Raciocinio logico XVI

Raciocinio logico XVI

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AULA QUINZE: Matrizes & Determinantes (Parte I)

Olá, amigos!

Pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula 15 na semana passada. Motivos de força maior nos impediram de fazê-lo, mas ei-nos aqui, para encerramos o assunto iniciado na aula passada – Matrizes.

Esperamos que todos tenham aprendido bem o assunto e que tenham resolvidos as questões que ficaram do dever de casa passado. Caso alguém tenha encontrado alguma dificuldade, é só dar uma conferida nas respectivas resoluções, apresentadas na seqüência. Vamos a elas!

Dever de Casa

a) 2 x 2
b) 3 x 3

01. (TFC-97) Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3), (3x4) e (4x2), então a expressão [A . (B . C)]2 tem ordem igual a: c) 4 x 4 d) 6 x 6 e) 12 x 12 Sol.:

Uma questão que trata unicamente acerca da ordem (dimensão) das matrizes. E isso já aprendemos perfeitamente. Vamos, portanto, substituir a letra da matriz pela sua dimensão, conforme nos forneceu o enunciado. Ok?

Primeiramente devemos fazer o produto das matrizes B e C, que estão dentro do parêntese! Teremos:

(B3x4) x (C4x2)

(3 x 4) x (4 x 2)
“meios”
“extremos”

O resultado, conforme podemos ver no esquema acima, será uma nova matriz de dimensão (3x2), que são os extremos das dimensões das matrizes multiplicadas!

Pois bem! Teremos agora é multiplicar a matriz A, de dimensão (2x3) pela matriz produto que acabamos de encontrar, de dimensão (3x2). Teremos:

(2 x 3) x (3 x 2)
“meios”
“extremos”

Daí, chegamos a uma nova matriz, de dimensão (2x2), conforme percebemos pelo esquema acima. Esse é o resultado final do produto [A . (B . C)].

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Só que a questão quer mais! Quer que elevemos esse resultado ao quadrado! Viram? É preciso, finalmente, que nós multipliquemos essa matriz resultante por ela mesma. Teremos, pois, que:

(2 x 2) x (2 x 2)
“meios”
“extremos”

Ou seja, o resultado final da expressão trazida pelo enunciado é justamente uma matriz quadrada de 2ª ordem: uma matriz de dimensão (2x2) Æ Resposta! a X, assinale os valores de a e b, de modo que AX=B a) a=0 e b=1 b) a=1 e b=0 c) a=0 e b=0 d) a=1 e b=1 e) a=0 e b=-1

Sol.: A questão quer que façamos o produto entre as matrizes A e X, e que igualemos esse resultado à matriz B. Comecemos, pois, pelo produto. Teremos:

Daí, igualando a matriz produto encontrada acima à matriz B, teremos:

Æ a+2b=2e Æ b=1

Dessa igualdade, extrairemos os seguintes resultados:

Pronto! Se b=1, então, substituindo esse resultado na primeira equação acima, teremos que: Æ a+2b=2 Æ a=2-2b Æ a=2-2(1) Æ a=2-2 Æ a=0

Com isso, chegamos ao nosso resultado: a=0 e b=1 Æ Resposta!

03. (AFC/CGU 2003/2004) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a

CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO w.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que aij = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a: a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169

Sol.: Resolvemos questões praticamente iguais a essa na aula passada. Se o enunciado pede que calculemos o valor de X31 e de X13, e é dito que a matriz X é a que resulta da soma entre as matrizes A e B, então, na verdade, somente nos interessarão os valores dos seguintes elementos: A31 e A13, B31 e B13. Mais do que isso não precisa, uma vez que teremos que:

Æ X31 = A31 + B31e
Æ X13 = A13 + B13

A lei de formação da matriz A é dada pela questão como sendo aij = i2. Daí, teremos que:

Æ A31 = (3)2 = 9e A13 = (1)2 = 1
Æ B31 = (3-1)2 = 4e B13 = (1-3)2 = 4

Já no tocante à matriz B, teremos que sua lei de formação é a seguinte: bij = (i-j)2. Daí:

Æ X31 = A31 + B31Æ X31 = 9+4 = 13
Æ X13 = A13 + B13Æ X13 = 1+4 = 5

De posse desses resultados, vamos chegar agora ao seguinte:

O que nos pede, finalmente, a questão? Pede que multipliquemos esses dois últimos resultados obtidos. Teremos, pois, que:

Æ X31 . X13 = 13 x 5 = 65 Æ Resposta!

04. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Sejam as matrizes

e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t , isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a a) 2.

b) 1/2. c) 3. d) 1/3. e) 1.

Sol.: Mais uma bem ao estilo da Esaf. O primeiro a ser feito é multiplicarmos as duas matrizes fornecidas pelo enunciado. Teremos o seguinte:

CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO w.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos x x x x

Pois bem! Teremos agora que pegar essa matriz produto que encontramos acima, e construir a sua transposta! Ora, sabemos que na matriz transposta, quem é linha vira coluna, e só! Teremos, pois, que a matriz X será a seguinte:

Daí, o próximo passo será descobrir quais são os valores que ocupam as posições X31 e X12. Quais são? Ora, é só olhar! Encontraremos que: X31=16 e X12=8.

Finalmente, a questão pede que nós calculemos a razão entre X31 e X12. Teremos: Æ X31/X12=16/8 = 2 Æ Resposta!

a) 5
b) 10
c) 20
d) 40

05. (SERPRO 1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui determinante igual a 5. O determinante da matriz 2A é igual a: e) 80

Sol.: Se, na hora da prova, ficar difícil de enxergar um caminho para o resultado, é aconselhável que você crie uma matriz com as características que o enunciado pede. Neste caso, uma de dimensão (3x3) cujo determinante seja igual a 5.

Aprendemos como fazer isso na aula passada! Lembrados? Bastaria zerarmos todos os valores da matriz, exceto os da diagonal principal, os quais teriam que ser escolhidos, de modo que seu produto seja exatamente igual a 5. Uma possibilidade é a seguinte:

Concordam? Vejam que o produto dos elementos da diagonal principal é 5. Como todos os outros elementos da matriz são iguais a zero, concluímos que o determinante dessa matriz é 5. Agora a questão pede que nós construamos a matriz 2A e que calculemos o novo determinante. Façamos isso. Teremos:

Percebamos que os elementos não pertencentes à diagonal principal continuaram todos iguais a zero. Logo, o determinante da nova matriz será também o produto dos elementos de sua diagonal principal.

Ou seja: det(2A)=2x2x10=40 Æ Resposta!

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06. (MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a: a) –2 b) –1/2 c) 4 d) 8 e) 10

Sol.: Aqui nos fala a questão acerca de uma matriz (2x2) cujo determinante é igual a 2. Poderemos construir uma matriz com essas característica. Uma possível seria a seguinte:

01 , que é a própria matriz A.

Agora, descobriremos qual é a matriz que representa o dobro da encontrada acima. Teremos:

02 , cujo determinante é 8 Æ Resposta!

07. (AFC-STN-2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3Z tem determinante igual a a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81

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