Calculo infinitesimal

Calculo infinitesimal

(Parte 1 de 6)

Calculo Infinitesimal I prof. Felipe Acker

1 Introducao

Uma apresentacao rigorosa dos numeros deveria, provavelmente, comecar pelos fundamentos da logica e da teoria dos conjuntos para, em seguida, construir sucessivamente os naturais, os inteiros, os racionais, os reais e os complexos. Esta e uma escada cujos degraus tem alturas diferentes: comecar da logica poderia nos tomar um curso inteiro. Estas notas nao tem tal ambicao e devem, portanto, ser tomadas apenas como uma indicacao do percurso. Partiremos dos naturais e discutiremos brevemente como passar daı aos inteiros, e destes aos racionais. O degrau que mais nos interessa, do ponto de vista da Analise, e o que corresponde a passagem dos racionais aos reais. Nele nos deteremos um pouco mais.

Uma introducao elementar e bem escrita dos fundamentos da Logica e da Teoria dos Conjuntos esta no livro Teoria ingenua dos conjuntos, de Paul Halmos (Naive set theory).

Em cada caso (Naturais, Inteiros, Racionais, Reais e Complexos), procuraremos caracterizar o sistema numerico em questao por um conjunto de axiomas. Isto significa que vamos fixar, em cada caso, um conjunto de propriedades basicas a partir das quais nossos teoremas devem poder ser demonstrados. Esta e uma forma de organizar o conhecimento matematico que remonta a Grecia antiga e tem nos Elementos, de Euclides, o primeiro grande exemplo1.

A maior parte do trabalho e deixada como exercıcio; resultados essencialmente obvios sao usados livremente, ficando a criterio do leitor a decisao de demonstra-los detalhadamente ou nao .

1O sonho de axiomatizar toda a Matematica tem suas limitacoes : em 1932, Kurt

Godel demonstrou que, mesmo que nos limitemos aos numeros naturais, nao e possıvel fixar um conjunto finito de axiomas a partir do qual se possa decidir, de cada sentenca, se e verdadeira ou falsa

2 Um mınimo de linguagem

Para fixar um pouco as ideias, vamos apresentar informalmente um pouco da notacao e alguns conceitos basicos envolvendo conjuntos e funcoes . Usaremos livremente os sımbolos ⇒, ⇔, ∀, ∃ e | : p ⇒ q significa se p entao q, ou p implica q; p ⇔ q significa p se e somente se q, ou p e equivalente a q; ∀ se le para todo; ∃ se le existe; x | p se le x tal que p; usaremos tambem, as vezes, s no lugar de se e somente se. O sımbolo ∃! significa existe um e somente um.

Se x e um elemento do conjunto X, diremos que x pertence a X e usaremos a notacao x ∈ X. Se o conjunto A e subconjunto de X, diremos que A esta contido em X (A ⊂ X), ou que X contem A (X ⊃ A). Isto significa que todo elemento de A e tambem elemento de X, ou seja:

Para provar a igualdade entre os conjuntos A e B sera preciso, em geral, provar que A ⊂ B e B ⊂ A. A primeira parte desta prova comeca por

Seja x ∈ A e termina quando concluımos que x ∈ B; a segunda comeca com

Seja x ∈ B e termina quando provamos que x ∈ A.

Um conjunto e usualmente definido apresentando explicitamente seus elementos ou por meio de uma propriedade que os caracterize:

X = {a, b, c} significa que X e o conjunto cujos elementos sao precisamente a, b e c;

X = {x ∈ Y | p(x)} significa que X e o conjunto cujos elementos sao precisamente aqueles que estao em Y e satisfazem a propriedade p.

Dados dois conjuntos A e B, definimos A\B (A menos B) por A\B = {x ∈ A|x /∈ B}. Se todos nossos conjuntos, em um determinado contexto, sao subconjuntos de um certo X, X \ A e chamado de complementar de A (em X) e notado por CA ou por AC.

O produto cartesiano dos conjuntos X e Y , X × Y , e definido por X × Y = {(x,y)|x ∈ X, y ∈ Y }. Para evitar considerar par ordenado como um conceito primitivo, podemos definir, dados x e y, o par ordenado (x,y) por (x,y) = {x,{x,y}} (e uma definicao meio extravagante, mas funciona).

Uma funcao f entre os conjuntos X e Y pode ser definida sem o uso da palavra regra. Basta especificarmos todos os pares ordenados do tipo (x,f(x)). De maneira um pouco mais pedante, diremos que um subconjunto f de X × Y e uma funcao (notada por f : X → Y ) se

(esta definicao vem acompanhada da notacao y = f(x) para y tal que (x,y) ∈ f). X e chamado de domınio de f, Y e chamado de contradomınio de f e f(X) = {y ∈ Y |∃x ∈ X|(x,y) ∈ f} e chamado de imagem de f. Mais geralmente, se A ⊂ X, a imagem de A por f e o conjunto f(A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A | f(x) = y}. O elemento f(x) de Y tambem e chamado de imagem de x por f.

Uma funcao f e dita injetiva, injetora ou biunıvoca, se

Se for injetiva e sobrejetiva, f e dita bijetiva, ou bijetora. Neste ultimo caso, podemos definir a funcao inversa, notada por f−1 e definida por

No caso geral, a notacao f−1 e usada para a imagem inversa de um subconjunto B de Y :

3 Os naturais

Uma das maneiras mais simples de caracterizar nossos velhos amigos naturais, os numeros de contar, e descreve-los por um conjunto de axiomas, devido a Peano, que apresentamos a seguir.

Postulado: Existem um conjunto, IN (conhecido como conjunto dos numeros naturais) e uma funcao S : IN → IN, com as seguintes propriedades: • (i)S e injetiva;

• (i) Se A e um subconjunto de IN tal que 0 ∈ A e S(A) ⊂ A, entao A = IN.

Exercıcio: S(n) e o sucessor de n, o seguinte, o proximo da fila. Traduza S(n) por n+1 e entenda o significado dos axiomas acima. (i) e conhecido como princıpio da inducao . Note que o elemento 0, citado em (i) e (ii), tambem poderia ser o 1.

Exercıcio: Mostre que nao pode haver em IN um segundo elemento 0 tal que

Exercıcio: Mostre que a injetividade de S e indispensavel. Sugestao : senao , poderıamos fazer IN = {0,1}, com S(0) = 1 e S(1) = 1.

seriam: 0 = φ, 1 = {φ}, 2 = {φ,{φ}}, 3 = {φ,{φ},{φ,{φ}}}De qualquer

Observacao: Uma ideia para construir um conjunto com as propriedades acima (que seria um modelo concreto para IN) e defini-lo a partir de seus elementos, que forma, terıamos que postular a existencia de tal conjunto.2

O que costumamos chamar de definicao por inducao requer a demonstracao do seguinte resultado fundamental:

2Esta definicao parece tao “concreta”, que a necessidade de um tal postulado pode parecer um exagero; no entanto, uma postura excessivamente ingenua, na Teoria dos Conjuntos, pode levar a paradoxos. Um dos mais famosos e o Paradoxo de Russel: seja p(x) a propriedade x nao pertence a x e seja A = {x | p(x)}; entao e facil concluir que A pertence a A s A nao pertence a A.

Teorema da Recursao : Se X e um conjunto, ϕ : X → X e uma funcao e a ∈ X, entao existe uma funcao f : IN → X tal que f(0) = a e f(S(n)) = ϕ(f(n))∀n ∈ IN.

Demonstracao : Vamos definir a funcao f, como manda o regulamento, como um subconjunto do produto cartesiano IN × X (de maneira algo sinistra, e verdade). Consideremos a colecao F de todos os subconjuntos F de IN × X tais que: (i)(0,a) ∈ F; (i)(n,x) ∈ F ⇒ (S(n),ϕ(x)) ∈ F. Seja agora f o menor elemento de F, isto e:

Note que f ∈ F e f ⊂ F∀F ∈ F.Vamos mostrar que f e a funcao que queremos. Para comecar, devemos provar que f(n) esta definido para todo n em IN. Seja pois A = {n ∈ IN|∃y ∈ X,(n,y) ∈ f} e provemos que A = IN. Como (0,a) ∈ F∀F ∈ F, temos 0 ∈ f.Alem disto, se n ∈ A, entao existe y ∈ X|(n,y) ∈ f, o que significa que (n,y) ∈ F∀F ∈ F, o que implica em (S(n),ϕ(y)) ∈ F∀F ∈ F, o que nos da S(n) ∈ A. Logo, pelo princıpio da inducao , A = IN.

Uma funcao cujo domınio e IN e chamada uma sequencia (ou, eventualmente, uma sucessao ).

A construcao das operacoes de adicao e multiplicacao de numeros naturais, a partir dos axiomas de Peano, e uma tarefa interessante (e trabalhosa, se nos dispusermos a provar cada uma das propriedades que utilizamos quotidianamente), a qual nao vamos nos dedicar. Uma pequena amostra e dada nos tres exercicios a seguir.

Exercıcio: Defina, fixado n em IN, n + 0 = n, n + S(m) = S(n + m). Prove que a adicao assim definida e comutativa e associativa. Note que a definicao seria ligeiramente diferente se comecassemos IN em 1. Mostre que da definicao decorre que S(n) = n+1∀n ∈ IN. Mostre que, se m+n = 0, entao m = 0 ou n = 0.Mostre que m+p = n+p ⇒ m = n.

Exercıcio: Defina, fixado n em IN, n0 = 0, nS(m) = (nm) + n. Prove que a multiplicacao assim definida e comutativa e associativa. Prove tambem a propriedade distributiva. Mostre que, se mn = 0, entao m = 0 ou n = 0. Mostre que mp = np, p 6= 0 ⇒ m = n.Como seria a definicao se escolhessemos comecar IN em 1?

Exercıcio: Defina, para n e m em IN, a relacao de ordem n ≤ m por: ∃p ∈ IN|n + p = m (note que, se IN comecasse em 1, esta definicao corresponderia a n < m). Defina n ≥ m por m ≤ n, n < m por n ≤ m e n 6= m, n > m por m < n. Mostre que, se n ≤ m e k ∈ IN, entao k + n ≤ k + m e kn ≤ km. Mostre que, dados quaisquer naturais m e n, sempre se tem m ≤ n ou n ≤ m. Mostre que a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c. Mostre que a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b. Seja 1 = S(0); mostre que nao existe n em IN tal que 0 < n e n < 1. Mostre que, para qualquer n ∈ IN, nao existe m em IN tal que n < m < S(n).

Dois resultados referentes a ordem merecem ser destacados. O primeiro e o

Princıpio da Boa Ordenacao : Se A e um subconjunto nao vazio de IN, entao A tem um menor elemento.

Demonstracao : Suponhamos que A 6= φ e que A nao tem um menor elemento. Seja B = {n ∈ IN| n < m∀m ∈ A}. Entao 0 ∈ B, pois, caso contrario, 0 seria o mınimo de A. Suponhamos agora que um certo n esta em B. Como nao ha ninguem entre n e S(n), temos S(n) ≤ m ∀m ∈ A. Se §(n) ∈ A, S(n) seria o mınimo de A, que estamos supondo nao existir. Logo, S(n) ∈ B, o que mostra que B = IN. Mas isto e impossıvel, pois A 6= φ.

O segundo e uma versao bastante util do princıpio da inducao , conhecido como

Princıpio da Inducao Completa: Se A ⊂ IN e tal que 0 ∈ A e S(n) ∈ A sempre que m ∈ A para todo m ≤ n, entao A = IN.

Demonstracao : Seja B = IN \ A. Se B fosse nao vazio, B teria um menor elemento b. Como 0 ∈ A, temos b 6= 0, o que nos garante que existe n ∈ IN tal que b = S(n); mas da definicao de b temos m ∈ A∀m ≤ n, o que nos garante que b = S(n) ∈ A, absurdo.

4 Os Inteiros

Os numeros inteiros sao construıdos, a partir dos naturais, da maneira simples que aprendemos no colegio: acrescenta-se a IN o conjunto dos inteiros negativos, que sao os naturais diferentes de 0 com um sinal - na frente. As operacoes sao definidas como de habito. Chegamos, assim, a um conjunto, que notamos por Z, com IN ⊂ Z, munido de operacoes 3 de adicao (+) e multiplicacao (), satisfazendo as seguintes propriedades:

(Parte 1 de 6)

Comentários