variaveis aleatorias

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Capıtulo 4 Variaveis aleatorias

Neste capıtulo, introduzimos as variaveis aleatorias e suas distribuicoes de probabilidade.

Definicao 4.1 Dado um experimento aleatorio, descrito pelo espaco de probabilidades (Ω,E,P), uma funcao numerica X : Ω → R sera dita uma variavel aleatoria (do experimento).

Exemplo 4.2 No Exemplo 3.1, X = “numero lancado” e uma variavel aleatoria. Mais precisamente, X : Ω = {1,2,...,6} → R tal que X(ω) = ω e uma funcao numerica do experimento, e logo e uma variavel aleatoria.

Exemplo 4.3 No Exemplo 3.2, X = “numero escolhido” e uma variavel aleatoria. Neste caso, X : Ω = [0,1] → R tal que X(ω) = ω.

Exemplo 4.4 No Exemplo 3.5, X = “numero de lancamentos” e uma variavel aleatoria. Neste caso, X : Ω → R tal que X(ω) = ω.

Exemplo 4.6 No Exemplo 3.6, X = “distancia do ponto escolhido a origem” e uma variavel aleatoria. Neste caso, X : Ω = C → R tal que

Exemplo 4.7 (Amostragem aleatoria) De volta ao contexto do paragrafo sobre amostragem aleatoria em populacoes (comecando na pagina 91), seja Π uma populacao e X : Π → R uma variavel (numerica) definida em Π (neste contexto, para diferenciar de variavel aleatoria, falaremos em variavel populacional). Agora, consideremos uma amostragem casual simples de tamanho 1 nesta populacao. Como visto no paragrafo mencionado acima, o espaco amostral e Ω = Π. Podemos considerar entao o valor da variavel X no indivıduo sorteado. Neste contexto, X : Ω → R e uma variavel aleatoria.

No Exemplo 3.8, X = 1mulher e a variavel (aleatoria) indicadora de mulher.

Exemplo 4.8 (Amostragem casual simples com/sem reposicao) No Exemplo 3.9, X = “numero de mulheres na amostra” e uma variavel aleatoria. Podemos considerar o caso sem reposicao tambem.

4.1 Distribuicao de probabilidades de variaveis aleatorias

O que nos interessa nas variaveis aleatorias sao suas distribuicoes de probabilidade, isto e, as probabilidades dos diversos eventos envolvendo tais variaveis. Como no caso das variaveis populacionais, temos o caso discreto e o caso contınuo.

No Exemplo 4.2, os valores possıveis de X perfazem o conjunto {1,...,6}. Seguem exemplos de eventos envolvendo a v.a. X.

Entao,

1Omitiremos daqui para frente as chaves dos eventos envolvendo variaveis aleatorias dentro do sinal de probabilidade.

4.1.1 Variaveis aleatorias discretas

Quando o conjunto de valores possıveis de uma v.a. X for finito ou infinito enumeravel, como no exemplo acima, em que ele e finito, dizemos que X e dis- creta. Neste caso, sendo VX = {xi, i = 1,2,...} o conjunto de valores, entao se tivermos as probabilidades de todos os eventos {X = xi}, i = 1,2,..., (que diremos unitarios), entao, pela aditividade da probabilidade (3.20), podemos obter as probabilidades de eventos compostos como {X ≤ w}, {X > z}, onde w,z sao numeros arbitrarios, e outros, como segue.

A distribuicao de probabilidades de X e pois determinada pelas probabilidades dos eventos unitarios, ou em outras palavras pela funcao de probabi- lidade P(X = ·) : VX → [0,1]. No Exemplo 4.2, a distribuicao (de probabilidades) de X e pois dada por

, i = 1,, 6. (4.1)

e assim por diante, de forma que, lembrando que se trata de um espaco equiprovavel, podemos representar a funcao de probabilidade de X na Tabela 4.1.

4.1.2 Variaveis aleatorias contınuas

No caso em que VX for um conjunto infinito nao enumeravel, em geral nao e suficiente obter as probabilidades dos eventos unitarios {X = x}, x ∈ VX (nos casos que veremos nestas notas, estas probabilidades se anulam todas).

Vejam a discussao feita no paragrafo sobre espacos amostrais nao enumeraveis (pagina 86).

Neste caso, para caracterizar a distribuicao de probabilidades de X e suficiente termos as probabilidades dos eventos {X ∈ I}, onde I e um intervalo arbitrario da reta. Nos casos que veremos nestas notas, tais probabilidades serao dadas por funcoes de densidade de probabilidade fX. Isto e, existira uma funcao fX : R → [0,∞) tal que

a fX(x)dx

e ∧ indica o mınimo. Concluımos que para f = 1[0,1], a funcao indicadora do intervalo [0, 1], isto e

0, , caso contrario,

a f(x)dx, e entao f e a funcao de densidade de probabilidade de X.

Na descricao da distribuicao de uma v.a. contınua, e suficiente considerarmos intervalos I semiinfinitos (−∞,a]. No Exemplo 4.6, temos que

logo f(x) = 2x1[0,1](x) e a funcao de densidade de probabilidade de X neste caso (verifique).

Observacao 4.9 Como objetos matematicos, as funcoes de probabilidade e funcoes de frequencia, de um lado, e as funcoes de densidade de probabilidade e funcoes de densidade de frequencia, por outro, sao identicas, respectivamente, isto e, sao todas funcoes nao negativas satisfazendo (1.7) e (1.14), respectivamente. Uma situacao em que estes objetos se identificam e a seguinte.

Observacao 4.10 Seja X : Π → R uma variavel populacional definida na populacao Π, e facamos uma amostragem casual simples de tamanho 1 em Π. Como vimos no Exemplo 4.7, X observada no indivıduo amostrado e uma variavel aleatoria. Qual e a distribuicao de probabilidades de X?

Vamos supor que X seja uma variavel populacional discreta, cuja distribuicao de frequencias e dada pela funcao de frequencia P(X = ·). Entao para

Por outro lado, a probabilidade do evento {X = x} e dada por

pois se trata de espaco equiprovavel. Mas como re/vimos no Exemplo 4.7, Ω = Π, e logo os lados direitos de (4.2) e (4.3) sao iguais. Portanto, para x ∈ VX, e temos a coincidencia das funcoes de frequencia e de probabilidade de X, vista como variavel populacional e aleatoria, respectivamente.

Por um raciocınio analogo, valendo-nos neste caso de aproximacoes, concluimos que tambem no caso de uma variavel populacional contınua X, se fizermos amostragem casual simples de tamanho 1 na populacao em questao, e observarmos X no indivıduo sorteado, entao a distribuicao de probabilidades de X, variavel aleatoria neste contexto, e dada por uma funcao de densidade de probabilidade, que e identica a funcao de densidade de frequencia de X vista como variavel populacional.

Em conclusao, ao fazermos uma amostragem casual simples de tamanho 1 de variavel populacional, obtemos uma variavel aleatoria, cuja distribuicao de probabilidades e dada pela distribuicao de frequencias da variavel populacional. Isto se manifesta, em particular, na coincidencia comentada na Observacao 4.9 acima.

Observacao 4.1 Em vista da Observacao 4.9, e natural empregarmos as mesmas formas de descricao para as distribuicoes de probabilidades de variaveis aleatorias do que as utilizadas para as distribuicoes de frequencias de variaveis populacionais. Fazemos isto nas subsecoes seguintes.

4.1.3 Funcao de distribuicao acumulada

Dada uma variavel aleatoria X, sua funcao de distribuicao (acumulada) FX e a funcao FX : R → [0,1] tal que para todo x ∈ R

(Compare com a definicao no inıcio da Subsecao 1.3.)

Como no caso das funcoes de distribuicao de variaveis populacionais, a funcao de distribuicao e nao decrescente, satisfazendo lim

No caso de v.a.’s discretas, a funcao de distribuicao e do tipo escada (constante por partes, com saltos; veja a Observacao 1.17). Para v.a.’s contınuas, a funcao de distribuicao e contınua (veja a Observacao 1.18).

No Exemplo 4.2, FX e representada na Tabela 4.2, e seu grafico aparece na Figura 4.1.

No caso do Exemplo 4.3, vimos acima que f = 1[0,1] e a funcao de densidade de probabilidade de X, logo

cujo grafico aparece na Figura 4.2.

Observacao 4.12 Como no caso das distribuicoes de frequencias para variaveis populacionais, a funcao de distribuicao de uma variavel aleatoria determina sua distribuicao de probabilidades. (Veja a Observacao 1.19.)

A esperanca de uma variavel aleatoria e por definicao a media de sua distribuicao de probabilidades (no mesmo sentido de media de distribuicao de frequencias vista na Subsecao 2.1.1). Isto e, se X for uma v.a. discreta, entao

onde a soma e sobre o conjunto VX de valores de X, e P(X = ·) e a funcao de probabilidade de X; e se X for uma v.a. contınua, entao,

onde fX e a funcao de densidade de probabilidade de X. Outros nomes usados para designar a esperanca sao valor esperado e

No Exemplo 4.3, como ja vimos fX = 1[0,1], e logo temos que

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