Baixe aula 15 - matrizes e determinantes (parte II) e outras Notas de aula em PDF para Engenharia Informática, somente na Docsity! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 1 AULA QUINZE: Matrizes & Determinantes (Parte II) Olá, amigos! Pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula 15 na semana passada. Motivos de força maior nos impediram de fazê-lo, mas ei-nos aqui, para encerramos o assunto iniciado na aula passada – Matrizes. Esperamos que todos tenham aprendido bem o assunto e que tenham resolvidos as questões que ficaram do dever de casa passado. Caso alguém tenha encontrado alguma dificuldade, é só dar uma conferida nas respectivas resoluções, apresentadas na seqüência. Vamos a elas! Dever de Casa 01. (TFC-97) Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3), (3x4) e (4x2), então a expressão [A . (B . C)]2 tem ordem igual a: a) 2 x 2 b) 3 x 3 c) 4 x 4 d) 6 x 6 e) 12 x 12 Sol.: Uma questão que trata unicamente acerca da ordem (dimensão) das matrizes. E isso já aprendemos perfeitamente. Vamos, portanto, substituir a letra da matriz pela sua dimensão, conforme nos forneceu o enunciado. Ok? Teremos: [A. (B . C)]2 = {(2x3).[(3x4).(4x2)]2} Primeiramente devemos fazer o produto das matrizes B e C, que estão dentro do parêntese! Teremos: (B3x4) x (C4x2) (3 x 4) x (4 x 2) “meios” “extremos” O resultado, conforme podemos ver no esquema acima, será uma nova matriz de dimensão (3x2), que são os extremos das dimensões das matrizes multiplicadas! Pois bem! Teremos agora é multiplicar a matriz A, de dimensão (2x3) pela matriz produto que acabamos de encontrar, de dimensão (3x2). Teremos: (2 x 3) x (3 x 2) “meios” “extremos” Daí, chegamos a uma nova matriz, de dimensão (2x2), conforme percebemos pelo esquema acima. Esse é o resultado final do produto [A . (B . C)]. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 2 Só que a questão quer mais! Quer que elevemos esse resultado ao quadrado! Viram? É preciso, finalmente, que nós multipliquemos essa matriz resultante por ela mesma. Teremos, pois, que: (2 x 2) x (2 x 2) “meios” “extremos” Ou seja, o resultado final da expressão trazida pelo enunciado é justamente uma matriz quadrada de 2ª ordem: uma matriz de dimensão (2x2) Resposta! 02. (TFC 1995) Dada as matrizes       = 10 21 A ,       = 1 2 B e       = b a X , assinale os valores de a e b, de modo que AX=B a) a=0 e b=1 b) a=1 e b=0 c) a=0 e b=0 d) a=1 e b=1 e) a=0 e b=-1 Sol.: A questão quer que façamos o produto entre as matrizes A e X, e que igualemos esse resultado à matriz B. Comecemos, pois, pelo produto. Teremos: A . X =       10 21 x       b a =       + =      + + b ba ba ba 2 10 21 Daí, igualando a matriz produto encontrada acima à matriz B, teremos:       =      + 1 22 b ba Dessa igualdade, extrairemos os seguintes resultados: a+2b=2 e b=1 Pronto! Se b=1, então, substituindo esse resultado na primeira equação acima, teremos que: a+2b=2 a=2-2b a=2-2(1) a=2-2 a=0 Com isso, chegamos ao nosso resultado: a=0 e b=1 Resposta! 03. (AFC/CGU 2003/2004) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 5 06. (MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a: a) –2 b) –1/2 c) 4 d) 8 e) 10 Sol.: Aqui nos fala a questão acerca de uma matriz (2x2) cujo determinante é igual a 2. Poderemos construir uma matriz com essas característica. Uma possível seria a seguinte: A=       20 01 Daí, a matriz transposta de A seria dada por: At=       20 01 , que é a própria matriz A. Agora, descobriremos qual é a matriz que representa o dobro da encontrada acima. Teremos: 2.At = 2x       20 01 =       40 02 , cujo determinante é 8 Resposta! 07. (AFC-STN-2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3Z tem determinante igual a a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81 Sol.: Questão semelhante à anterior, só que agora estamos diante de uma matriz de dimensão (3x3), cujo determinante é igual a 3. Criando uma matriz assim, teremos: X=           300 010 001 Daí, a transposta de X será igual à própria matriz X. Concordam? Agora, teremos que multiplicar essa matriz por 3. Teremos: Se X=           300 010 001 , então 3X=           900 030 003 , cujo determinante é 81 Resposta! Passemos a nossa aula de hoje! Nesta aula encerramos os assuntos de Matriz e Determinante. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 6 # MENOR COMPLEMENTAR Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2, seja aij um elemento de M. Definimos menor complementar do elemento aij , e indicamos por Dij , como sendo o determinante da matriz que se obtém, suprimindo a linha i e a coluna j de M. Exemplo 01) Calcule o menor complementar dos elementos da 1ª coluna da matriz M. Sol.: Os elementos da 1ª coluna são: a11 , a21 e a31, daí o menor complementar desses elementos serão indicados, respectivamente, por: D11 , D21 e D31. 1) Cálculo de D11 D11 = 5x6 – 4x1 D11 = 26 2) Cálculo de D21 D21 = 0x6 – 4x(-1) D21 = 4 3) Cálculo de D31 D31 = 0x1 – 5x(-1) D31 = 5 # COFATOR Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2, seja aij um elemento de M. Definimos cofator de aij , e indicamos por Aij , como sendo o número (-1)i+j. Dij . 2 0 -1 M= 3 5 1 -2 4 6 2 0 -1 M= 3 5 1 -2 4 6 5 1 Daí: D11 = det 4 6 2 0 -1 M= 3 5 1 -2 4 6 0 -1 Daí: D21 = det 4 6 2 0 -1 M= 3 5 1 -2 4 6 0 -1 Daí: D31 = det 5 1 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 7 Exemplo 02) Calcule o cofator para cada elemento da 1ª coluna da matriz M. Sol.: No exemplo anterior havíamos calculado o menor complementar para cada elemento da 1ª coluna, e obtivemos os seguintes resultados: D11 = 26 , D21= 4 e D31 = 5 Este exemplo pede os seguintes cofatores: A11 , A21 e A31 . Aplicaremos a fórmula do cofator de um elemento: Aij = (-1)i+j. Dij A11 = (-1)1+1. D11 A11 = (-1)2. 26 A11 = 26 A21 = (-1)2+1. D21 A21 = (-1)3. 4 A21 = -4 A31 = (-1)3+1. D31 A21 = (-1)4. 5 A31 = 5 # TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAPLACE O determinante de uma matriz M, de ordem n ≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Como demonstração, calcularemos o determinante da matriz dada no exemplo anterior. De acordo com o teorema acima, qualquer linha ou coluna pode ser usada para o cálculo do determinante. Como faremos o produto do elemento pelo seu cofator, é interessante que escolhamos uma linha ou coluna que tenha a maior quantidade de zeros, pois é desnecessário calcular o cofator dos elementos que são iguais a zero. Na matriz M abaixo, deveríamos escolher a 1ª linha ou a 2ª coluna, pois ambas tem um zero. Porém, como no exemplo anterior escolhemos a 1ª coluna para calcularmos os cofatores, então usaremos a 1ª coluna no cálculo do determinante da matriz M. Cálculo do determinante da matriz M: Usando a 1ª coluna, o determinante de M é dado por: det M = a11A11 + a21A21 + a31A31 Havíamos obtido no exemplo anterior: A11=26 , A21=-4 e A31=5 . Daí: det M = 2.26 + 3.(-4) + (-2).5 det M = 52 – 12 – 10 E, finalmente: det M = 30 2 0 -1 M= 3 5 1 -2 4 6 2 0 -1 M= 3 5 1 -2 4 6 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 10 4) Cofator A21 = ? A21 = (-1)2+1. D21 = (-1)3. D21 = –D21 D21 = 0x1 – 4x(-1) = 4 A21 = –D21 = –4 5) Cofator A22 = ? A22 = (-1)2+2. D22 = (-1)4. D22 = D22 D22 = 2x1 – (-2)x(-1) = 0 A22 = D22 = 0 6) Cofator A23 = ? A23 = (-1)2+3. D23 = (-1)5. D23 = –D23 D23 = 2x4 – (-2)x0 = 8 A23 = –D23 = –8 7) Cofator A31 = ? A31 = (-1)3+1. D31 = (-1)4. D31 = D31 D31 = 0x(-4) – 2x(-1) = 2 A31 = D31 = –8 8) Cofator A32 = ? A32 = (-1)3+2. D32 = (-1)5. D32 = –D32 D32 = 2x(-4) – 3x(-1) = -5 A32 = –D32 = –(–5) = 5 0 -1 D21 = det 4 1 2 0 -1 B= 3 2 -4 -2 4 1 2 0 -1 B= 3 2 -4 -2 4 1 2 -1 D22 = det -2 1 2 0 -1 B= 3 2 -4 -2 4 1 2 0 D23 = det -2 4 2 0 -1 B= 3 2 -4 -2 4 1 0 -1 D31 = det 2 -4 2 0 -1 B= 3 2 -4 -2 4 1 2 -1 D32 = det 3 -4 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 11 9) Cofator A33 = ? A33 = (-1)3+3. D33 = (-1)6. D33 = D33 D33 = 2x2 – 3x0 = 4 A33 = D33 = 4 Portanto, a matriz dos cofatores de B é a seguinte matriz: A matriz adjunta de B ( B ) é a transposta da matriz dos cofatores, então teremos que: Só falta calcular o determinante da matriz B para obtermos a matriz inversa B-1. Utilizaremos o Teorema de Laplace para calcularmos o determinante da matriz B. Por este teorema, o determinante de uma matriz é igual a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Escolheremos a primeira linha da matriz B! Aplicando o teorema: det B = 2A11 + 0A12 + (-1)A13 det B = 2x18 + 0x5 + (-1)x16 det B = 20 Agora é só aplicar a fórmula da inversa de uma matriz: B BB det 1 =− 20 4816 505 8418 1           − −− =−B                 − −− =− 20 4 20 8 20 16 20 5 20 0 20 5 20 8 20 4 20 18 1B 2 0 -1 B= 3 2 -4 -2 4 1 2 0 D32 = det 3 2 18 5 16 -4 0 -8 -8 5 4 18 -4 -8 Matriz adjunta: B = 5 0 5 16 -8 4 2 0 -1 B= 3 2 -4 -2 4 1 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 12           −− −− =− 2,04,08,0 25,0025,0 4,02,09,0 1B ( E finalmente encontramos a inversa!) # PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 1. Matriz Transposta Se M é uma matriz quadrada de ordem n e Mt sua transposta, então: det(Mt) = det(M) 2. Fila Nula Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n forem todos nulos, então: det(M) = 0 3. Multiplicação de uma fila por uma constante Se multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de k pelo determinante de M. det(k vezes uma fila de M) = k.det(M) 4. Multiplicação de uma Matriz por uma constante Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de kn pelo determinante de M. det (k.M) = kn det(M) 5. Filas paralelas iguais Se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente iguais, então: det(M) = 0 6. Filas paralelas proporcionais Se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente proporcionais, então: det(M) = 0 7. Troca de filas Paralelas Seja A uma matriz de ordem n ≥ 2. Se trocarmos de posição duas filas paralelas obteremos uma nova matriz B tal que: det(A) = – det(B) 8. Produto de Matrizes Seja A e B são matrizes quadradas de ordem n, então: det(A.B) = det(A).det(B) 9. Matriz Triangular O determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 15 Matriz de Y =           − − 1194 512 331 (a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de y pelos termos independentes) Matriz de Z =           − 19194 112 331 (a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de z pelos termos independentes) 3)      =− −=++ =−+ 109 1456 83 yx zyx zyx           −=           ⋅           − − 10 1 8 091 456 113 z y x 4. Solução de um Sistema Linear Considere o seguinte sistema, composto por duas equações lineares:    =+ =− 74 152 yx yx Um par de valores (x, y) é solução desse sistema, se for solução das duas equações. 1º exemplo) Encontre a solução do sistema    =+ =− 74 152 yx yx Há várias formas de se obter a solução de um sistema de equações, mostraremos uma forma baseada em determinantes. O valor de x que satisfaz o sistema é dado por: x = determinante da matriz de x___ determinante da matriz incompleta E o valor de y que satisfaz o sistema é dado por: y = determinante da matriz de y___ determinante da matriz incompleta Passemos a construir a matriz de x, de y e a matriz incompleta, e também calcular os seus determinantes. matriz incompleta =       − 41 52 determinante = 2 x 4 – 1 x (-5) = 13 matriz de x =       − 47 51 determinante = 1 x 4 – 7 x (-5) = 39 forma matricial CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 16 matriz de y =       71 12 determinante = 2 x 7 – 1 x 1 = 13 Calculados os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas: x = determinante da matriz de x___ = 39 = 3 determinante da matriz incompleta 13 y = determinante da matriz de y___ = 13 = 1 determinante da matriz incompleta 13 Resposta: uma única solução:(x=3 , y=1) Sistema Possível e Determinado! 2º exemplo) Encontre a solução do sistema    −=+− =− 3156 152 yx yx Passemos a construir a matriz de x, de y e a matriz incompleta, e também calcular os seus determinantes. matriz incompleta =       − − 156 52 determinante = 2 x 15 – (-6) x (-5) = 0 matriz de x =       − − 153 51 determinante = 1 x 15 – (-3) x (-5) = 0 matriz de y =       −− 36 12 determinante = 2 x (-3) – (-6) x 1 = 0 Calculados os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas: x = determinante da matriz de x___ = 0 = infinitos valores (indeterminado) determinante da matriz incompleta 0 y = determinante da matriz de y___ = 0 = infinitos valores (indeterminado) determinante da matriz incompleta 0 Resposta: existem infinitos pares (x,y) que são soluções! Sistema Possível e Indeterminado! Vejamos algumas dessas possíveis soluções! Isolando a incógnita y na 1ª equação (ou na 2ª equação) obteremos: 2x – 5y = 1 y = (2x – 1)/5 Fazendo x=3, o valor de y é: y = (2x – 1)/5 y = (2 . 3 – 1)/5 y = 1 Fazendo x=4, o valor de y é: y = (2x – 1)/5 y = (2 . 4 – 1)/5 y = 7/5 Para cada valor de x teremos um y, cujos valores são soluções do sistema. CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 17 3º exemplo) Encontre a solução do sistema    =+− =− 5123 104 yx yx Passemos a construir a matriz de x, de y e a matriz incompleta, e também calcular os seus determinantes. matriz incompleta =       − − 123 41 determinante = 1 x 12 – (-3) x (-4) = 0 matriz de x =       − 125 410 determinante = 10 x 12 – 5 x (-4) = 140 matriz de y =       − 53 101 determinante = 1 x 5 – (-3) x 10 = 35 Obtidos os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas: x = determinante da matriz de x___ = 140 = não existe (impossível) determinante da matriz incompleta 0 y = determinante da matriz de y___ = 35 = não existe (impossível) determinante da matriz incompleta 0 Resposta: Não existe um par (x,y) que seja solução! Sistema Impossível! Através dos três exemplos resolvidos acima, mostramos as três situações possíveis que podemos encontrar na solução de um sistema linear. Quanto à solução de um sistema linear, temos a seguinte classificação: 1º) O sistema linear é chamado de “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução. Por sua vez, temos: O sistema linear possível é chamado de “determinado” quando a solução for única; O sistema linear possível é chamado de “indeterminado” quando houver infinitas soluções. 2º) O sistema linear é chamado de “impossível” se não houver solução. Para classificar um sistema quanto ao nº de soluções, utilizaremos a seguinte orientação: 1) O sistema será possível e determinado se o determinante da matriz incompleta for diferente de zero. No cálculo das incógnitas (x, y, ...) o determinante da matriz incompleta está no denominador, e se este determinante é diferente de zero, então teremos um único resultado para cada incógnita, e, assim, o sistema será possível e determinado. Veja o 1º exemplo resolvido acima! 2) O sistema será possível e indeterminado se o determinante da matriz incompleta for igual a zero e os determinantes das matrizes das variáveis também forem iguais a zero. Se os determinantes dessas matrizes são iguais a zero, então teremos zero no numerador e no denominador da fórmula de cálculo das incógnitas. Veja o 2º exemplo resolvido acima! CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 20 3) O sistema será impossível se o determinante da matriz incompleta for igual a zero e pelo menos um dos determinantes das matrizes das variáveis for diferente de zero. - Inicialmente encontraremos o determinante da matriz incompleta: A matriz incompleta é retirada a partir do sistema de equações.    =+ =+ 42 03 mba mbma matriz incompleta do sistema =       m mm 2 3 Determinante da matriz incompleta: determinante de       m mm 2 3 = m.m – 2.3m = m2 – 6m Vamos analisar para que valores de m o sistema é possível e determinado: O determinante da matriz incompleta deve ser diferente de zero! m2 – 6m ≠ 0 m(m-6) ≠ 0      ≠→≠− ≠ 606 0 mm e m Para que m(m-6) seja diferente de zero é necessário que se tenha m≠0 e m≠6. Ou seja, se m≠0 e m≠6 , então o sistema é possível e determinado! Acabamos de achar a solução da questão, veja o item e: e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado. Resposta: Alternativa E! Para aprendermos mais sobre sistemas lineares, veremos outras análises. Analisaremos para que valores de m o sistema será impossível e que será possível e indeterminado: Temos que o determinante da matriz incompleta é igual a: m2 – 6m Calcularemos os determinantes da matriz de x e de y: matriz de x =       m m 4 30 determinante = 0 x m – 4 x 3m = -12m matriz de y =       42 0m determinante = m x 4 – 2 x 0 = 4m Consideremos que o determinante da matriz incompleta é igual a zero: CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 21 m2 – 6m = 0 m(m-6) = 0      =→=− = 606 0 mm ou m Para que m(m-6) seja igual a zero é necessário que se tenha m=0 ou m=6. O que acontece com os determinantes das matrizes de x e de y quando m=0? determinante da matriz x = -12m = -12 x 0 = zero determinante da matriz y = 4m = 4 x 0 = zero O que acontece com os determinantes das matrizes de x e de y quando m=6? determinante da matriz x = -12m = -12 x 6 = -72 determinante da matriz y = 4m = 4 x 6 = 24 Em suma: Se m=0 teremos: o determinante da matriz incompleta é igual a zero! o determinante da matriz de x é igual a zero! o determinante da matriz de y é igual a zero! Concluímos, se m=0, o sistema é possível e determinado! Se m=6 teremos: o determinante da matriz incompleta é igual a zero! o determinante da matriz de x é diferente de zero! o determinante da matriz de y é diferente de zero! Concluímos, se m=6, o sistema é impossível! ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Como já dissemos, esta aula encerra os assuntos de Matrizes e Determinantes. Estes assuntos são muito importantes e sempre tem questões presentes nos concursos. Seguem as questões do Dever de Casa. É importante, como sempre frisamos, que vocês façam o possível para tentar resolver essas questões! Atenção, repetimos três questões do dever de casa passado, pois queremos que vocês utilizem as propriedades dos determinantes para resolvê-las. Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus! DEVER DE CASA 01. (AFC/97) Considerando-se as matrizes A =       13 42 e B =       21 11 . A soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produto da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a: a) -10 b) -2 c) I d) 2 e) 10 CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO www.pontodosconcursos.com.br - Prof. Sérgio Carvalho & Prof. Weber Campos 22 02. (SERPRO 1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui determinante igual a 5. O determinante da matriz 2A é igual a: a) 5 b) 10 c) 20 d) 40 e) 80 03. (MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a: a) –2 b) –1/2 c) 4 d) 8 e) 10 04. (AFC-STN-2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3Z tem determinante igual a a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81 05. (Oficial de Chancelaria 2002) Dada a matriz:       1 11 X e sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de X é igual a: a) -1 b) 0 c) 1/2 d) 1 e) 2 06. (BNB 2002 FCC) Dadas as matrizes           =           = 3 2 c 2 3 b 1 5 a B e 6 4 2 2 3 5 c b a A , de determinantes não nulos, para quaisquer valores de “a”, “b” e “c”, temos A. det(A) = det(B) B. det(B) = 2.det(A) C. det(A) = 2.det(B) D. det(A) = –2.det(B) E. det(A) = – det(B) 07. (SERPRO 1996) As matrizes:           = 735 642 321 X ,           = 1535 652 321 Y e           = 302510 652 321 Z apresentam, respectivamente, determinantes iguais a: a) 0, 0 e 0 b) 1, 1 e 1 c) 0, 1 e 1 d) 2, 3 e 4 e) -1, -1 e -1