Variável Aleatória. distribuiçao binomial

Variável Aleatória. distribuiçao binomial

Aula ministrada por:

Prof. Caio Dantas

Texto da aula por: Prof. Carlos Alberto (Caio) Dantas

Variável Aleatória Variável Aleatória Distribuição BinomialDistribuição Binomial

Vamos considerar inicialmente Vamos considerar inicialmente alguns exemplos de situações alguns exemplos de situações em que há incerteza sobre o em que há incerteza sobre o resultado e que associamos a resultado e que associamos a cada valor do experimento um cada valor do experimento um númeronúmero

1. . Lança-se uma moeda 10 vezes e anotase o número de caras. Este número pode

ser 0, 1, 210.
2Conta-se o número de acidentes que

ocorrem em uma rodovia num feriado prolongado. O número de acidentes em questão pode ser : 0, 1, 2… Como não temos um valor que limite esse número supomos que o número de acidentes é qualquer inteiro.

3. 3. Conta-se o número de bactérias em uma seção de uma lâmina; este número pode ser também qualquer número inteiro.

4.4. Considera-se o número de chamadas telefônicas que chegam a uma central em um intervalo de tempo. Aqui também este número pode ser qualquer inteiro não negativo.

vermelhos em um exame de sangue;
este número pode ser qualquer inteiro

5. 5. Observa-se o número de glóbulos não negativo.

6. 6. Em uma pesquisa de mercado entrevista- se 200 pessoas e pergunta-se se compram um produto A; o número de pessoas que compram o produto varia de 0 a 200.

7. 7. Mede-se a altura de uma mulher em uma cidade. O valor encontrado pode ser um número real. Aqui também sabemos que esse número não passa de 2 metros, mas é conveniente considerar qualquer número real.

8. 8. Em um exame físico para selecionar um jogador de futebol é medido o peso de cada candidato; aqui também consideramos que o resultado pode ser qualquer número real.

9. 9. Em campanhas preventivas de hipertensão arterial é comum de tempos em tempos medir- se o nível de colesterol.O valor de cada medida pode ser um número real não negativo.

10. 10. Para pacientes que se apresentam num hospital a primeira atitude é medir-

se a temperatura; o valor da temperatura

é um número real que pode-se considerar compreendido entre 35º e 42ºC.

1. 1. Retira-se uma lâmpada da linha de produção e coloca-se a mesma em um soquete acendendo-a; observa-se a mesma até que se queime. O tempo de duração da lâmpada é um número real não negativo.

• • moedas;moedas; • • acidentes automotivos;acidentes automotivos;

• • bactérias em uma lâmina;bactérias em uma lâmina;

• • chamadas telefônicas;chamadas telefônicas;

• • glóbulos vermelhos;glóbulos vermelhos; • • consumidoresconsumidores..

Nota-se que nos primeiros 6 exemplos, o número que foi observado ao realizar-se o

experimento aleatório éum

número inteiro, pertencente a um conjunto finito ou infinito de possibilidades, e resultante de um processo de contagem:

• • altura das mulheres;altura das mulheres; • • peso do atleta;peso do atleta;

• • nível de colesterol;nível de colesterol;

• • temperatura;temperatura;

• • tempo de duração da tempo de duração da lâmpada.lâmpada.

Nos exemplos de 7 a 1 o número observado no experimento aleatório é um número real e resulta em geral de uma medição:

Com base nessas observações introduzimos a Com base nessas observações introduzimos a noção denoção de variávelvariável aleatóriaaleatória..

UmaUma variável aleatóriavariável aleatória é umaé uma funçãofunção, que associa a cada , que associa a cada elemento do espaço amostral, elemento do espaço amostral, um número real. um número real.

x1x2 x3 x4
w1 w2 w3 w4w5 w6

Espaço Amostral

As variáveis aleatórias dos 6 primeiros As variáveis aleatórias dos 6 primeiros exemplos, que resultam de uma exemplos, que resultam de uma contagem são denominadas contagem são denominadas discretas.discretas.

Aquelas que encontramos nos exemplos Aquelas que encontramos nos exemplos de 7 a 1 , que resultam de uma de 7 a 1 , que resultam de uma mensuração são ditas mensuração são ditas contínuascontínuas..

Distribuição de probabilidadesDistribuição de probabilidades ( variável discreta )( variável discreta )

variável aleatória discreta é variável aleatória discreta é uma tabelauma tabela

A distribuição de probabilidades de uma A distribuição de probabilidades de uma que associa a cada valor da variável sua que associa a cada valor da variável sua probabilidade.probabilidade.

valorprobabilidade
x1P[ X = x1]
x2P[ X = x2]

xn P[ X = xn]

ExemploExemplo s 1. Lançamento de um dado.1. Lançamento de um dado.

X :número de pontos da face superiorX :número de pontos da face superior

Valor de XValor de XProbabilidadeProbabilidade

2. 2. Vamos considerar o experimento que Vamos considerar o experimento que consiste em retirar quatro bolas de consiste em retirar quatro bolas de uma urna contendo 6 brancas e 4 uma urna contendo 6 brancas e 4 pretas repondo-as após cada pretas repondo-as após cada retirada. retirada.

O espaço amostral e as probabilidades O espaço amostral e as probabilidades associadas a cada um de seus pontos é associadas a cada um de seus pontos é representado a seguir:representado a seguir:

BBBP (0,6)3.(0,4)PBBP (0,6)2.(0,4)2
BP (0,6)2.(0,4)2PBPP (0,6).(0,4)3

Vamos chamar de X o número de bolas brancas nas Vamos chamar de X o número de bolas brancas nas quatro retiradas.quatro retiradas.

Distribuição de probabilidades de X:Distribuição de probabilidades de X:

Valor EsperadoValor Esperado

O valor esperado (média, esperança matemática) de uma variável aleatória discreta é igual à soma de cada um dos valores da variável multiplicado pela respectiva probabilidade.

Valoresx1 x2 ... xn
ProbabP[X = x1] P[X = x2] … P[X = xn]
E[X] = x1 P[X = x1] + x2 P[X = x2] ++ xn P[X = xn]

Ou seja:

Lançamento de 1 dado. Calcular o número médio de pontos.

X : número de pontos

ExemploExemplo

E [X] = 1+ 2. + 3. + 4. + 5. + 6. = E [X] = 1. + 2. + 3. + 4. + 5. + 6. =

= 3,5= 3,5

Interpretação FísicaInterpretação Física

Ponto onde a distribuição de massa se Ponto onde a distribuição de massa se equilibra: centro de gravidade.equilibra: centro de gravidade.

PropriedadesPropriedades

Se X = X1 + X2 + X3 …. + Xn então: E (X) = E(X1) + E(X2) + …. + E(Xn)

Se "c" é uma constante, então: E (cX) = c E(X)E (cX) = c E(X)

EX = 3,5
EX2 == 15,16

X :número de pontos observados quando lança-se um X :número de pontos observados quando lança-se um dado.dado.

Distribuição BinomialDistribuição Binomial Esperança e VariânciaEsperança e Variância

ExemplosExemplos

• Os estudantes que cursam uma disciplina são aprovados ou reprovados;

• As peças produzidas em uma indústria são boas ou defeituosas;

• Pacientes submetidos a um tratamento são curados ou não;

• Lâmpadas produzidas por uma indústria duram mais que 200 horas ou não;

• Numa questão de múltipla escolha com apenas uma questão correta, o estudante acerta ou erra a resposta.

Ensaios de BernoulliEnsaios de Bernoulli

• só há dois possíveis resultados em cada ensaio: sucesso (S)sucesso (S) ou fracasso (F)fracasso (F);

• os ensaios são independentesindependentes;

• a probabilidade de sucesso em cada ensaio é constante igual a p.

BBBP (0,6)3.(0,4)PBBP (0,6)2.(0,4)2
BP (0,6)2.(0,4)2PBPP (0,6).(0,4)3

ExemploExemplo

Considere uma prova com 5 questões e Considere uma prova com 5 questões e em que cada questão tem três alternativas.em que cada questão tem três alternativas.

Suponha que um estudante não conheça a Suponha que um estudante não conheça a matéria e resolva responder as 5 questões matéria e resolva responder as 5 questões escolhendo em cada uma delas uma escolhendo em cada uma delas uma resposta ao acaso.resposta ao acaso.

Qual a probabilidade de o estudante acertar Qual a probabilidade de o estudante acertar duas questões?duas questões?

Consideramos uma sequência de n ensaios de Consideramos uma sequência de n ensaios de

Bernoulli com probabilidade de sucesso Bernoulli com probabilidade de sucesso p em em cada ensaio. cada ensaio.

Seja X o nº de sucessos nos Seja X o nº de sucessos nos n ensaios. ensaios.

P [X=k] =p (1-p)P [X=k] = p (1-p)(( ))n

k n-kn-k

Observe que se fixarmos os k sucessos nos n primeiros ensaios, isto é, se o ponto amostral

for S...SF...FS...S F...F a probabilidade desse ponto é
o coeficiente () conta quantos pontos do

espaço amostral tem k sucessos.

n k

X1 = 1 sucesso no primeiro ensaio 0 falha no primeiro ensaio

Xn = 1 sucesso no n-ésimo ensaio 0 falha no n-ésimo ensaio

X2 =1 sucesso no segundo ensaio 0 falha no segundo ensaio

Para os n ensaios de Bernoulli considerePara os n ensaios de Bernoulli considere X1, X, X22, … X, … Xnn tais que: tais que:

X = X1 + X2 + … + Xnconta o nº de sucessos nos n ensaios.

EX = EX1 + EX2 + … + EXn = p + p + … + p = np

Esperança e Variância de XEsperança e Variância de X

Var X1 = E (X12) - [E (X1)]2 = p - p2 = p (1 - p)

Valor de X1Prob. Val. de X12 Prob.

1 p1 p

Var X = n . p (1 - p)Var X = n . p (1 - p) n vezes Var X = p (1- p) + p (1- p) + …. + p (1- p)

Como X1, X2, …Xn são independentes: Var X = Var X1 + Var X2 + … + Var Xn

Como calcular P(X=k) no Minitab

Considere o exemplo de uma prova com 12 questões cada uma com 5 alternativas e que o aluno escolha a resposta ao acaso. Podemos supor que:

X ~ B(n, p) com n=12 e p=0,25 X: no. de questões corretas

Deve-se colocar no Minitab os comandos

xP( X = x )
00.0317
10.1267
20.2323
30.2581
40.1936
50.1032
60.0401
70.0115
80.0024
90.0004

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