aula4 - series numericas

aula4 - series numericas

(Parte 1 de 3)

UFPA Calculo 1

Nenhuma pesquisa feita pelo ser humano pode ser chamada realmente de ciencia se ela nao puder ser demonstrada matematicamente.1

Analise4

Na aula anterior estudamos certas sequencias que tinham a particularidade de que seus termos gerais eram representados por somas. Relembremos algumas delas.

Exemplo 1. Comecemos com a sequencia dada por

Sn = 1 + r + r2 ++ rn,

em que r e um numero real, e observemos que as parcelas desta soma sao termos de uma progressao geometrica de razao r. Como ja foi visto

Sn = 1 + r + r2 ++ rn =

medida que n cresce a soma Sn aumenta o numero de parcelas de modo que fazer n → +∞ seria, grosso modo, considerar uma soma com um numero infinito de parcelas, de modo que e razoavel pensar em fazer

lim

(1 + r + r2 ++ rn) = lim

j=0 rj que e, de maneira ainda pouco rigorosa, um tipo de soma com a qual trabalharemos nesta aula e a seguinte. Assim, poderıamos escrever

desde que |r| < 1. Isto nos diz que podemos ”somar”uma quantidade infinita de parcelas mas o resultado desta operacao pode ser algo finito.

Vejamos um outro exemplo. Exemplo 2. Consideremos a sequencia (Sn) dada por

++

1 Leonardo da Vinci

2 Calculo UFPA vista no exemplo 4 da Aula 3 e facamos as seguintes estimativas:

e prosseguindo desta maneira, obtemos

para +∞. Neste caso, a ”soma”de uma quantidade infinita de parcelas e infinita, muito embora as parcelas tendam a zero. Neste caso, diz-se que a serie

Exemplo 3. No exemplo 1 ”somamos”infinitas parcelas o que resultou em algo finito. No exemplo 2 tivemos um resultado infinito. Vejamos um outro exemplo em que nenhuma destas coisas ocorre. Consideremos a sequencia cujos termos sao somas dadas por

S1 = 1, S2 = 1 − 1, S3 = 1 − 1 + 1, S4 = 1 − 1 + 1 − 1,

Na notacao de soma infinita podemos escrever ∞∑

Pode-se observar que

de modo que a sequencia (Sn) diverge pois ela possui duas subsequencias

nem possui valor finito nem resulta em +∞.

Para concluir este exemplo, convidamos o leitor a analisar criticamente o que sera feito abaixo e identificar as falhas nos argumentos.

Consideremos a ”soma”

UFPA Calculo 3

Ora, por um lado S = 0 mas, por outro lado S = 1, o que e impossıvel. O que ha de errado nos argumentos acima?

Apos esta introducao informal iniciaremos o estudo rigoroso das Series Infinitas ou, simplesmente, Series.

Definicao 1. Uma Serie Infinita, ou simplesmente Serie, e um par de sequencias reais (an) e (sn) cujos termos estao ligados pelas relacoes

A primeira sequencia e chamada sequencia dos termos da serie e a segunda e chamada sequencia das somas parciais. Uma serie e, portanto, um par da forma ((an),(sn)) onde (an) e (sn) estao relacionados como acima. No entanto, e mais usual designar a serie como uma soma infinita

Atribuiremos um sentido tal soma a qual sera designada por (S).

Definicao 2. Dada uma sequencia (an) construa uma outra sequencia De repente o mostrador lu-

minoso[da calculadora] me revela uma fileira de 3-chego a pensar que haja enguicado.E que cai naquilo a que os entendidos chama de de dızima periodica- algo que sempre me fascinou, mais pelo nome que pela compreeensao de seu significado. Saber que a serie de algarismos se prolonga indefinidamente me parece tao fantastico como aquela definicao de paralelas, segundo a qual elas ”se encontram no infinito”. Onde fica o infinito? Eis uma questao que nem Dostoievski ousou formular. (Fernando Sabino, na cronica DOIS E DOIS SAO CINCO, contida em A Falta que ela me faz.

(sn) definida por

Caso a sequencia (sn) tenha um limite s diremos que a serie (S) converge e que sua soma e s, e escreve-se

Se a sequencia (sn) nao convergir diz-se que a serie (S) diverge.

As expressoes sn = n∑ j=1 aj sao chamadas Somas Parciais ou Reduzi- das de ordem n da serie (S).

4 Calculo UFPA

Vejamos alguns exemplos ilustrativos Exemplo 4. Consideremos o numero decimal

0, 9

e que pode ser reescrita como

em que o termo entre colchetes e familiar ao leitor. Basta que ele recorde da soma dos termos de uma serie geometrica com razao 0 < r < 1. No presente caso tem-se que r = 110 . Deste modo,

0, 9= 1.

o que confirma exatamente aquilo que esperavamos, ou seja,

sendo que nos outros casos em que |r| ≥ 1 a serie geometrica diverge.

serie geometrica. Consideremos a dızima periodica d = 0,215626262e

Exemplo 5. Vejamos uma outra situacao que tambem recai em uma determinemos a sua geratriz. Neste caso tem-se

d = 0,215 + 0,00062 + 0,0000062 + 0,000000062 +

de modo que

+

e daı

UFPA Calculo 5 em que o termo entre colchetes e um serie geometrica cuja razao e 1 102 .

Logo,

e entao

que e a geratriz da dızima periodica em estudo.

Exemplo 6. Consideremos, agora, a serie

conhecida como Serie Telescopica. Observando que

pode-se escrever a soma parcial sn como

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