposta) Letra B. Antes de passarmos à próxima questão, façamos um breve comentário sobre um aspecto desse enunciado. Disse ele que o programa (que cria a senha) não faz distinção entre letras maiúsculas ou minúsculas. O que significa isso? Ora, significa que se você usar uma letra S (maiúscula) ou s (minúscula), para o programa não haveria qualquer diferença! Tanto faz! Princípio Fundamental da Contagem Arranjo ou Combinação CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 5 Multiplicando-se estas duas permutações (a dos homens e a das mulheres), chegaremos ao resultado para esta primeira situação (homem na ponta da esquerda)!. Teremos: 24x24=576 Seguindo o mesmíssimo raciocínio, percebemos que haverá também 576 possíveis maneiras de alocar as oito pessoas, alternando-se homens e mulheres, caso tenhamos uma mulher na ponta da esquerda. Finalmente, somando-se os resultados das duas situações que respondem à questão, teremos: 576 + 576 = 1052 Resposta! Mas a questão na acaba aí! Agora o enunciado quer que coloquemos as oito pessoas nas cadeiras, de sorte que os homens permaneçam juntos, o mesmo se dando com as mulheres! Vimos, na aula passada, que quando o enunciado amarra que tais elementos devem estar sempre juntos, passaremos a tratá-los como sendo um único elemento! Lembrados disso? Daí, teremos: P4=4!=24 P4=4!=24 H H H H M M M M P2=2!=2 Multiplicando-se essas permutações parciais, teremos: 24x24x2=1052 Reposta! Resposta) Letra C! A pergunta que fica no ar é a seguinte: foi coincidência esses dois resultados iguais (1052)? Absolutamente não! Essas duas situações requeridas pelo enunciado (1ª: homens e mulheres alternados; e 2ª: homens juntos e mulheres juntas) produzirão sempre os mesmos resultados! Caso já soubéssemos disso antes de começar a questão, nem precisaríamos resolvê-la, haja vista que somente uma opção de resposta traz dois resultados iguais! Marcaríamos prontamente a opção C. Você pode (e deve!) tentar fazer esses mesmos dois exercícios (“homens e mulheres alternados” e “homens juntos e mulheres juntas”) para seis pessoas (três rapazes e três moças) e para dez pessoas (cinco rapazes e cinco moças), e comparar os resultados encontrados! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 6 05. (Oficial de Chancelaria 2002 ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a: a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) 48 Sol.: Aqui não tem mais segredo! A questão especifica que dois elementos têm que estar sempre juntos! Daí, consideraremos como se fossem um só elemento! Já aprendemos, pelos exemplos da aula anterior, que iremos resolver essa questão por Permutação. E teremos: P2=2!=2 P4=4!=24 Daí, multiplicando-se as permutações parciais, teremos: 2 x 24 = 48 Resposta! (Letra E) Esse dever de casa foi muito fácil, vocês não acharam? Realmente! Daremos, agora, continuidade ao estudo da Análise Combinatória, passando a conhecer alguns aspectos específicos do assunto, os quais, embora não sejam nada complicados, merecem uma atenção especial da nossa parte. Praticamente, o que nos falta conhecer são dois tópicos referentes à Permutação – Permutação Circular e Permutação com Repetição – e um tipo específico de questão de Combinação que já foi muito e muito explorado em provas recentes! Comecemos com a Permutação Circular. # Permutação Circular: Comparemos os dois exemplos abaixo: Exemplo 1) De quantas formas podemos colocar quatro pessoas – João, José, Pedro e Paulo – em uma fila indiana? Sol.: Até já trabalhamos esse exemplo, mas vale aqui a reprise. Fila indiana, vocês sabem, é aquela em que as pessoas ficam uma após a outra. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 7 O conjunto universo é formado pelas quatro pessoas. E o subgrupo também! Para formar o subgrupo, poderemos usar elementos iguais? Obviamente que não, uma vez que estamos trabalhando com pessoas. Daí, constatamos que a solução virá pelo caminho do Arranjo ou da Combinação. Mas qual dos dois? Criando um resultado possível, teremos: {João, José, Pedro, Paulo} Eis a nossa fila indiana! Agora, invertendo a ordem acima, teremos: {Paulo, Pedro, José, João} São filas iguais? Não! Apesar de serem as mesmas pessoas, as filas são distintas! Logo, o caminho de resolução é o Arranjo. Arranjo de quantos em quantos? De quatro em quatro. Ou seja, Permutação de 4. P4=4!=4x3x2x1=24 Resposta! Exemplo 2) De quantas maneiras podemos colocar quatro pessoas em quatro posições ao redor de uma mesa redonda? Sol.: Vamos desenvolver todo o raciocínio. O conjunto universo é formado por quatro pessoas. E o subgrupo também! Os elementos do subgrupo têm que ser distintos, uma vez que são pessoas! Criemos um resultado possível: Mudando a ordem dos elementos do resultado acima, teremos: As mesas são iguais? Não! São diferentes! João José Pedro Paulo Pedro Paulo João José CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 10 Para identificarmos o caminho de resolução, vamos considerar apenas a existência dos médicos. Ok? Daí, o conjunto universo seria de sete médicos, e o subgrupo que queremos formar terá três médicos. Os elementos do subgrupo podem ser iguais? Claro que não: são pessoas! Daí, Arranjo ou Combinação! Criemos um resultado possível: {João, José, Pedro} Invertamos a ordem do resultado supra: {Pedro, José, João} A equipe formada pelos médicos João, José e Pedro é diferente da equipe formada pelos médicos Pedro, José e João? Claro que não! São a mesma equipe! Daí, concluímos: vamos trabalhar com Combinação! Pois bem! O que traz de novidade este enunciado? A única novidade é que nosso conjunto universo é formado por duas categorias distintas! Neste caso, médicos e enfermeiros! (Poderia ser: alunos e alunas, homens e mulheres, operários e operárias, gerentes e diretores etc). E a questão estabelece que, na hora de formar o subgrupo, participarão tantos elementos de uma categoria, e tantos da outra. Entendido? Como faremos agora? Simples: dividiremos a questão em duas! Cada categoria será trabalhada em separado da outra. Ou seja, faremos duas operações de Combinação! Teremos: Conjunto Universo: { 7 médicos , 5 enfermeiros } Subgrupo: === 123!.4 !4567 !3!.4 !7 3,7 xx xxxC 35 === 12!.3 !345 !2!.3 !5 2,5 x xxC 10 Daí, multiplicaremos os resultados de cada lado, e chegaremos à resposta! Entendido? Apenas isso! Reprisando: a questão sai por Combinação, e teremos o conjunto universo formado por duas (ou mais!) categorias. A questão ainda dirá quantos elementos de cada categoria estarão presentes no subgrupo. Daí, dividiremos a questão e resolveremos o problema da combinação para cada categoria separadamente! Depois disso, multiplicaremos os resultados parciais e chegaremos à resposta! Mais um exemplo: (AFTN 98 ESAF) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2 mulheres é: a) 5400 b) 165 c) 1650 d) 5830 e) 5600 Sol.: 35x10=350 Resposta! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 11 Para identificar o caminho de resolução, consideremos apenas a categoria das mulheres (por exemplo). Daí, existem 10 mulheres no conjunto universo e queremos formar subgrupos com duas delas. Como são pessoas, os elementos do subgrupo têm que ser distintos! Arranjo ou Combinação! Qual? Criando um resultado possível: {Maria e Marta} Invertendo: {Marta e Maria} A comissão formada por Maria e Marta é diferente da formada por Marta e Maria? Não! São exatamente iguais! Logo, a questão sai por Combinação! Pois bem! Sabendo que o caminho de resolução é a Combinação, observamos também que o conjunto universo é, na verdade, composto por duas categorias: a dos homens e a das mulheres. Daí, já sabemos: partiremos a questão em duas metades, e resolveremos a combinação de cada categoria em separado. Teremos: Conjunto Universo: { 10 homens , 10 mulheres } Subgrupo: === 123!.7 !78910 !3!.7 !10 3,10 xx xxxC 120 === 12!.8 !8910 !2!.8 !10 2,10 x xxC 45 Daí, multiplicaremos os resultados de cada lado, e chegaremos à resposta! (AFC 2005 ESAF) Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a realizar apresentações de dança no exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que nas apresentações do programa de danças devem participar pelo menos duas meninas, o número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas é igual a: a) 286 d) 371 b) 756 e) 752 c) 468 Sol.: Esta questão é parecida com a anterior, e pelos mesmos motivos expostos anteriormente, ela também se trata de uma questão de combinação! Porém, esta questão torna-se diferente da anterior porque o número de meninas e meninos pode variar dentro do grupo das seis crianças! A questão pede pelo menos duas meninas no grupo de seis crianças, daí teremos três formações possíveis quanto ao número de meninas e meninos dentro do grupo: 1. Duas meninas e quatro meninos. 2. Três meninas e três meninos. 3. Quatro meninas e dois meninos. Dessa forma, para cada uma das formações acima teremos que calcular o número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas. Ao final desses cálculos, somaremos os resultados parciais obtidos para acharmos a resposta da questão. 120x45=5400 Resposta! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 12 1º) Número de maneiras com duas meninas e quatro meninos. Temos 4 meninas para escolher 2, e temos 7 meninos para escolher 4. 4,72,4 CC × = !4!.3 !7 !2!.2 !4 × = 356× = 210 2º) Número de maneiras com três meninas e três meninos. Temos 4 meninas para escolher 3, e temos 7 meninos para escolher 3. 3,73,4 CC × = !3!.4 !7 !3!.1 !4 × = 354× = 140 3º) Número de maneiras com quatro meninas e dois meninos. Temos 4 meninas para escolher 4, e temos 7 meninos para escolher 2. 2,74,4 CC × = !2!.5 !7 !4!.0 !4 × = 211× = 21 Total de maneiras = 210 + 140 + 21 = 371 Resposta! (Gestor Fazendário MG 2005 ESAF) Marcela e Mário fazem parte de uma turma de quinze formandos, onde dez são rapazes e cinco são moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por seis formandos. O número de diferentes comissões que podem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mário não participe é igual a: a) 504 d) 90 b) 252 e) 84 c) 284 Sol.: Sem dúvidas, trata-se de uma questão de combinação! Dados fornecidos: - Uma turma de quinze formandos (dez rapazes e cinco moças). - A comissão é composta por seis formandos. - Marcela participa da comissão e Mário não participa. O Mário não participará, de maneira nenhuma, da comissão, então podemos fazer de conta que ele não existe, e assim teremos somente catorze formandos (nove rapazes e cinco moças)! A Marcela tem lugar garantido na comissão de seis formandos, restando cinco lugares a serem disputados entre os catorze formandos. Portanto, para descobrirmos o total de diferentes comissões, basta fazer uma combinação de catorze formandos para cinco lugares: =××= ×××× ×××× = ×××× ××××× == 111314 12345 1011121314 12345.!9 !91011121314 !5!.9 !14 5,14C 2002 Resposta! Esta questão foi anulada porque nenhuma das alternativas continha a resposta correta!