Baixe Controle de processo Petroquímicos e outras Notas de estudo em PDF para Automação, somente na Docsity! CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS ENG – 009 Autor: Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid – kalid@ufba.br Revisora: Enga Grazziela Gomes Laboratório de Controle e Otimização de Processos Industriais - LACOI Departamento de Engenharia Química - DEQ Escola Politécnica - EP Universidade Federal da Bahia – UFBA Salvador, junho de 2004. Página 1 de 1 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Í N D I C E G E R A L CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO CAPÍTULO 2. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA CAPÍTULO 3. ANÁLISE DA DINÂMICA DE PROCESSOS CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DA DINÂMICA DE PROCESSOS CAPÍTULO 5. INSTRUMENTAÇÃO E VÁLVULAS DE CONTROLE CAPÍTULO 6. SISTEMAS LINEARES EM MALHAS FECHADAS CAPÍTULO 7. ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES CAPÍTULO 8. ESTRATÉGIAS DE CONTROLE CAPÍTULO 9. CONTROLE AVANÇADO CAPÍTULO 10. TEORIA DE CONTROLE MODERNO: ABORDAGEM POR ESPAÇO DE ESTADOS Página 1-3 de 9 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r √ Exemplo 01 F igura 1 -1 : Exemplo de cont ro le de p rocesso . √ Exemplo 02 Seja um tanque agitado, aquecido pela condensação do vapor d’água, conforme mostra a Figura 1-2. O objetivo deste processo é aquecer uma corrente de vazão w e temperatura T1 até alcançar a temperatura T2. Página 1-4 de 9 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r T2(t), w T1(t), w vapor condensado Figura 1 -2 : Tanque de aquec imento com ag i tação . Vamos considerar duas perguntas: Pergunta 1: Quanto de calor deve ser fornecido ao líquido no interior do tanque para que atinja a temperatura desejada T2? Considerando o tanque bem agitado não existem gradientes internos de temperatura e as propriedades do fluido na saída do tanque são as mesmas do interior do tanque (tanque perfeitamente agitado). O balanço de energia em estado estacionário no tanque indica qual a quantidade de calor que deve ser transferida é: Equação 1 -1 ( )sssszpssss TTcwQ ,1,.. −= Mas nas condições de projeto T2 é a temperatura de referência Tr ou temperatura desejada (set point), então podemos escrever a equação de projeto para o aquecedor: Equação 1 -2 ( )ssSPpssss TTcwQ ,1.. −= Pergunta 2: Mas se as condições mudarem (a vazão de líquido aumentar ou diminuir, a temperatura da alimentação oscilar ou se desejarmos uma temperatura na saída maior ou menor que a estabelecida no projeto), como iremos atuar sobre o sistema para que a temperatura na saída do tanque seja a temperatura desejada (T2 = Tr = TSP) ? Existem algumas possibilidades, uma delas é medir a temperatura no interior do tanque (T), comparar esta com a temperatura desejada (TSP) e atuar sobre a válvula de controle para que esta aumente ou diminua o fluxo de vapor para a serpentina, incrementando ou não a Página 1-5 de 9 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r transferência de energia para o fluido no tanque (veja Figura 1-3). Esta estratégia denomina-se controle por retroalimentação (Feedback Control). T T2(t), w2(t) T1(t), w1(t) vapor condensado TT TC F igura 1 -3 : Tanque de aquec imento ag i tado com contro le feedback . Na Tabela 1-1 vemos outras alternativas de estratégias de controle para este processo. Tabe la 1 -1 : Es t ra tég ias para o cont ro le de tempera tura de um tanque de aquec imento ag i tado . Método Variável Medida Variável manipulada Classificação 01 T Q Feedback 02 T1 Q Feedforward 03 T w Feedback 04 T1 w Feedforward 05 T1 e T Q Feedback / feedforward 06 T1 e T w Feedback / feedforward Podemos ainda instalar um trocador de calor a montante do tanque de aquecimento para diminuir ou eliminar a oscilação na temperatura T1 ou utilizar um tanque com um volume maior de modo a diminuir a oscilação na temperatura de saída T. Uma vez estabelecida a estratégia de controle é necessário determinar qual a lei ou algoritmo de controle para o controlador. Uma possibilidade é utilizar o controlador proporcional, no qual a mudança no fluxo de calor é proporcional à diferença entre a temperatura desejada (TSP(t)) e a temperatura medida (T(t)): Página 1-8 de 9 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r F igura 1 -5 : Le t ras de iden t i f i cação de ins t rumento ou função programada . Página 1-9 de 9 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Tabe la 1 -3 : Exemplo de iden t i f i cação de ins t rumento . T RC 210 02 A Variável Função Área de atividades Nº seqüencial da malha Identificação funcional Identificação da malha Sufixo Identificação do instrumento Onde: T Variável medida ou iniciadora: temperatura; R Função passiva ou de informação: registrador; C Função ativa ou de saída: controlador; 210 Área de atividades, onde o instrumento ou função programada atua; 02 Número seqüencial da malha; A Sufixo. Página 2-1 de 9 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Í N D I C E CAPÍTULO 2. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 2-2 2.1. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 2-3 2.2. NATUREZA QUALITATIVA DAS RESPOSTAS DE UM SISTEMA 2-5 2.3. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA COM ENTRADAS E SAÍDAS MÚLTIPLAS 2-7 Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 2-1: Raízes da Função de Transferência. 2-6 Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 2-1: Diagrama de blocos 01. 2-3 Figura 2-2: Diagrama de blocos 02. 2-4 Figura 2-3: Diagrama de blocos 03. 2-4 Figura 2-4: Localização das raízes da equação característica. 2-6 Figura 2-5: Função exponencial [(a) decrescente (b); crescente] e gráfico de oscilação [(a) crescente; (b) decrescente; (c) amplitude constante]. 2-7 Figura 2-6: Diagrama de blocos 04. 2-7 Figura 2-7: Diagrama de blocos 05. 2-8 Página 2-4 de 9 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 2 -12 )(. 1 1.2)( 1 1.2)(:. 22 tXtYss ssGex     ++ + =⇒ ++ + = DD D Ou, Equação 2 -13 XXYYY +=++ DDD .22 Equação 2 -14 )()(.)()()( ""'" tXtXtYtYtY +=++⇒ 2 P4. O princípio da superposição é válido (operador linear) para: Equação 2 -15 )()()( 21 sXsXsX += Equação 2 -16 )()()().()().()().()( 2121 sYsYsXsGsXsGsXsGsY +=+== Em diagrama de blocos: PROCESSO X1(t) Y(t) X2(t) F igura 2 -2 : D iagrama de b locos 02 . G(s) X1(s) Y1(s) G(s) X2(s) Y2(s) + + Y(s) F igura 2 -3 : D iagrama de b locos 03 . P5. O denominador de G(s) igualado a zero é denominado de equação característica. A estabilidade de um sistema linear invariante com o tempo pode ser determinada avaliando as raízes da equação característica: se todas as raízes têm partes reais negativas o sistema é estável, caso alguma raiz tenha parte real positiva o sistema é instável. Exemplo: Página 2-5 de 9 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 2 -17 ).21().21(5.2 1)( 2 j C j B −− + +− = +− + = ssss ssG Equação característica: Equação 2 -18 0522 =+− ss Raízes da equação característica: Equação 2 -19 ( )jr .211 ++= Equação 2 -20 ( )jr .212 +−= Portanto, o sistema é instável pois as raízes do denominador da função de transferência tem parte real positiva. P6. As raízes do denominador são os pólos do sistema e as raízes do numerador são os zeros do sistema. Quando o número de zeros (nz) é menor que o número de pólos (np), diz-se que existem (nz – np) zeros no infinito; a recíproca é válida. Para a Equação 2-17: Equação 2 -21 2.j 1 P e 2.j 1 P :pólos 21 =+= Equação 2 -22 ∞== z e 1- z :zeros z1 P7. Em sistemas físicos exeqüíveis: nz ≤ np. 2 . 2 . N a t u r e z a Q u a l i t a t i v a d a s R e s p o s t a s d e u m S i s t e m a Freqüentemente, estamos interessados apenas em determinar a estabilidade do sistema, uma forma simples e adequada para os propósitos de controle de processos é encontrar as raízes do denominador da função de transferência (pólos do sistema) e verificar sua localização no plano complexo. Seja G(s) uma função de transferência que pode ser escrita por uma razão de dois polinômios Q(s) e P(s): Equação 2 -23 ( )i n i ps sQ sP sQsGsXsGsY n − ==⇒= =0 )( )( )()()().()( Na Tabela 2-1 vemos as diferentes formas das contribuições da função transferência para as respostas dos sistemas. Enquanto que na Figura 2-4 podemos verificar a disposição das raízes da equação característica no plano complexo. Página 2-6 de 9 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Tabe la 2 -1 : Ra ízes da Função de T ransferênc ia . Raízes Características Termos em ƒ (t) para t ≥ 0 p1 p2, p2* p3, p3* p4, p4* p5 p6 Real, < 0 Complexa, Re < 0 Complexa, Re = 0 Complexa, Re > 0 Real, > 0 Real, = 0 C1. e-p1.t e-az.t [C1.cos(b2.t) + C2.sen(b2.t)] C1.cos(b3.t) + C2.sen(b3.t) Ea4.t [C1.cos(b4.t) + C2.sen(b4.t)] C1 ep5.t C1 Observações: 1. Onde a1, a2, ..., b1, b2, ..., p1, p2, ..., são constantes positivas. 2. Se algumas dessas raízes são repetidas o termo referente a essa raiz é multiplicado por uma série de potências de t: K1 + K2.t + K3.t2 + ... + Kr.tr-1, onde r é o número de repetições. 3. C1 + C2 + K1 + K2, ... + KR são obtidas a partir das condições iniciais. Na Figura 2-4 vemos a disposição dos pólos no plano complexo. Observe que as raízes reais geram respostas não oscilatórias amortecidas (p1), não oscilatórias não amortecidas (p6) e não oscilatórias com amplitude crescente (p5), portanto uma resposta instável; enquanto que as raízes complexas originam respostas oscilatórias amortecidas (p2, p2*), não amortecidas (p3, p3*) e com amplitudes crescentes (p4, p4*), isto é, a saída do sistema é instável. Em outras palavras as raízes localizadas no semi-eixo direito geram respostas instáveis. Eixo imaginário Eixo real p4 p3 p2 p1 p*2 p6 p5 p*3 p*4 F igura 2 -4 : Loca l i zação das ra í zes da equação carac ter ís t ica . À esquerda do eixo Im: f(t) decresce exponencialmente com t Página 2-9 de 9 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r MIMO - Multiple Input Multiple Output Obs.: Os processos químicos são, na sua maioria, MIMO-NL. Página 3-1 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Í N D I C E CAPÍTULO 3. ANÁLISE DA DINÂMICA DE PROCESSOS 3-3 3.1. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 3-6 3.2. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS CAPACITIVOS PUROS 3-22 3.3. ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 3-25 3.4. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS TIPO ATRASO-AVANÇO 3-45 3.5. COMPORTAMENTO DINÂMICO DE PROCESSOS COM TEMPO MORTO 3-48 3.6. EXERCÍCIOS 3-55 Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 3-1: Constantes de tempo de elementos primários de medição. 3-6 Tabela 3-2: Tempo (t) e valor alcançado pelo sistema PKAtY .)( . 3-11 Tabela 3-3: Tempo (t) e valor alcançado pelo sistema PKAtY .)( . 3-15 Tabela 3-4: Classificação dos Sistemas de 2ª ordem. 3-27 Tabela 3-5: Tanques em série com e sem interação. 3-40 Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 3-1: Desenho esquemático de um termopoço / termopar. 3-3 Figura 3-2: Diagrama de blocos 01. 3-6 Figura 3-3: Diagrama de blocos 02. 3-8 Figura 3-4: Diagrama de blocos 03. 3-8 Figura 3-5: Função degrau de amplitude A. 3-10 Figura 3-6: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação degrau. 3-12 Figura 3-7: Comportamento dinâmico de termopares sem (τTs) e com poço (τTc). 3-13 Figura 3-8: Função impulso de amplitude A. 3-14 Figura 3-9: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-15 Figura 3-10: Resposta real de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-16 Figura 3-11: Função pulso de amplitude A. 3-17 Figura 3-12: Resposta de sistema de 1ª ordem a perturbação pulso de amplitude A. 3-19 Figura 3-13: Função seno de amplitude A, freqüência ω e período T. 3-20 Figura 3-14: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação seno de amplitude A e freqüência w. 3-22 Figura 3-15: Diagrama de blocos de um sistema capacitivo. 3-23 Página 3-2 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Figura 3-16: Tanque com vazão de descarga constante. 3-23 Figura 3-17: Processo capacitivo submetido a perturbação degrau de amplitude A. 3-25 Figura 3-18: Diagrama de bloco para sistema de 2ª ordem. 3-26 Figura 3-19: Resposta do sistema de 2ª ordem superamortecido a perturbação degrau. 3-28 Figura 3-20: Influência do fator de amortecimento ζ e do período natural de oscilação τ de um sistema de 2ª ordem superamortecido a perturbação degrau. 3-29 Figura 3-21: Influência do fator de amortecimento ζ na resposta do sistema de 2ª ordem subamortecido, submetido a perturbação de amplitude A. 3-30 Figura 3-22: Características do sistema de 2ª ordem subamortecido submetido a perturbação degrau de amplitude A. 3-32 Figura 3-23: Respostas dos sistemas de 2ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3-34 Figura 3-24: Dois tanques não-interativos em série. 3-35 Figura 3-25: Dois tanques interativos em série. 3-38 Figura 3-26: Respostas de sistemas e perturbação degrau de amplitude A. 3-40 Figura 3-27: Reator CSTR submetido a perturbação na composição e temperatura da alimentação. 3-41 Figura 3-28: Resposta do sistema (Equação 3-184). 3-47 Figura 3-29: Diagrama pólo-zero para o sistema (Equação 3-184) – X: localização do pólo, □ : localização do zero. 3-47 Figura 3-30: Resposta ao degrau de um sistema superamortecido com um zero. 3-48 Figura 3-31: Transporte de fluido por uma tubulação em escoamento pistão. 3-49 Figura 3-32: (a) Resposta ao degrau das aproximações de Padé de 1ª e 2ª ordem de um tempo morto puro. (b) Resposta ao degrau de um sistema de 1ª ordem com tempo morto (τm = 0.25τP) utilizando aproximações de Padé de 1ª e 2ª ordem para sme τ− . 3-51 Figura 3-33: Reator gotejante com reciclo. 3-52 Figura 3-34: Reator com reciclo submetido a perturbação degrau na composição da alimentação: (a) resposta completa; (b) detalhe nos instantes iniciais. 3-55 Figura 3-35: Tanque para alivio de pressão. 3-55 Figura 3-36: Tanque não interativos em série. 3-57 Figura 3-37: Tanque de aquecimento. 3-60 Figura 3-38: Gráfico exercício (7). 3-60 Figura 3-39: Gráfico para exercício (9). 3-62 Figura 3-40: Gráfico do exercício (10). 3-63 Figura 3-41: Gráfico do exercício (11). 3-63 Figura 3-42: Gráfico do exercício (12). 3-64 Figura 3-43: Esquema do exercício (13). 3-64 Página 3-5 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 3 -11 ( ) ( ) m,ssmm TtTtT −= e Equação 3 -12 ( ) ( ) ssTtTtT −= Então: Equação 3 -13 ( )[ ] ( ) ( )tTtTtT dt d mmT =+τ .. Aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-13: Equação 3 -14 ( ) ( ) ( )sTsTTsTs mmmT =+− 0..τ Mas, Equação 3 -15 ( ) ( ) 000 =−=−= ssmssmssmmm TTTTT ,,, Então: Equação 3 -16 ( ) ( ) 1. 1 + = ssT sT T m τ Portanto, para que a temperatura indicada/transmitida pelo termopar esteja o mais próximo possível da temperatura do fluido, ou seja, Tm(t) = T(t), a constante de tempo do conjunto termopar/termopoço deve ser minimizada, para isto acontecer a capacitância térmica dos sistema ( )Cm . deve ser mínima, enquanto a facilidade à transferência de calor (UG*A) deve ser máxima (resistência mínima). A Equação 3-16 define a função transferência de primeira ordem de ganho unitário e constante de tempo τT, entre a entrada do sistema – temperatura do fluido, perturbação T(t) – e a saída do sistema – temperatura medida Tm(t). Podemos representar a função de transferência (da Equação 3-16) através de um diagrama de bloco: Página 3-6 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r 1/ τTs + 1 T(s) Tm(s) F igura 3 -2 : D iagrama de b locos 01 . Na Tabela 3-1 vemos valores típicos de constantes de tempo de alguns elementos primários de medição. Tabe la 3 -1 : Constan tes de tempo de e lementos pr imár ios de med ição . Tipo Ordem de τm Termômetro de vidro Minutos Termômetro bimetálico < 1 minuto Termômetro a expansão Minutos Termopar em bainha Segundos Termopar com poço Minutos Termômetro a resistência Segundos a minutos Transmissão pressão absoluta 0.2 - 1.7 segundos Transmissão pressão diferencial 0.2 - 1.7 segundos Turbina 0.03 segundos Vortex 2.5 segundos Em geral, as constantes de tempo dos elementos de medição e transmissão devem ser menores que um décimo da constante de tempo do processo. 3 . 1 . E s t u d o d o C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e S i s t e m a s d e P r i m e i r a O r d e m Genericamente, um sistema de 1ª ordem2 é definido pela seguinte situação diferencial: Equação 3 -17 ( )[ ] ( ) ( )txbtyaty dt da ...1 =+ ο Se ao ≠ 0, então podemos dividir a Equação 3-17 por ao e obtemos: 2 A literatura também denomina o sistema de 1ª ordem de atraso de primeira ordem (first order lag) ou atraso linear (linear lag). Página 3-7 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 3 -18 ( )[ ] ( ) ( )txKtyty dt d PP Χ=+ ..τ onde Equação 3 -19 ο τ a a P 1= Equação 3 -20 o P a bK = Observe que aplicando a Equação 3-18 no estado estacionário: Equação 3 -21 ss.Χ= Pss KY E substituindo as variáveis desvio: Equação 3 -22 ( ) ( ) ( ) ( )    −= −= ss ss XtXtX YtYtY Obtemos: Equação 3 -23 ( )[ ] ( ) ( )tKtYtY dt d PP Χ=+ ..τ O novo estado estacionário alcançado após o sistema sofrer a perturbação X(t) será: Equação 3 -24 ∞Χ=∞ .pKY logo Equação 3 -25 ( ) ( ) ( ) ( ) ss ss -0 0 Χ∞Χ −∞ = Χ−∞Χ −∞ = ∞Χ ∞ =Κ YYYYY p ou Equação 3 -26 entradaiosestacionárestados saídaiosestacionárestados p ∆ ∆ =Κ Portanto, o ganho do processo determina o estado estacionário que o sistema irá atingir após sofrer uma perturbação. Aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-23. Página 3-10 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r 3 . 1 . 1 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o D e g r a u A função degrau pode ser descrita matematicamente das seguintes formas: Equação 3 -34 ( ) ( )οο t-t.uA+=− ssXttX Onde, A Amplitude de perturbação u(t – to) Função degrau unitário Equação 3 -35 ( ) ( )tXtX ss οt.uA+= Onde, uto(t) ≡ u(t – to) Equação 3 -36    ≥=+ = ∞ o,, o, t , t , )( tparaXAX tparaX tX ssoss oss p Graficamente a função degrau corresponde a Figura 3-5: F igura 3 -5 : Função degrau de ampl i tude A. Aplicando a variável desvio ( ) ( ) ssXtXtX −= na Equação 3-34 e em seguida a transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace: Página 3-11 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 3 -37 ( ) ( ).stο. s −= esX A Substituindo a Equação 3-37 na Equação 3-30: Equação 3 -38 ( ) ( ) ( )s.tPPs.t οο . 1s.s . 1. . s −−         + Κ = + Κ = ee s sY P P τ τ τ .AA Expandindo em frações parciais: Equação 3 -39 ( ) ( )s.t P PP P P ο. 1 . −                     + −      Κ = e s s sY τ ττ τ .A Aplicando a Transformada Inversa de Laplace: Equação 3 -40 ( ) ( )oP t-t.exp1 u            − −−Κ= P tt tY τ ο.A Ou Equação 3 -41 ( ) ( )oP t-t.exp1 u            − −−Κ+= P ss tt YtY τ ο.A Calculando a razão PKAtY .)( para alguns valores de τP construímos a Tabela 3-2: Tabe la 3 -2 : Tempo ( t ) e va lor a lcançado pe lo s is tema PKAtY .)( . t – to 0.0 10 Pτ 5 Pτ 2 Pτ τP 2*τP 3*τP 4*τP ∞ ( ) pΚ.A tY 0.000 0.095 0.181 0.394 0.632 0.865 0.950 0.982 1.000 A partir da curva Pt τ versus PKAtY .)( , conforme a Figura 3-6, concluímos que todo sistema de 1ª ordem é caracterizado por: (a) O sistema alcança 63.2% do valor do estado estacionário após decorrer o espaço de tempo de uma constante de tempo τP, isto é: Página 3-12 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 3 -42 ( ) 632.0 p = Κ.A pY τ (b) No instante inicial a inclinação da curva é unitária, isto é: Equação 3 -43 ( ) 0.1 0p =         Κ =t tY dt d .A (c) A interseção da tangente da curva no instante inicial com a assíntota da função no estado estacionário acontece no ponto (1.0, τP). (d) Para fins práticos, admite-se que o estado estacionário foi atingido quando um espaço de tempo equivalente a 3 ou 4 vezes a constante de tempo τP. F igura 3 -6 : Resposta de um s is tema de 1 ª o rdem a per tu rbação degrau . Observação: Curva vermelha (A) entrada X(t) e curva azul (B) resposta Y(t). Comparando a resposta de um termopar sem e com poço, verificamos que o poço introduz um atraso dinâmico que, a depender do sistema em estudo, não pode ser negligenciado. Veja Figura 3-7. Página 3-15 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 3 -50 ( ) ( )o pp p ss t-t ttexpYtY u..         τ − −         τ Κ += ο .A Calculando a razão PKAtY .)( para alguns valores de τP, construímos a Tabela 3-3: Tabe la 3 -3 : Tempo ( t ) e va lor a lcançado pe lo s is tema PKAtY .)( . t – to 0.0 10 Pτ 5 Pτ 2 Pτ τP 2*τP 3*τP 4*τP ∞ ( ) pΚ.A tY 0.0 0.905 0.819 0.606 0.368 0.135 0.050 0.018 0.0 A partir da curva Pt τ versus PKAtY .)( , conforme a Figura 3-9, concluímos que todo sistema de 1ª ordem, quando submetido a uma perturbação tipo impulso tem uma resposta inicial muito rápida, mas decorrido um espaço de tempo equivalente a 3 ou 4 vezes, sua constante de tempo retorna ao estado estacionário anterior à perturbação. Figura 3-9: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. Porém, um sistema físico real responderá a uma perturbação impulso conforme mostra a Figura 3-10, pois é impossível que ele saia do seu estado de repouso Xss e alcance instantaneamente o valor A. Página 3-16 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Figura 3-10: Resposta real de um sistema de 1ª ordem a perturbação impulso de amplitude A. 3 . 1 . 3 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e P r i m e i r a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o P u l s o A função pulso pode ser descrita matematicamente das seguintes formas: Equação 3 -51      > ≤≤=+ < = ∞ 1, 1,, o, t , t t , t , )( tparaX tparaXAX tparaX tX oss ossoss oss Equação 3 -52 ( ) ( ) ( )[ ]ttXtX 1o ttss uu −+= .A Equação 3 -53 ( ) ( ) ( )[ ]ttXtX 1o ttss uu −+= .A Graficamente a função impulso correspondente a Figura 3-11: Página 3-17 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r F igura 3 -11 : Função pu lso de ampl i tude A. Aplicando a variável desvio ( ) ( ) ssXtXtX −= na Equação 3-54 e em seguida a Transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace: Equação 3 -54 ( ) ( ) ( ){ }1t-tut-tu −= οL.AsX ou Equação 3 -55 ( ) ( ){ } ( ){ }[ ]1t-tut-tu −= οL.AsX Equação 3 -56 ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( )[ ]stst eesX .. .. οο −− −= tutu LL.A Equação 3 -57 ( ) ( ) ( )       = −− s e s esX stst .. 1 - ο .A Substituindo a Equação 3-57 na Equação 3-30: Equação 3 -58 ( ) ( ) ( )       + Κ = −− s e s e s sX stst .. p p 1 - 1. ο τ .A Expedindo em frações parciais: Página 3-20 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r F igura 3 -13 : Função seno de ampl i tude A, f reqüênc ia ω e per íodo T . Aplicando a variável desvio ( ) ( ) ssXtXtX −= na Equação 3-63 e em seguida a Transformada de Laplace, obtemos a função perturbação no domínio de Laplace: Equação 3 -64 ( ) 22s . ω ω + = AsX Substituindo a Equação 3-64 na Equação 3-30, expandindo em frações parciais e aplicando a Transformada Inversa de Laplace L-1: Equação 3 -65 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )ooo22 p t-tt-tt-t.1. K usencos ωωτωτω ωτ τ +− + = −− p tt p p poetY .A Lembrando da seguinte identidade trigonométrica: Equação 3 -66 ( ) ( ) ( )θ+ω=ω+ω t.rt.qt.p sen.cos.sen. onde Página 3-21 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 3 -67 ( )qp 22 arcig=+= θeqpr Equação 3 -68 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )oo22 p 22 t-tt-t1. . 1. .. usen         + + Κ + + = −− θω ωτωτ τω τ pp tt pp poeK tY AA Equação 3 -69 ( )t.-ω=θ arcig Ou Equação 3 -70 ( ) ( ) ( )tYtYtY estdin += Onde, Equação 3 -71 ( ) ( )( ) ( )o p tt p p t-t e. tY po u. . .. .din 122 +ωτ τω Κ= τ−−A E, Equação 3 -72 ( ) ( )( ) ( )oo p p est t-tt-t. K tY u.sen. . . θ+ω +ωτ = 122 A. Observe que a resposta à perturbação seno é composta de duas partes: uma diminui a medida que o tempo aumenta Ydin(t) e a outra é uma função periódica Yest(t). Portanto, no estado estacionário a resposta de um sistema de 1ª ordem a uma perturbação seno é uma função periódica, veja Figura 3-14, dada por: Perturbação: Equação 3 -73 ( ) ( ) ( )tt..XtX ss u.sen ω+= A Resposta ( t → ∞ ) Equação 3 -74 ( ) ( )[ ]θ+ω +ωτ += t. K YtY p p ss sen.. . 122 A. Comparando Equação 3-63 com Equação 3-74, veja Figura 3-14, concluímos que: (a) A amplitude da resposta do sistema é menor que a amplitude da perturbação, ou seja, o sistema amortece a entrada; (b) A resposta do sistema é uma onda senoidal com a mesma freqüência de entrada; Página 3-22 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r (c) A resposta está defasada de um ângulo de fase θ em relação ao estímulo, neste caso está atrasada pois θ é menor que zero. F igura 3 -14 : Respost a de um s is tema de 1 ª o rdem a per tu rbação seno de ampl i tude A e f reqüênc ia w . 3 . 2 . E s t u d o d o C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e S i s t e m a s C a p a c i t i v o s P u r o s Se a constante ao da Equação 3-17 for zero, então: Equação 3 -75 ( )[ ] ( )txbtY dt da .. =1 Dividindo por a1: Equação 3 -76 ( )[ ] ( ) ( )tXKtX a btY dt d .. ′== 1 Onde Processos definidos pela Equação 3-75 são denominados capacitivos ou integradores. Utilizando variáveis desvio e aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-76: Página 3-25 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r F igura 3 -17 : Processo capac i t i vo submet ido a per tu rbação degrau de ampl i tude A. Podemos constatar que: (a) Processos integradores são instáveis e de difícil controle e são não auto-regulados (enquanto que os sistemas de 1ª ordem são auto-regulados); (b) No exemplo, pequenas diferenças entre vazões da alimentação q1(t) e da descarga q2(t), levarão o tanque a transbordar ou secar. 3 . 3 . E s t u d o d o C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e S i s t e m a s d e S e g u n d a O r d e m Genericamente, um sistema de 2ª ordem é definido pela seguinte equação diferencial: Equação 3 -87 ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )tXbtYatY dt datY dt daZ .... 12 2 =++ Ο Se ao ≠ 0 então podemos dividir a Equação 3-87 por ao e obtemos: Equação 3 -88 ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )tXtYtY dt dty dt d p ..... Κ=+ζτ+τ 22 2 2 Onde, oa a 2=τ Período natural de oscilação Página 3-26 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r ζ Fator de amortecimento (Damping Factor) Ο =Κ a b P Ganho do processo e Ο =ζτ a a12 . Utilizando variáveis desvio e aplicando a Transformada de Laplace na Equação 3-88, obtemos a função de transferência do sistema de 2ª ordem: Equação 3 -89 ( ) ( ) ( ) 1...2. 22 ++ Κ == sssX sYsG P ζττ Sistemas de 2ª ordem podem surgir devido a: (1) Processos multiplicativos (sistemas de 1ª ordem em série), por exemplo: 2 tanques em série; (2) Sistemas intrinsecamente de 2ª ordem (raros em processos químicos), por exemplo: válvula de controle; (3) Sistema de controle feedback (malha fechada), por exemplo: sistema de 1ª ordem com controlador P + I. A resposta do sistema ( )sY a uma perturbação ( )sX é: Equação 3 -90 ( ) ( ) ( ) ( )sX ss sXsGsY P . 1...2. . 22 ++ Κ == ζττ Em diagramas de blocos: 1..222 ++ Κ ss P ζττ ( )sX ( )sY F igura 3 -18 : D iagrama de b loco para s is t ema de 2 ª o rdem. Logo: Equação 3 -91 ( ) ( ) ( ) ( )sXpsps KsY P . . 21 2 −− = τ Onde p1 e p2 são as raízes da função de transferência, pólos do sistema: Página 3-27 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 3 -92 2 4.4.2 22 2 1 ττ ζ τ ζ −+− =p e 2 4.4.2 22 2 2 ττ ζ τ ζ −−− =p Os parâmetros KP e τ tem o mesmos significados dos sistemas de 1ª ordem: KP é o ganho do processo, enquanto que τ determina a velocidade da resposta dos sistema. A Tabela 3-4 mostra a classificação dos sistemas de 2ª ordem a depender dos valores do fator de amortecimento ζ. Tabe la 3 -4 : C lass i f i cação dos S is temas de 2 ª o rdem. Fator de amortecimento Pólos p1 e p2 Classificação ζ > 1 Reais e distintos parte real negativa Superamortecido ζ = 1 Reais iguais parte real negativa Criticamente amortecido 0 < ζ > 1 Complexos conjugados parte real negativa Subamortecido ζ = 0 Complexas iguais parte real nula Oscilatório com amplitude cte. ζ < 0 Complexos conjugados parte real positiva instável 3 . 3 . 1 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e S e g u n d a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o D e g r a u Função degrau de amplitude A Equação 3 -93 ( ) ( )Ο+= t-t.tX uAssX Transformada de Laplace da função perturbação utilizando variáveis desvio: Equação 3 -94 ( ) stesX .. s Ο−= A Substituindo a Equação 3-94 na Equação 3-91: Página 3-30 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 3 -100 ( ) ( ) ( )Ο −         + − −Κ= t-t.t... 1 11.. * . 2P * usen θω ζ τ ζ t etY A Onde, Equação 3 -101 τ ζ− =ω 21 e Equação 3 -102         ζ ζ =θ 2-1 arcig Portanto, observamos que a resposta de um sistema de 2ª ordem subamortecido a perturbação degrau é uma senoide de amplitude decrescente (devido ao termo exponencial eζ.t/τ), de freqüência ω e ângulo de fase θ. Na Figura 3-21, Pt τ versus ( ) PKAtY . observamos que a resposta desse sistema perturbação degrau é uma curva oscilatória que gradativamente tende a atingir A.KP, diminuindo a amplitude da oscilação. Através da Figura 3-21 percebemos que a medida que o amortecimento diminui, isto é, ζ diminui, a oscilação aumenta, porém a rapidez da resposta também (maior derivada da curva no ponto de inflexão, e este acontece em um menor intervalo de tempo). F igura 3 -21 : In f luência do fa to r de amor tec imento ζ na resposta do s is tema de 2 ª o rdem subamor tec ido , submet ido a per tu rbação de ampl i tude A. Algumas características importantes devem ser observadas nos sistemas subamortecidos submetidos a perturbação degrau: Página 3-31 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r C1. Tempo de ascensão (Rise Time) tr: Tempo necessário para atingir pela primeira vez o novo estado estacionário. C2. Tempo do Primeiro Pico (Time to First Peak) tp: Tempo requerido para atingir o primeiro máximo da curva. C3. Tempo de resposta (Setting Time) ts: Tempo decorrido até que a saída oscilatória do sistema esteja dentro da faixa de +/- 5% do estado estacionário. Também se utiliza o valor ±1% para determinar o ts. C4. Sobre-elevação (Overshoot) OS: Razão entre o valor da função no pico máximo e o valor do novo estado estacionário: Equação 3 -103         Π = Κ == 2 P -1 .-exp . 0 ζ ζ A a b aS C5. Razão de Decaimento (Decay Ratio) DR: razão entre o valor do segundo pico e do primeiro pico: Equação 3 -104         ζ ζΠ === 2-1 -exp a cSDR ..20 2 C6. Período de oscilação (Period of oscilation) T1: Período de tempo transcorrido entre dois máximos: Equação 3 -105 21 1 2 ζ− τΠ = ..T Lembre que em uma senoide a freqüência em ciclos por unidade de tempo ft é dada por: Equação 3 -106 Π ω = .2t f E que o período de oscilação é o inverso da freqüência: Equação 3 -107 ω Π ==Τ .21 t t f Onde a freqüência angular ω é dada pela Equação 3-101. C7. Período Natural de Oscilação (Natural Period of oscilation) τ: período do sistema quando o amortecimento é nulo, isto é, ζ = 0: Página 3-32 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 3 -108 nn n f... Π = ω = Π Τ =τ 2 11 2 Onde ωn é a freqüência natural de oscilação do sistema não amortecido ζ = 0. Veja na Figura 3-22 a indicação das características discutidas anteriormente. F igura 3 -22 : Carac t e r ís t icas do s is tema de 2 ª o rdem subamor tec ido submet ido a per tu rbação degrau de ampl i tude A. Quando um sistema refere uma perturbação o desejável é ter uma resposta sem oscilações que atinja rapidamente o novo estado estacionário. Porém, estes objetivos são excludentes entre si, pois para garantir uma resposta não oscilatória ζ ≥ 1 temos que sacrificar a rapidez da resposta; por outro lado, se desejarmos uma resposta muito rápida, não podemos escolher um fator de amortecimento muito pequeno, pois a mesma seria muito oscilatória com uma sobre- elevação grande. Os projetistas de sistemas de controle, freqüentemente, trabalham com um fator de amortecimento na faixa de 0.4 a 0.8, isto é, 0.4 ≥ ζ ≤ 0.8, desta forma, consegue-se um compromisso entre velocidade de resposta, sobre-elevação, tempo de resposta e oscilação adequado para a maioria dos casos. 3 . 3 . 2 . C o m p o r t a m e n t o d e u m S i s t e m a d e S e g u n d a O r d e m a P e r t u r b a ç ã o I m p u l s o A função impulso pode ser descrita matematicamente da seguinte forma: Equação 3 -109 ( ) ( )Ο−δ+= tt.XtX ss A Ou em variável no domínio de Laplace: Equação 3 -110 ( ) ssX .t-e. Ο= A Substituindo a Equação 3-110 na Equação 3-91: Página 3-35 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Sejam dois tanques conforme a Figura 3-24, a descarga do primeiro tanque alimenta o segundo, na saída de cada um existe uma válvula que impõe ao escoamento uma resistência R1 e R2. q1(t) Tanque 1 h1(t) Tanque 2 h2(t) q3(t) R2 q2(t) R1 F igura 3 -24 : Do is tanques não- in te ra t i vos em sér ie . Realizando o balanço de massa nos dois tanques, assumindo escoamento laminar, obtemos: 1º tanque Equação 3 -115 ( )[ ] ( ) ( )tqthth dt d PP 11111 .. Κ=+τ 2º tanque Equação 3 -116 ( )[ ] ( ) ( )tqthth dt d PP 21222 .. Κ=+τ Onde Equação 3 -117 11111 ,. RRA PP =Κ=τ Equação 3 -118 22222 ,. RRA PP =Κ=τ e Página 3-36 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 3 -119 ( ) ( ) 1 1 2 R thtq = Substituindo a Equação 3-119 na Equação 3-116 e utilizando variáveis desvio, temos: Equação 3 -120 ( )[ ] ( ) ( )tqthth dt d PP 11111 .. Κ=+τ Equação 3 -121 ( )[ ] ( ) ( ) 1 1 1222 .. R ththth dt d PP Κ=+τ Aplicando a Transformada de Laplace e escrevendo as funções de transferências: Equação 3 -122 ( ) ( ) ( ) 1.1 1 1 1 1 + Κ == ssq shsG P P τ Equação 3 -123 ( ) ( ) ( ) 1.2 2 2 2 2 + Κ == ssq shsG P P τ Mas, Equação 3 -124 ( ) ( ) 1 1 2 R shsq = Então, Equação 3 -125 ( ) ( ) ( ) 1.1. 2 12 2 12 1 2* 2 + = + == s KK s RK sh shsG P PP P P ττ Podemos escrever a função da transferência global do sistema Gg(s), isto é, com a saída do processo (h2(t)) varia com a perturbação inicial (q1(t)): Equação 3 -126 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sq sh sh sh sq shsGsGsGg 1 2 1 2 1 1* 21 .. === Equação 3 -127 ( ) )1.(.)1.()1.( . )1.( 21 2 2 12 1 1 ++ Κ = + ΚΚ + Κ = ssss sG PP P P PP P P g ττττ Ou Equação 3 -128 ( ) ( ) ( ) 1...2. 221 2 ++ Κ == sssq shsG Pg ζττ Onde, Página 3-37 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r KP = KP2 = R2 21 . PP τττ = e ( ) 21 21 .2 PP PP ττ ττ ζ + = Portanto, da Equação 3-126 concluímos que dois tanques em série formam um sistema de 2ª ordem. Algumas particularidades são pertinentes a sistemas de 1ª ordem em série não-interativa: (a) Os sistemas são sempre criticamente amortecidos ζ = 1 (quando τP1 = τP2) ou superamortecidos ζ ≥ 0 (quando τP1 ≠ τP2) pois: Equação 3 -129 ( ) ( ) 2121 21 21 ..21 ..2 PPPPPP PP ττττ ττ ττ ζ ≥+⇒≥ + = Elevando ambos os membros da Equação 3-129 ao quadrado: Equação 3 -130 21 2 221 2 1 ..4..2 PPPPPP ττττττ ≥++ Equação 3 -131 0..2 2 221 2 1 ≥+− PPPP ττττ Equação 3 -132 ( ) 0 2 21 ≥− PP ττ Conforme queríamos demonstrar: (b) As conclusões do item (a) podem ser estendidas para n tanques em série. (c) Devido ao fato do sistema ser não-interativo, podemos resolver primeiro a Equação 3-120, conhecer o comportamento do nível do 1º tanque (h1(t)) a perturbação (q1(t)) e então utilizar este resultado para resolver a Equação 3-121, obtendo a variação de h2(t) com h1(t), √ Tanques interativos em série Seja dois tanques conforme a Figura 3-25, a descarga do primeiro tanque alimenta o segundo, na saída de cada um existe uma válvula que impões ao escoamento uma resistência R1 e R2, porém ao contrário do sistema não interativo, o nível de segundo tanque influência no nível do primeiro. Página 3-40 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r (c) “Sistemas capacitivos interativos são sempre superamortecidos, exceto quando ocorre produção de substâncias ou absorção/liberação de energia”. Da Tabela 3-5, concluímos que o amortecimento nos sistemas interativos é maior do que nos não interativos, pois o produto A1*R2 denominado fator de interação é sempre maior que 1, quanto maior A1*R2 mais intensa é a interação. Tabe la 3 -5 : Tanques em sér ie co m e sem in te ração . Não-interativo Interativo τ 21 . PP ττ 21 ττ . ζ ( ) 21 21 .2 PP PP ττ ττ + ( ) 21 2121 2 ττ +τ+τ .. RA ( ) ( )sq sh 1 1 ( )1.1 + Κ sP P τ ( ) 1. . 2121 2 21 211.2 +++++ ++ sRAs RRsR ττττ τ ( ) ( )sq sh 1 2 ( ) 1... 21221 2 +++ Κ ss PPPP P ττττ ( ) 1... 2121 2 21 2 +++++ sRAs R ττττ τ Da Figura 3-26, concluímos que a associação de capacitâncias torna a resposta do sistema mais lenta e que os sistemas interativos são mais amortecidos que os não interativos. Figura 3-26: Respostas de sistemas e perturbação degrau de amplitude A. Observação: Curva A – tanque; Curva B – 2 tanques não interativos; Curva C – 2 tanques interativos; Curva D – 4 tanques não interativos. √ Reator de Mistura Perfeita Uma configuração de reator bastante utilizada em processos químicos é o reator de mistura perfeita (Continuos Stirred Tank Reacion) ou CSTR. O estudo desse sistema é interessante Página 3-41 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r pois este reator submetido a uma perturbação na carga, isto é, na composição e temperatura da alimentação constitui um sistema multiplicativo de 2ª ordem. Seja um CSTR adiabático, conforme a Figura 3-27, no entanto acontece uma reação de isomerização irreversível e exotérmica: Equação 3 -148 B A → Com equação da taxa: Equação 3 -149 ( ) ( ) ( )tCtt A.ℜ=Γ Onde, Equação 3 -150 ( ) ( )( )tTRgEet .. −Οℜ=ℜ CA(t) T(t) h = cte. q2 T2(t) CA2(t) q1 T1(t) CA1(t) F igura 3 -27 : Reator CSTR submet ido a per tu rbação na composição e tempera tura da a l imentação . Balanço molar no reator: Equação 3 -151 ( ) ( ) ( ) ( )tVtCqtCq dt tdCV AAAA Γ+−= .... 2211 Onde, Equação 3 -152 ( ) ( ) ( )tCtt AAA ..v ℜ−=Γ−=Γ=Γ Balanço de energia no reator: Equação 3 -153 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )tVTtTCpqTtTCpq dt tdTCV rp Γ∆Η−−−−= °° ........ 222111 ρρρ Por hipótese: Página 3-42 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 3 -154 cteqqq === 21 E Equação 3 -155 cteCCC ppp === 21 Substituindo a Equação 3-154 e a Equação 3-155 na Equação 3-153 e rearranjando: Equação 3 -156 ( ) ( ) ( )( ) ( )tVtTtTCq dt tdTCV rpp Γ∆Η−−= ........ 21ρρ Onde Equação 3 -157 ( ) ( )( ) ( )tCet AtTRgE .. .−Οℜ=Γ Lembrando que o reator está perfeitamente agitado [CA2(t) = CA(t) e T2(t) = T(t)], então: Equação 3 -158 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tCeVtCqtCq dt tdCV A tTRgE AA A ...... .−Οℜ−−= 1 E Equação 3 -159 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tCeVtTCqtTCq dt tdTCV A tTRgE rppp ............. . 1 − Οℜ∆Η−−= ρρρ A Equação 3-158 e a Equação 3-159 constituem um sistema de equações diferenciais não- lineares interativas. Portanto, antes de aplicar a Transformada de Laplace, devemos linearizar os termos não-lineares: Equação 3 -160 ( )( ) ( )tCe AtTRgE ..− Expandindo a Equação 3-160 em série de Taylor e truncando no segundo termo: Equação 3 -161 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )ssssATRgE ss ssAA TRgE ssA TRgE A tTRgE TtTCe TRg E CtCeCetCe SS SSSS − +−+≅ − −− ., . 2 , . , .. .. . ... Substituindo a Equação 3-161 na Equação 3-158 e na Equação 3-159 e rearranjando: Equação 3 -162 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )ssssATRgE ss ssAA TRgE ssA TRgE AA A TtTCe TRg EVCtCeV CeVtCqtCq dt tdC V SSss SS −ℜ−−ℜ− +ℜ−−= −− − , . 2, . , . 1 . ..... οο ο e Página 3-45 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 3 -176 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sTss sC ss s sC TCCTTC TTCT A TCCTTC TCC A 1 1 . .1..1.. . . .1..1.. 1... ΚΚ+++ ΚΚ − + ΚΚ+++ +Κ = ττ ττ τ Equação 3 -177 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sCss sT ss s sT A TCCTTC TTCT TCCTTC CTT 1 1 . .1..1.. . . .1..1.. 1... ΚΚ+++ ΚΚ + + ΚΚ+++ +Κ = ττ ττ τ A Equação 3-176 e a Equação 3-177 são de 2ª ordem Definindo as funções de transferência para as perturbações e respostas: Equação 3 -178 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) TCCTTC TCC A A CC ss s sC sCG ΚΚ+++ +Κ == .1..1.. 1... 1 ττ τ Equação 3 -179 ( ) ( ) ( ) ( ) . .1..1.. . 1 TCCTTC TTCTA CT sssT sC G ΚΚ+++ ΚΚ == ττ Equação 3 -180 ( ) ( ) ( ) ( )( ) TCCTTC CTT TT ss s sT sTG ΚΚ+++ +Κ == .1.1.. 1.. 1 ττ τ Obtemos: Equação 3 -181 ( ) ( ) ( )STGSCGsC CTACCA 11 .. −= Equação 3 -182 ( ) ( ) ( )sCGsTGsT ATCTT 11 .. += As funções de transferência cujos denominadores tem zeros finitos, a Equação 3-178 e a Equação 3-180, originam sistemas denominados atraso-avanço, que serão estudados no item 3.4. 3 . 4 . C o m p o r t a m e n t o D i n â m i c o d e P r o c e s s o s T i p o A t r a s o - A v a n ç o Seja o seguinte sistema: Página 3-46 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 3 -183 ( ) ( ) ( ) ( )    +τ=+τ αι tXdt tdXKtY dt tdY ... A função de transferência associada a Equação 3-183 é: Equação 3 -184 ( ) ( )( )1. 1. . + + = s s KsG ι α τ τ A resposta deste sistema à perturbação degrau de amplitude A é: Equação 3 -185 ( ) ( )( )      + − += + + = 1. 1. 1.. 1. . ss K ss s KsY ι ια ι α τ ττ τ τ .A .A Equação 3 -186 ( ) ( )t11 u            −−= − ι ι α τ τ tteKtY .A A Figura 3-28 mostra a resposta deste sistema para τℓ e diferentes valores de τα: Equação 3 -187 αι τ<τ<0 Equação 3 -188 ια τ<τ<0 Equação 3 -189 ια τ<<τ 0 A Figura 3-29 mostra a localização do pólo e do zero do sistema s = -1/τα, para cada caso. Se τℓ = τα, a função de transferência simplifica-se para K como o resultado do cancelamento do numerador e do denominador, isto é, ocorre o cancelamento pólo-zero. Página 3-47 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r F igura 3 -28 : Resposta do s is tema (Equação 3 -184 ) . F igura 3 -29 : D iagrama pó lo -zero para o s is tema (Equação 3 -184) – X : loca l i zação do pó lo , □ : loca l i zação do zero . Seja um sistema de 2ª ordem superamortecido com um zero diferente de infinito, representado pela função de transferência da Equação 3-190: Equação 3 -190 ( ) ( )( ) )1(1 1 . 21 ++ + = ss s KsG ττ τα Este sistema sofre uma perturbação degrau de amplitude A, então a resposta no domínio do tempo será para τ1 ≠ τ2: Equação 3 -191 ( )       − − + − − += −− 11 12 2 21 11. τατα ττ ττ ττ ττ tt eeKtY A Após algumas análises matemáticas da Equação 3-191, concluímos que três tipos de respostas podem acontecer: Equação 3 -192 (a ) 1τ<τα Equação 3 -193 (b ) 10 τ≤τ< α Equação 3 -194 (c ) 0<τα Na Figura 3-30 vemos a representação dessas possibilidades. Página 3-50 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 3 -200 ( ) ( )( ) s p p me ssX sYsG .. 1. τ τ − + Κ == A presença do tempo morto é um elemento dinâmico que dificulta o controle de processos, pois as informações do estado do sistema ficam defasadas, provocando as reações do estado do sistema de controle a uma situação ocorrida a τm atrás. Podemos aproximar o tempo morto por uma razão de dois polinômios. Uma expansão adequada é a aproximação de Padé: Aproximação de Padé de 1ª ordem: Equação 3 -201 s s e m m sm 2 1 2 1 , τ τ τ + − ≈− Aproximação de Padé de 2ª ordem: Equação 3 -202 122 1 122 1 22 22 , s s s s e mm mm sm ττ ττ τ ++ +− ≈− Estas aproximações são mais precisas quanto maior a diferença entre o tempo morto τm e a constante de tempo do processo τP, isto é, τm << τP, como na maioria das vezes isto acontece, podemos utilizar a aproximação de Padé. A Figura 3-32a ilustra a resposta da aproximação de 1ª ordem e de 2ª ordem a entrada degrau. Verificamos que a aproximação de ordem maior é mais precisa. A Figura 3-32b, mostra que a aproximação de Padé é satisfatória para um sistema de 2ª ordem mais tempo morto, submetido a perturbação degrau pois quando τm =0.25τP. Página 3-51 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r F igura 3 -32 : (a ) Resposta ao degrau das aprox imaçõ es de Padé de 1 ª e 2 ª o rdem de um tempo mor to puro . (b ) Resposta ao degrau de um s is tema de 1 ª o rdem com tempo mor to (τm = 0 .25τ P ) u t i l i zando aprox imações de Padé de 1 ª e 2 ª o rdem para sme τ− . √ Exemplo: Reator com reciclo O reator de leito gotejante mostrado na Figura 3-33 utiliza o reciclo para obter uma operação satisfatória. O uso de um reciclo muito intenso elimina a necessidade de agitação mecânica. A concentração do reagente é medida no ponto onde a corrente deixa o sistema reacional. A reação é de 1ª ordem. Sob condições normais de operação as seguintes hipóteses podem ser assumidas: H.01. O reator opera isotermicamente; H.02. As vazões de alimentação q e de reciclo α.q são constantes; H.03. Não ocorre reação na tubulação e a dinâmica envolvida nos tubos pode ser aproximada por atrasos devido apenas ao tempo morto τm1 e τm2, conforme indicado na Figura 3-33; H.04. Devido a grande taxa de reciclo a mistura do reator é completa. Pede-se: (a) A função de transferência ( ) ( )sCsC i/1 ; (b) Utilizando as informações a seguir, calcule ( )tC1 para a mudança em ( )tCi de 2,000Kg/m3. V = 5.0 m3 α = 12 q = 0.005 m3/min τm1 = 0.9 min ℜ = 0.004 min-1 τm2 = 1.1 min Página 3-52 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r F igura 3 -33 : Reator go te jan te com rec ic lo . Solução: (a) Realizando o balanço molar para o reagente A em torno do reator (volume de controle indicado pela superfície pontilhada). Equação 3 -203 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tCVtCqtCqtCq dt tdCV i ........ ℜ−α+−α+= 12 Onde a concentração da espécie é denotada por C(t) omitindo o subscrito A por conveniência. A Equação 3-203 é linear com coeficientes constantes, subtraindo do seu valor no estado estacionário e substituindo as variáveis desvio, obtemos: Equação 3 -204 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tCVtCqtCqtCq dt tCdV i ........ ℜ−α+−α+= 12 Relações adicionais são necessárias para conhecermos ( )tCi e ( )tC . Estas podem ser obtidas da hipótese H03 que determina que a dinâmica das tubulações é determinada apenas por elementos do tempo morto: Equação 3 -205 ( ) ( )11 θ−= tCtC Equação 3 -206 ( ) ( ) ( )( )21212 θ+θ−=θ−= tCtCtC A Equação 3-204 a Equação 3-206 representam o modelo matemático deste processo. Aplicando a Transformada de Laplace, obtemos: Página 3-55 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 3 -223 ( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )[ ] ( ) ( )( )18.0125 1400 122.01212020 12.02000 11 2 . 1 ++ + = ++++ + = −− sss es sss essC ss mm ττ Invertendo obtemos: Equação 3 -224 ( ) ( ) ( )[ ] ( )0.9 -t0826.09917.01400 8.09.0259.01 u−−−− −−= tt eetC O qual está plotada na Figura 3-34. Note que não foi necessário aproximar o numerador, assim o termo (t - 0.9) que aparece na solução do sistema é exato. F igura 3 -34 : Reator com rec ic l o submet ido a per tu rbação degrau na composição da a l imentação: (a ) resposta comple ta ; (b ) de ta lhe nos ins tan tes in ic ia is . 3 . 6 . E x e r c í c i o s (1) O tanque mostrado na Figura 3-35 é colocado na linha para suavizar a variação da pressão Pi(t), amortecendo a variação da pressão Po(t). No estado estacionário, a vazão de alimentação e as pressões são: qi, ss = 25.0 Kgmoles/s Pi, ss = 2,000 KN/m2 Pss = 1,800 KN/m2 Po, ss = 1,600 KN/m2 p(t) V T pi(t) po(t) qi(t) qo(t) Figura 3 -35 : Tanque para a l i v io de pressão . O volume do tanque é V = 10m3. Um balanço molar no tanque assumindo comportamento ideal para o gás e temperatura de 400 K, é dado por: Página 3-56 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 3 -225 ( ) ( ) ( )tqtq dt tdP Rg V i Ο−=Τ. Onde Rg = 8,314 Nm/(kgmol.K). As vazões de entrada e saída são dadas por: Equação 3 -226 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tPtPtPtq iiii −Κ= .. Equação 3 -227 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tPtPtPtq ooo −Κ= .. Onde Ki e Ko são constantes. Pede-se: a) Linearize a equação diferencial. b) Obtenha a resposta do sistema a uma variação degrau unitário na pressão de entrada, com a pressão de saída constante. c) obtenha a resposta do sistema a uma variação degrau unitário na pressão de saída, com a pressão de entrada constante. Use o método da Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial. (2) Encontre Y(t) da seguinte equação diferencial utilizando o método da transformada de Laplace. O sistema é inicialmente relaxado. Esboce os gráficos e comente os resultados. Equação 3 -228 ( ) ( ) ( ) ( )tXtY dt tdY dt tYd =++ .9.92 2 a) Para X(t) = U(t). b) Para X(t) = e-3t. Obs: Analise estabilidade; super, sub ou criticamente amortecimento, comportamento no tempo t = 0 e t = ∞, etc. (3) Considere o processo mostrado na Figura 3-36. A vazão do líquido através dos tanques, q, é constante e igual a 110 kg/min. A densidade do líquido pode ser assumida constante e igual a 800 kg/m3. A capacidade calorífica do fluido também é constante e igual a 1.3 kcal/KgºC. O volume de cada tanque é 0.3 m3. A perda de calor para as vizinhanças é negligenciável e a agitação é perfeita. Página 3-57 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Obtenha as funções de transferência, com os valores numéricos e as unidades dos seus parâmetros, que relacionam: a) T3 com To. Sugestão: Considere, neste caso, a taxa de transferência de calor Q constante. b) T3 com Q. Sugestão: Considere, neste caso, que a temperatura na entrada To é constante. T1(t), q vapor condensado Q(t) To(t), q T2(t), q T3(t), q F igura 3 -36 : Tanque não in tera t ivo s em sér ie . (4) Considere um reator de mistura perfeita. Uma reação isotérmica acontece no reator. A vazão volumétrica é constante. A → B Com a equação da taxa: (-rA) = kCA. O balanço da massa no reator é : Equação 3 -229 ( ) ( ) ( ) ( )[ ] AAAAiiA tCtCtCV q dt tdC Γ+−−= . Onde: qi Vazão volumétrica de alimentação [ = ] m3/s CAi Concentração molar de A na alimentação [ = ] mol/m3 Identifique e comente sobre: a) Função perturbação Página 3-60 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r h(t) T2(t) q2(t) T1(t), q1(t) vapor saturado condensado Qst(t) R Motor v(t) Tamb F igura 3 -37 : Tanque de aquec imento . Pede-se: a) O modelo matemático que representa este processo b) As funções de transferência que relacionam as saídas [h(t) e T(t)] com as perturbações [q1(t), T1(t) e v(t)]. c) A resposta deste processo a perturbação em v(t) conforme a Figura 3-38. F igura 3 -38 : Grá f ico exerc íc io (7 ) . Obs: Caso necessário acrescente outras hipóteses, justificando-as. Página 3-61 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r (8) Considere um reator de mistura perfeita no qual acontece uma reação exotérmica de 1ª ordem. O processo pode ser perturbado pela vazão q1(t), temperatura T1(t) e/ou concentração CA1(t) da corrente de alimentação. Dados: Reação: A → B Equação da taxa de reação: )()( ) )( ( tCekt A tRgT E o − =Γ Escoamento turbulento na saída do reator Massa específica constante Capacidade calorífica constante Entalpia da reação constante Pede-se: a) Funções de transferência entre as respostas do sistema T(t), CA(t), h(t) com as perturbações q1(t), CA1(t) e T1(t), indicando qual a ordem da(s) mesma(s). b) Identifique constantes de tempo, ganho em estado estacionário (expressões e unidades). (9) Um sistema integrador com tempo morto é submetido a uma perturbação conforme a Figura 3-39. Página 3-62 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r F igura 3 -39 : Grá f ico para exerc íc io (9 ) . Obtenha a resposta no tempo. (10) Assuma que a seguinte equação é a descrição de um certo processo Equação 3 -232 ( ) ( ) 2.0.5 .3 .5.0 + = − s e sX sY s a) Obtenha o ganho no estado estacionário, a constante de tempo e o tempo morto. b) A condição inicial da variável y é y(0) = 2. Para uma força motriz (perturbação) como mostrada na Figura 3-40, qual o valor final e a expressão de y(t) ? Página 3-65 de 65 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r hR Altura da entrada do reator em relação à saída do mesmo [ = ] m PR Pressão na copa do reator [ = ] kPa L Comprimento [ = ] m AT Área da seção transversal do tanque [ = ] m2 AR Área da seção transversal do reator [ = ] m2 As seguintes informações são conhecidas sobre este processo: a) A massa específica de todas as correntes são aproximadamente constantes, e iguais. b) O fluxo através da bomba de velocidade constante é dado pela Equação 3-233 em [ = ] m3/s Equação 3 -233 ( ) ( ) ( )[ ]{ }2211 tPtPBAtqb −+= .. c) A tubulação entre os pontos 2 e 3 é longa, com comprimento L (em m). O fluxo através da tubulação é muito turbulento (plug flow). O diâmetro do tubo é D (em m). A queda de pressão ∆P entre estes dois pontos pode ser considerada constante. d) Podemos assumir que os efeitos associados à reação são negligenciáveis, conseqüentemente, a reação ocorre à temperatura constante. A taxa de reação (A → B)é dada por Equação 3 -234 ( ) ( ) sm molKgtCkt AA . ][. 3==Γ e) O fluxo através da válvula é dado por Equação 3 -235 ( ) ( ) ( )thtVPCtq vv 2..= Onde VP é a posição onde se encontra a válvula. Obtenha: a) O modelo matemático que representa este processo. b) As frações de transferência que relacionam as funções perturbação CAo(t), e qA(t) com h1(t), h2(t) e CA5(t). Sugestão: Trabalhe com o balanço de massa global e/ou com o balanço de massa para o componente A. Página 4-1 de 22 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Í N D I C E CAPÍTULO 4. IDENTIFICAÇÃO DA DINÂMICA DE PROCESSOS 4-3 4.1. CURVA DE RESPOSTA DE SISTEMA DE 1ª ORDEM A PERTURBAÇÃO DEGRAU 4-3 4.2. CURVA DE RESPOSTA DE SISTEMA DE 2ª ORDEM A PERTURBAÇÃO DEGRAU 4-6 4.3. REGRESSÃO LINEAR 4-10 4.4. SISTEMAS DE ORDEM SUPERIORES 4-15 4.5. OBSERVAÇÕES E CONCLUSÕES SOBRE IDENTIFICAÇÃO DE PROCESSOS 4-16 4.6. EXERCÍCIOS 4-17 Í N D I C E D E T A B E L A S Tabela 4-1: Dados para Identificação de Processos. 4-14 Í N D I C E D E F I G U R A S Figura 4-1: Resposta de um sistema de 1ª ordem a perturbação degrau. Curva A entrada X(t) e curva B resposta do sistema Y(t). 4-4 Figura 4-2: POMTM ajuste pelo Método 1. 4-5 Figura 4-3: POMTM ajuste pelo Método 2. 4-5 Figura 4-4: POMTM ajuste pelo Método 3. 4-6 Figura 4-5: Resposta de um sistema de 2ª ordem a perturbação degrau: Curva A - entrada X(t); Curva B - resposta Y(t) de um sistema super-amortecido; Curva C - resposta Y(t) de um sistema sub-amortecido. 4-7 Figura 4-6: Resposta de vários SOMTM a perturbação degrau. 4-8 Figura 4-7: Gráfico do Método de Harriot para ( ) 5.021 =+ττt . 4-8 Figura 4-8: Gráfico do Método de Smith, relação entre τ, ζ, t20 e t60. 4-10 Figura 4-9: Função contínua. 4-11 Figura 4-10: Aproximação de um sistema de 5ª ordem por uma função de transferência de 1ª ordem mais tempo morto. 4-16 Figura 4-11: Etapas para identificação de processo. 4-17 Figura 4-12: Gráfico do exercício (1). 4-18 Página 4-2 de 22 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Figura 4-13: Fornalha. 4-19 Figura 4-14: Curva de reação da fornalha para uma perturbação na saída do controlador. 4-19 Figura 4-15: Curva de reação para uma perturbação na saída do controlador. 4-20 Figura 4-16: Curva de reação para uma perturbação na umidade da alimentação 4-21 Figura 4-17: Secador de grãos. 4-21 Figura 4-18: Curva de reação para uma perturbação na vazão da corrente de alimentação. 4-22 Página 4-5 de 22 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r estacionário alcançado defini a constante de tempo τp, pois o valor da abscissa neste ponto descontado do tempo morto é τp. Veja Figura 4-2. F igura 4 -2 : POMTM a jus te pe lo Método 1 . 4 . 1 . 2 . M é t o d o 2 Neste método, τm é determinado da mesma maneira do Método 1, porém a constante de tempo é obtida no ponto em que o sistema atinge 63.2% do estado estacionário alcançado, descontando o tempo morto (vide Figura 4-3). Este procedimento tem maior exatidão que o anterior e as constantes de tempo obtidas são, em geral, menores que as obtidas através do Método 1. F igura 4 -3 : POMTM a jus te pe lo Método 2 . Página 4-6 de 22 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r 4 . 1 . 3 . M é t o d o 3 Os dois métodos vistos até aqui dependiam da localização da tangente da curva no ponto de maior inclinação, por isso esses métodos têm incerteza elevada. Uma alternativa que evita essa dependência é descrita a seguir: (a) Obtenha o tempo necessário para o sistema atingir 63.2% e 28.3% do estado estacionário, t2 e t1, respectivamente; (b) Resolva o seguinte sistema de equação algébricas: Equação 4 -4     =+ =+ 1 2 3 1 t t Pm Pm ττ ττ Ou seja, Equação 4 -5 ( )     −= −= Pm m t tt ττ τ 2 12.2 3 Dos três procedimentos este é, geralmente, o mais exato, portanto mais recomendado. F igura 4 -4 : POMTM a jus te pe lo Método 3 . 4 . 2 . C u r v a d e R e s p o s t a d e S i s t e m a d e 2 ª O r d e m a P e r t u r b a ç ã o D e g r a u Um sistema de Segunda Ordem Mais Tempo Morto (SOMTM) é descrito pela seguinte equação diferencial Página 4-7 de 22 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 4 -6 [ ] [ ] )(.)()(...)(. mp tXKtYtYdt dtY dt d τ−=+ξτ+τ 2 2 2 Dos estudos anteriores sabemos que quando um SOMTM esta submetido a uma perturbação degrau de amplitude A [X(t) = Xss + A.u(t)] a resposta do mesmo é dada pela Figura 4-5. F igura 4 -5 : Resposta de um s is tema de 2 ª o rdem a per tu rbação degrau : Cur va A - en t rada X ( t ) ; Cur va B - resposta Y ( t ) de um s is tema super -amor tec ido; Cur va C - resposta Y ( t ) de um s is tema sub -amor tec ido . Descrevemos dois métodos de identificação de SOMTM: (a) Método de Harriott, válido para sistema superamortecidos; (b) Método de Smith, válido para sistema super ou subamortecidos. Nesses dois procedimentos o tempo morto τm deve ser identificado visualmente através do gráfico da curva de resposta. 4 . 2 . 1 . M é t o d o d e H a r r i o t Este método está baseado na seguinte função de transferência: Página 4-10 de 22 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r (a) Determine o tempo morto e trabalhe com o sistema de segunda ordem sem τm, depois de identificado K, τ e ζ, acrescente ao modelo o tempo morto; (b) Determine o ganho do sistema Kp: Equação 4 -13 ( ) ( ) )0( )0( XX YYKP −∞ −∞ = (c) Da curva de resposta do sistema a perturbação degrau, obtenha os tempos transcorridos para o sistema atingir 20% e 60% do valor final, isto é, obtenha t20 e t60; (d) Calcule a razão 6020 tt ; (e) Da Figura 4-8 leia os valores de τ60t e ζ; Figura 4 -8 : Grá f ico do Método de Smi th , re lação en t re τ , ζ , t 2 0 e t 6 0 . (f) Com o valor de τ60t calcule τ, que esta identificando SOMTM pois conhecemos τm (passo (a)) e K (passo (b)), τ e ζ (passos (c) a (e)). 4 . 3 . R e g r e s s ã o L i n e a r O modelo dinâmico de um processo é descrito por um sistema de equações diferenciais que pode ser aproximado por um sistema de equações de diferenças finitas, cujos parâmetros são obtidos através de métodos de regressão. Página 4-11 de 22 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r 4 . 3 . 1 . M é t o d o d a s D i f e r e n ç a s F i n i t a s Dada a função contínua: F igura 4 -9 : Função cont ínua . Onde, Equação 4 -14 ∆ t = t j + 1 - t j Ou, Equação 4 -15 ∆ t = t j - t j - 1 Expandindo Y(t) em série de Taylor, ou seja: Conheço Yj e quero conhecer Y(j + 1) Ou conheço Yj e quero conhecer Y(j - 1) Equação 4 -16 ( ) ..... +∆+∆+∆+=+ 3 3 3 2 2 2 1 3 1 2 1 t dt Yd ! t dt Yd ! t dt dYYY jjj jj ou Equação 4 -17 ( ) ..... +∆−∆+∆−=− 3 3 3 2 2 2 1 3 1 2 1 t dt Yd ! t dt Yd ! t dt dYYY jjj jj Da Equação 4-16, obtém-se: Equação 4 -18 ( ) ....... +∆′′′+∆′′+′= ∆ −+ 21 3 1 2 1 tY ! tY ! Y t YY j jj E Página 4-12 de 22 C o n t r o l e d e P r o c e s s o s - R i c a r d o d e A r a ú j o K a l i d – k a l i d @ u f b a . b r Equação 4 -19 ( ) ....... +∆′′′+∆′′−′= ∆ −− 21 3 1 2 1 tY ! tY ! Y t YY j jj Truncando no 1º termo e da Equação 4-18, encontra-se Equação 4 -20 ( ) ( )           →∆+ ∆ − =′= + frenteapara finitadiferença Fórmula tord t YY Y dt dY jj j t j 1 Da Equação 4-19, encontra-se: Equação 4 -21 ( ) ( )           →∆+ ∆ − =′= − tráspara finitadiferença Fórmula tord t YY Y dt dY jj j t j 1 Subtraindo a Equação 4-19 da Equação 4-18: Equação 4 -22 ( ) ( ) ( )           →∆+ ∆ − = −+ central finitadiferença Fórmula tord t YY dt dY jj t j 211 .2 Somando a Equação 4-18 e a Equação 4-19: Equação 4 -23 ( ) ( ) ( ) ( )           →∆+ ∆ +− =′′ +− central finitadiferença Fórmula tord t YYY Y dt Yd jjj j t j 2 2 11 2 2 .2 Consideremos agora um processo no qual os fenômenos físicos ou químicos que ocorrerem são pouco conhecidos ou que os vários parâmetros que o descrevem são incertos. Podemos então aproximar o modelo do processo pela seguinte equação linear das diferenças finitas de ordem k. Equação 4 -24 KnKnnKnKnnn XbXbXbYaYaYaY −−−−−− +++++++= ...... 22112211 Onde Yi e Xi são os valores de saída e entrada, respectivamente, no instante ï” de amostragem e a1, az, ..., ak; b1, bz, ..., bk são parâmetros constantes e desconhecidos do processo. Para obtermos os valores dos parâmetros usaremos o Método dos Mínimos Quadrados; encontrando os melhores valores para os parâmetros a partir da minimização do erro, ou seja, os melhores valores serão aqueles que apresentem o menor valor para o erra entre o valor experimental e o teórico.