aula6 - limite de função

aula6 - limite de função

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UFPA Calculo 1

Analise7-Limites

Poderıamos dizer que a Analise Matematica e area da Matematica que usa, de maneira sistematica, o conceito de limite. Tal conceito e usado no estudo de sequencias, series, continuidade, diferenciabilidade, integracao, Os genios sao meteoros raros, nem sempre beneficos. E raramente serao frutos espontaneos da natureza: as mais das vezes os cria a paciencia e a perseveranca. E a assiduidade na educacao metodica e sistematica de nos mesmos o que descobre as grandes vocacoes e os grandes observadores, os grandes inventores, os grandes homens de estado. Rui Barbosa, Discurso no Colegio Anchieta, Ed. Cit., pags. 23-26.

etc. Nas aulas anteriores de Analise estudamos de maneira rigorosa as questoes de convergencia de sequencias e series, enquanto que nas aulas de calculo abordamos, de modo intuitivo e informal, as nocoes de limites, continuidade, diferenciabilidade e integracao. Nosso objetivo, a partir desta aula, e o de colocar em bases firmes e rigorosas estes conceitos.

Definicao 1. Um ponto p ∈ R e dito um ponto de acumulacao de um subconjunto A de R se, para todo epsilon > 0 o intervalo aberto (p − ,p + ) possui um ponto de A diferente de p.

O conjunto dos pontos de acumulacao de Ae chamado conjunto derivado de A e designado por A′.

Tal definicao e da maior importancia ao trabalharmos com o conceito de limite de funcoes em um determinado ponto em torno do qual analisaremos o comportamento de uma dada funcao. Deve-se observar que um ponto de acumulacao de um conjunto A ⊂ IR nao pertence necessariamente ao conjunto A. Isto ficara claro nos varios exemplos vistos a seguir.

Exemplo 1. Todo conjunto que possua um ponto de acumulacao e infinito. De fato, suponhamos que p ∈ IR seja ponto de acumulacao de

{a1,a2,...} ⊂ A e um conjunto infinito. Destas observacoes segue-se que existe uma sequencia em A constituıda de termos distintos convergindo para p. Tambem conclui-se que se A for finito ele nao tera pontos de acumulacao. O seguinte resultado e demonstrado de maneira simples com o auxılio do que foi feito neste exemplo.

Teorema 1. Um ponto p ∈ IRe ponto de acumulacao de um subconjunto

A de IR se, e somente se, existir uma sequencia (an) em A, an 6= am, para todo m 6= n, tal que limn→∞ an = p.

Exemplo 2. O conjunto dos pontos de acumulacao dos racionais IQ e constituıdo por todos os numeros reais, isto e, IQ′ = IR. Isto e consequencia de uma observacao dada na Aula 1 de que todo intervalo de IR contem

2 Calculo UFPA numeros racionais. Tambem temos, por uma razao semelhante, que (IQc)′ = IR.

Definicao 2. Sejam A ⊂ IR,f : A → IRe p um ponto de acumulacao de A. Diz-se que l ∈ IRe limite de f em p se, dado qualquer numero positivo existir um numero positivo δ, que em geral depende de e p, tal que

Designa-se tal fato por

e tambem diz-se que f converge(ou tende) para l quando x converge( ou tende) para p. Deve-se observar, e o leitor esta convidado a mostrar isto como exercıcio, que o limite, quando existe, e unico.

Exemplo 4. O limite de constante e a propria constante. Mais precisamente sejam f : A → IRuma dada funcao em que A ⊂ IRe p ∈ IRe um ponto de acumulacao de A. Se f(x) = k para todo x ∈ A, entao

o que prova a nossa afirmacao. Observe que, neste caso, o δ nao depende de nem do ponto particular que estamos a considerar.

Rudolf Lipschitz foi um matematico alemao nascido em Konigsberg( hoje Kaliningrad, Russia), em 14 de maio de 1832 e falecido em 7 de outubro de 1903 em Bonn, Alemanha. Lipschitz concluiu seu doutorado na Universidade de Konigsberg, em 9 de agosto de 1853, e teve uma prolıfica carreira de pesquisador, produzindo importantes trabalhos em Teoria dos Numeros, Funcoes de Bessel, Series de Fourier, Equacoes Diferenciais Ordinarias e Parciais e Teoria do Potencial.

em que M e uma constante positiva. Funcoes que satisfazem esta condicao sao chamadas funcoes de Lipschitz ou funcoes Lipschitzianas. Neste caso tem-se

Funcoes que tenham esta propriedade sao ditas funcoes contınuas e seu estudo sistematico sera feito nas Aulas 7 e 8. Para verificar o limite acima

entao

o que mostra o limite acima. Observe que o δ deste exemplo depende de mas nao depende do ponto p ∈ I.

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Consideremos um exemplo mais trabalhoso.

Devemos fazer uma estimativa de de modo que ela se torne menor que um certo > 0, dado arbitrariamente, sempre que x esteja proximo de p. Como o conceito de limite e local devemos ter a preocupacao apenas com os valores de x que estejam proximos de p. Para iniciar, observemos que

ou seja, lim x→p x2 = p2. Novamente temos uma funcao contınua, conforme observado no exemplo anterior. Note que, no presente exemplo, o valor de δ depende de e do ponto p.

que se p > 0, entao lim

Como nos casos anteriores, dado > 0 devemos mostrar que | 1

sempre que x esteja proximo de p. Inicialmente devemos ser cuidadosos com os valores de x a fim de que ele nao se torne muito proximo de zero.

Isto ficara claro na estimativa a seguir∣∣∣∣ 1 x2

4 Calculo UFPA de modo que devemos fazer uma estimativa cuidadosa no denominador do ultimo termo da desigualdade acima. Para isto facamos uma restricao inicial para x. Suponhamos que

Tambem

Tome, entao,

Portanto, o que era exatamente aonde gostarıamos de chegar. Logo, lim

Estabeleceremos um resultado, que algumas vezes e usado como definicao de limite, que relaciona o conceito de limite com o de sequencia ja previamente estudado.

Teorema 2. Sejam f : A → IR,A ⊂ IRe p um ponto de acumulacao de

A. Entao lim x→p f(x) = l existe se, e somente se, para toda sequencia (xn) em A, convergindo para p e tal que xn 6= p para todo n ∈ IN, tivermos que a sequencia (f(xn)) converge para l.

Demonstracao. Suponhamos que exista lim x→p f(x) = l e considere uma sequencia (xn) em A, convergindo para p com xn 6= p para todo n ∈ IN.

Deve-se mostrar que f(xn) converge para l. Para isto tomemos > 0 e usando a definicao de limite encontraremos um δ > 0 tal que

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donde resulta que f(xn) → l e esta primeira parte do teorema esta demonstrada. Vejamos a recıproca, ou seja, se para toda sequencia (xn) em

Suponhamos que lim x→p f(x) = l nao se cumpra, isto e, existe > 0 tal que

n encontraremos uma sequencia (xn) em A,xn 6= p de modo

sequencia (xn) no conjunto A,xn 6= p convergindo para p mas (f(xn)) nao converge para l, o que conclui a demonstracao.

Exemplo 8. Consideremos a funcao f : IR→ IRdefinida por

Tomemos uma sequencia (xn) constituıda de termos positivos e convergindo para 0. Assim, f(xn) = 1 → 1. Por outro lado, se tomarmos uma sequencia (yn) constituıda de termos negativos e convergindo para zero teremos f(yn) = 0 → 0. De acordo com o Teorema 2 tal funcao nao possui limite em 0, muito embora ela permaneca limitada em qualquer in- tervalo contendo 0. Outra coisa que deve ser observada, nao apenas neste exemplo como em todos os outros, e que a existencia, ou nao, do limite nao depende do valor da funcao no ponto em o tivermos calculando.

Vejamos um exemplo em que a nao existencia do limite ocorre de modo que a funcao explode em para valores proximos do ponto no qual estamos tentando analisar a existencia do limite.

x e analisemos o seu compor- tamento em torno de 0. Para isto tome uma sequencia (xn), constituıda de termos positivos , tal que xn → 0. Neste caso tem-se que f(xn) → +∞. se a sequencia for constituıda de termos negativos e tender a zero teremos f(xn) → −∞. Portanto, a funcao deste exemplo nao possui limite em 0.

Teorema 3. Se f : A → IR,A ⊂ IR for tal que lim x→p f(x) existir, onde p

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