Baixe Exercícios Resolvidos 2013 Superfícies Quádricas Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle e outras Exercícios em PDF para Física, somente na Docsity! GUIDG.COM – PG. 1 14/4/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos – Superfícies Quádricas * Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle. 1 – Revisão de conteúdo. 2 – Veja alguns exemplos gráficos de superfícies geradas a partir do computador. Partindo de exercícios mais simples, e seguindo até as formas mais complicadas. Uma brevíssima revisão das equações e dos gráficos de superfícies: Elipsóide: Centro C(0, 0, 0): x 2 a2 ffff+ y 2 b2 ffff+ z 2 c2 fff= 1 O sinais da equação são positivos. a, b e c são os eixos das elipses. Centro C(h, k, l): x @ h ` a2 a2 fffffffffffff+ y@ k b c2 b2 ffffffffffffff+ z@ l ` a2 c2 ffffffffffff= 1 Hiperbolóide de uma folha: Centro C(0, 0, 0). Um dos sinais é sempre negativo. (1) + + - : x 2 a2 ffff+ y 2 b2 ffff @ z2 c2 fff= 1 (2) + - + : x 2 a2 ffff @ y2 b2 ffff+ z 2 c2 fff= 1 (3) - + + : @ x 2 a2 ffff+ y 2 b2 ffff+ z 2 c2 fff= 1 Hiperbolóide de duas folhas: Centro C(0, 0, 0). Dois sinais são sempre negativos. (1) + - - : x 2 a2 ffff @ y2 b2 ffff @ z2 c2 fff= 1 (2) - + - : @ x 2 a2 ffff+ y 2 b2 ffff @ z2 c2 fff= 1 (3) - - + : @ x 2 a2 ffff @ y2 b2 ffff+ z 2 c2 fff= 1 GUIDG.COM – PG. 2 Parabolóide Elíptico: Os sinais são iguais. ax, by, cz (1) x 2 a2 ffff+ y 2 b2 ffff= cz (2) x 2 a2 ffff+ z 2 c2 ffff= by (3) y2 b2 ffff+ z 2 c2 ffff= ax Parabolóide Hiperbólico (Sela): Os sinais são contrários. (1) y2 b2 ffff @ x 2 a2 ffff= cz (2) z2 c2 ffff @ x 2 a2 ffff= by (3) z2 c2 fff @ y2 b2 ffff= ax Superfície Cônica: Equações semelhantes às do Elipsóide porem igualadas à zero. O termo de sinal negativo indica o eixo dos cones. (1) eixo z (fig. ao lado): x 2 a2 ffff+ y 2 b2 ffff @ z2 c2 fff= 0 z=0 , a = b, obtém-se uma superfície cônica circular. Mas se a ≠ b então obtém-se uma superfície cônica elíptica. O mesmo se aplica nas demais equações. (2) eixo x: @ x 2 a2 ffff+ y 2 b2 ffff+ z 2 c2 fff= 0 (3) eixo y: x 2 a2 ffff @ y2 b2 ffff+ z 2 c2 fff= 0 GUIDG.COM – PG. 5 i) z = x² + y² Solução: x=0 , z = y² Essa equação identifica uma parábola que intercepta o eixo z e percorre o eixo y y=0 , x²=z Essa equação identifica uma parábola que intercepta o eixo z e percorre o eixo x z = x² + y² Essa equação identifica uma circunferência, no centro do sistema xyz z=0, x²+y²=0 (raio = 0, não existe circunferência) z=4, x²+y²=4 (raio = 2, existe circunferência) e a medida que aumentamos z, o raio também aumenta (proporcionalmente), e o parabolóide vai crescendo infinitamente! Parabolóide circular. GUIDG.COM – PG. 6 n) 4y² + z² - 4x = 0 Solução: Apenas manipulando a equação, dividindo tudo por 4 e isolando x. 4y2 + z2@ 4x = 0 4 fffffffffffffffffffffffffff [ y2 + z 2 4 fff= x Essa última equação, identifica uma elipse que varia no eixo x. Vemos que o eixo maior (2a) está em z, e o eixo menor (2b) em y. Dando valores para x, fica mais fácil de desenhar: x = 0 , não existe elipse! x = 1 , y2 + z 2 4 fff= 1 eixo maior em z, a²=4 , b²=1 logo a = ± 2 , b = ± 1 x = 4 , y2 + z 2 4 fff= 4 [ y 2 4 ffff+ z 2 16 ffff= 1 eixo maior em z, a²=16, b²=4 logo a = ± 4 , b = ± 2 Veja que se zerarmos y e depois z , temos as parábolas de equações: z² = 4x e y² = x . A parábola cinza do gráfico tem equação: z² = 4x Veja que a elipse aumenta conforme percorre o eixo x. O software mudou o ângulo, mas os eixos onde a elipse varia, são os mesmos! Parabolóide elíptico. GUIDG.COM – PG. 7 Prova de exame, exercício 5 (Udesc 2009/2). Identificar as quádricas definidas pelas equações e representar graficamente: a) @ x 2 4 ffff+ z 2 9 fff @ y2 4 ffff= 1 b) y =@ x 2@ 3z2 + 2 Solução: a) O processo é o mesmo veja (e você tem que dominar o conteúdo de hipérboles). x = 0, z2 9 fff @ y2 4 ffff= 1 Identifica uma hipérbole. No eixo z (±3), e em y (±2). Com esses pontos traçamos as assíntotas e depois a hipérbole. y = 0, @ x 2 4 ffff+ z 2 9 fff= 1 Também identifica uma hipérbole no eixo z (±3), e em x (±2). z = 0, aqui não existe curva. Logo com as duas hipérboles já temos uma idéia do que se trata e podemos fazer o gráfico. Na (fig. a) mostra-se as assíntotas. Em azul estão as do plano y0z, quando x = 0. Em verde estão as do plano x0z, quando y = 0. O significado das assíntotas nesse caso, é que o hiperbolóide (de duas folhas) vai se aproximando das retas, mas nunca o tocando (isso nos da uma idéia de como desenhar, por isso é útil). Hiperbolóide de duas folhas. (fig.a) (fig.b)