Modelagem e Simulação de Mancais Hidrodinâmicos Radiais

Modelagem e Simulação de Mancais Hidrodinâmicos Radiais

(Parte 1 de 3)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – UFSCar CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA – CCET CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA FÍSICA

SÃO CARLOS / 2010

Uma das principais preocupações da engenharia moderna é construir máquinas precisas, confiáveis, eficientes, capazes de trabalharem acima das condições limites tradicionais. Nas máquinas rotativas, os limites de operação e desempenho são estabelecidos por problemas de instabilidade e níveis elevados de vibração, resultantes do comportamento dinâmico de seus componentes rotativos, estruturais e dos mancais. Mancais são dispositivos responsáveis pela ligação entre a parte móvel e a estrutura fixa de uma máquina rotativa. As características dinâmicas de um sistema rotor-mancais são fortemente influenciadas pelas características dos mancais, uma vez que a rigidez do sistema completo é determinada pela rigidez dos mancais atuando em série com a rigidez do rotor e, além disso, o amortecimento do sistema é em grande parte devido aos mancais. Existem diversos tipos de mancais, porém, neste trabalho foi realizado um estudo dos Mancais Hidrodinâmicos Radiais (MHR) devido a sua grande aplicabilidade como elemento de máquina. De maneira simplificada um MHR pode ser descrito como sendo um conjunto mecânico formado por um eixo e uma bucha, no qual, o diâmetro do eixo é muito próximo ao diâmetro interno da bucha de tal modo que, quando montados, a folga existente entre estes dois elementos seja muito pequena e acomode um filme de óleo lubrificante que impeça o contato direto entre as parte durante sua operação, situação em que se atinge o regime de lubrificação hidrodinâmica. O filme de óleo é o responsável pela sustentação da carga imposta ao mancal, e este fenômeno é possível devido à geração de um campo de pressão no óleo, resultante do movimento do rotor e das características geométricas de construção do mancal. Para a construção do modelo matemático do MHR parte-se de uma representação geométrica do sistema mecânico formado pela bucha, rotor e filme de fluido lubrificante, através da qual foi possível determinar parâmetros importantes como excentricidade radial, velocidade periférica do rotor e espessura do filme de fluido. Aplicando-se a lei de conservação de massa e a segunda lei de Newton a um elemento infinitesimal do fluido lubrificante, obteve-se a equação da continuidade e as equações de Navier-Stokes, que descrevem o comportamento do fluido lubrificante existente na folga entre o rotor e a bucha do mancal. A partir destas equações e considerando-se o lubrificante um fluido newtoniano, isoviscoso e incompressível, derivou-se a equação de Reynolds. A solução analítica da equação de Reynolds só pode ser atingida considerando-se várias hipóteses simplificadoras que tornam possível a obtenção de soluções clássicas para dois casos especiais de mancais, os curtos (solução de Ocvirk), e os infinitamente longos (solução de Sommerfeld). Para a obtenção de uma solução numérica da equação de Reynolds empregou-se o método das diferenças finitas. Os resultados obtidos englobam o campo de pressão no fluido, a capacidade de carga do mancal, o atrito rotor/mancal, o coeficiente de atrito e o ângulo de atitude do mancal, parâmetros estes que são importantes para o projeto de máquinas rotativas.

SUMÁRIO
1. Tribologia e Mancais1
1.1 Tribologia1
1.2 Tipos de Mancais2
Hidrodinâmicos Radiais7
2.1 Excentricidade Radial do Rotor9
2.2 Folga Radial ou Espessura do Filme de Fluido Lubrificante12
2.3 Velocidade Periférica do Rotor16
3. Fundamentos de Mecânica dos Fluidos20
3.1 Conservação de Massa23
3.2 Conservação da Quantidade de Movimento26
3.3 A Equação de Reynolds para MHR3
4. A Solução da Equação de Reynolds50
4.1 Condições de Contorno50
4.2 Solução para Mancais Infinitamente Longos52
4.2.1 Pressão no Filme de Óleo em Mancais Infinitamente Longos53
4.2.2 Solução de Sommerfeld para Mancais Infinitamente Longos58
4.2.3 Solução de Gümbel para Mancais Infinitamente Longos79
4.3 Solução para Mancais Curtos87
4.3.1 Pressão no filme de óleo em Mancais Curtos89
4.3.2 Solução de Gümbel para Mancais Curtos90

2. Características Geométricas e Condições de Operação de Mancais 4.4 Solução numérica 102

4.4.1 O Método das Diferenças Finitas - MDF102
Numérica106
5. Resultados108
Conclusões119

i 4.4.2 Implementação do Programa Computacional para Solução Referências 121

1.1 Componentes da carga atuante em um rotor2
1.2 Mancal plano de encosto3
1.3 Mancal Hidrodinâmico Radial4
1.4 Mancal de rolamento de esferas4
1.5 Mancal hidrostático5
2.1 Características geométricas do Mancal Hidrodinâmico Radial7
2.2 Superfície planificada do mancal8
2.3 O rotor e as pequenas perturbações9
2.4 Folga radial ou espessura do filme lubrificante13
2.5 Velocidade periférica do rotor16
3.1 Escoamento entre duas placas planas paralelas21
3.2 Volume de controle infinitesimal23
3.3 Tensões que agem sobre um elemento de fluido28
3.4 Balanço de forças28
3.5 Vista planificada do mancal3
3.6 Aceleração de uma partícula de fluido39
3.7 Escoamento entre duas superfícies em movimento relativo41
3.8 Componentes da velocidade do rotor47
3.9 Distribuição de pressão48
3.10 Efeito de cunha48

LISTA DE FIGURAS 3.1 Esmagamento do filme de óleo lubrificante 49

4.1 Condições de contorno para equação de Reynolds51

iv

contorno de Sommerfeld63
4.3 Componentes das forças atuantes no mancal6
4.4 Posição do centro do eixo74

4.2 Distribuição de pressão em um mancal infinitamente longo pelas condições de

4.6 Mancal curto87
4.7 Malha para aplicação do MDF104
4.8 Fluxograma do programa implementado107
5.1 Distribuição - Modelo do Mancal Curto109
5.2 Distribuição de pressão – MIL - Solução de Gümbel109
5.3 Distribuição de pressão – MIL - Solução de Sommerfeld110
5.4 Distribuição de pressão – Solução Numérica1

4.5 Força no filme de óleo sob as condições de contorno de Gümbel 81

5.5 Capacidade de carga adimensional em função de – Gümbel 1

5.6 Capacidade de carga adimensional em função de – Sommerfeld 112

5.8 Comparação entre os modelos113
5.9 Variação da espessura do filme114

5.7 Capacidade de carga adimensional em função de – MC 113

5.10 Força de atrito [adim] em função de – MIL - Sommerfeld 115

5.12 Força de atrito [adim] em função de – MIL - Gümbel116
5.13 Coeficiente de atrito em função de – MIL - Gümbel117

5.1 Coeficiente de atrito em função de – MIL - Sommerfeld 15 5.14 Força de atrito [adim] em função de – Mancal Curto 117 v 5.15 Coeficiente de atrito em função de – Mancal Curto 118 vi

2.1Principais parâmetros geométricos dos mancais hidrodinâmicos radiais 8 5.1 Propriedades e Unidades 108 vii folga radial nominal do mancal diâmetro do rotor

excentricidade na direção

diâmetro do mancal excentricidade excentricidade estática excentricidade na direção coeficiente de atrito força de atrito componentes de forças de campo na direção componentes de forças de campo na direções

componentes de forças de campo na direções

espessura do filme de óleo lubrificante

componente da velocidade do fluido na direção
componente da velocidade do fluido na direção

largura do mancal pressão no filme de fluido lubrificante raio do rotor raio do mancal número de Reynolds número de Sommerfeld velocidade no centro do rotor

componente da velocidade do fluido na direção

velocidade periférica do rotor eixos do sistema de coordenadas cartesianas local eixos do sistema de coordenadas cartesianas inercial capacidade de carga viii componente da capacidade de carga na direção componente da capacidade de carga na direção massa específica do fluido lubrificante viscosidade do absoluta viscosidade cinemática coordenada auxiliar com origem no eixo razão de excentricidade coordenada angular auxiliar ângulo de atitude ângulo de atitude estático excentricidade dinâmica ângulo de atitude dinâmico velocidade angular

CAPÍTULO 1 TRIBOLOGIA E MANCAIS

1.1 TRIBOLOGIA

A tribologia é definida como a ciência e a tecnologia da interação entre superfícies com movimento relativo e dos assuntos relacionados à lubrificação, atrito e desgaste. Quando duas superfícies sólidas interagem ocorre a dissipação de energia, na forma de calor e ruído, devida a resistência ao movimento relativo entre elas. Durante o processo de escorregamento relativo, as superfícies têm as suas características básicas modificadas podendo tornar-se mais lisas, rugosas, apresentarem alterações de propriedades físicas como a dureza, além de sofrerem perda de massa por desgaste. Algumas destas mudanças podem ser benéficas, por exemplo, no caso de amaciamento de máquinas para produzir condições de operação próximas às ideais. Porém, em outros casos essas modificações sofridas podem ser desastrosas quando ocasionam falha da superfície (com perda da função técnica), implicando na substituição da peça.

Um dos elementos de máquinas que estão bastante propensos a estas modificações citadas são os mancais. Mancais são dispositivos responsáveis pela ligação entre a parte móvel e a estrutura fixa de uma máquina rotativa. De maneira mais geral, sempre que duas partes têm movimento relativo, elas constituem um mancal por definição, sem levar em conta sua forma ou configuração (HARNOY, 2003).

O principal objetivo no projeto de um mancal é aumentar a sua vida útil nas máquinas, através da redução do atrito, perda de energia e desgaste durante sua operação, e com isso evitar a paralisação das máquinas e os gastos com manutenção.

A escolha do tipo de mancal apropriado para uma determinada aplicação é essencial para o seu correto funcionamento como elemento de máquina, e este cuidado é fundamental durante o projeto. A maior parte do trabalho de manutenção nas máquinas é devido à lubrificação dos mancais e também a substituição daqueles que estão danificados ou gastos devido ao uso. Ou seja, a escolha adequada do mancal para a aplicação no projeto reduz o risco de falhas precoces devido ao desgaste ou fadiga, assegurando uma vida útil maior ao mancal (HARNOY, 2003).

1.2 TIPOS DE MANCAIS

De acordo com o tipo carregamento aplicado nos rotores das máquinas, os mancais podem ser classificados em radiais ou axiais. Mancais radiais suportam cargas impostas na direção radial dos rotores, já os mancais axiais ou de encosto suportam cargas impostas na direção axial dos rotores. Toda força imposta aos rotores são suportadas pelos mancais, constituindo-se no que é denominado de capacidade de carga dos mancais. A Figura 1.1 ilustra como a carga imposta a um rotor (eixo) de uma máquina

direção radial,

pode decomposta em duas componentes, uma na direção axial, , e outra na

Figura 1.1 Componentes da carga atuante em um rotor.

Quanto à forma construtiva e o princípio de funcionamento, os mancais podem ser classificados em dois tipos principais: os de rolamentos, e os de deslizamento. Os mancais de rolamento podem ser de esféricos, de rolos ou de agulhas. Os mancais de deslizamento podem ser planos (Figura 1.2) ou radiais (Figura 1.3). A seguir será feita uma breve descrição dos principais tipos de mancais.

Figura 1.2 Mancal plano de encosto. Fonte: adaptada de Shigley’s (2006).

De maneira simplificada um mancal hidrodinâmico radial pode ser descrito como sendo um conjunto mecânico formado por um eixo e uma bucha, no qual, o diâmetro do eixo é muito próximo ao diâmetro interno da bucha de tal modo que, quando montados, a folga existente entre estes dois elementos seja muito pequena e acomode um filme de óleo lubrificante que impeça o contato direto entre as parte durante sua operação, situação em que se atinge o regime de lubrificação hidrodinâmica. O filme de óleo é o responsável pela sustentação da carga imposta ao mancal, e este fenômeno é possível devido à geração de um campo de pressão no óleo, resultante do movimento do rotor e das características geométricas de construção do mancal (HARNOY, 2003).

Figura 1.3 Mancal Hidrodinâmico Radial. Fonte: adaptada de Harnoy (2003).

b. MANCAIS DE ROLAMENTO

Os mancais de rolamento são mancais em que a carga principal é transferida por meio de elementos em contato por rolamento em vez de deslizamento. Em um mancal de rolamento o atrito estático é aproximadamente o dobro do atrito dinâmico, mas ainda é desprezível comparado ao atrito estático de um mancal de deslizamento.

Os mancais de rolamento são fabricados para suportarem cargas radiais, axiais ou uma combinação de ambas. Quanto ao tipo podem ser esféricos, de agulha, de rolos cilíndricos ou cônicos. A Figura 1.4 apresenta um mancal de rolamento de esferas (HARNOY, 2003).

Figura 1.4 Mancal de rolamento de esferas.Fonte: SKF.

c. MANCAIS HIDROSTÁTICOS

São mancais nos quais o óleo lubrificante é injetado com auxilio de uma bomba o que garante que o eixo não tenha contato com a bucha do mancal mesmo antes do inicio da operação, evitando-se assim o desgaste comum no início da operação dos mancais hidrodinâmicos. A Figura 1.5 a seguir apresenta o sistema necessário para operação de um mancal hidrostático.

Em comparação com os mancais hidrodinâmicos, os hidrostáticos possuem um custo maior de operação devido ao uso de equipamentos auxiliares. Em algumas aplicações a lubrificação hidrostática é associada a hidrodinâmica, neste caso, inicialmente injeta óleo no mancal promovendo a separação do rotor e da bucha, conforme a velocidade de operação vai aumentando o mancal atinge o regime hidrodinâmico e não é mais necessário a injeção de óleo (HARNOY, 2003).

Figura 1.5 Mancal hidrostático. Fonte: adaptada de Harnoy (2003).

Conforme ilustrado, existem diversos tipos de mancais, porém, neste trabalho será realizado um estudo analítico e numérico dos Mancais Hidrodinâmicos Radiais (MHR) muito utilizado em grandes máquinas rotativas como turbinas e geradores.

Em muitas situações os projetistas optam pela utilização de mancais de rolamento simplesmente pela facilidade com que estes são encontrados nos catálogos dos fabricantes. No entanto, para o correto projeto de máquinas este não deve ser o critério adotado. O correto é realizar um estudo detalhado sobre as vantagens e desvantagens da utilização dos diversos tipos de mancais existentes e escolher aquele que melhor se adeque a aplicação desejada.

A correta seleção de um mancal tem implicação direta no tempo de vida útil dos equipamentos e na prevenção de falhas durante a operação das máquinas. Em algumas ocasiões as falhas podem ocasionar prejuízo econômico, já em outras aplicações como, por exemplo, na aviação, as conseqüências podem ser mais devastadoras resultando na perda de vidas (HARNOY, 2003).

CAPÍTULO 2

sistema inercial de coordenadas cartesianascom origem no ponto , centro do

As principais características geométricas do mancal hidrodinâmico radial que será modelado neste trabalho estão representadas na figura 2.1. Adotaremos um mancal. Assume-se que o rotor, com centro em , gira em torno do seu próprio eixo no sentido anti-horário com velocidade angular constante , e que está carregado na direção , no sentido positivo do eixo, por uma força externa de magnitude

constante resultando em uma excentricidade radial, , definida pela distância

entre os centros do mancal e do rotor (WATANABE, 2003).

Figura 2.1 Características geométricas do Mancal Hidrodinâmico Radial

Fonte: adaptada de Harnoy (2003).

A nomenclatura utilizada para descrever a parâmetros geométricos utilizados na construção do modelo é dada na Tabela 2.1.

Tabela 2.1 Principais parâmetros geométricos dos mancais hidrodinâmicos radiais Principais parâmetros da geometria do MHR

Raio do mancal Diâmetro do mancal Raio do rotor Diâmetro do rotor Folga radial nominal do mancal Largura do mancal

Um sistema local de coordenadas cartesianasé adotado na superfície

planificada do mancal, conforme mostrado na figura abaixo.

x superfície do rotor

Figura 2.2 Superfície planificada do mancal. Fonte: Watanabe (2003).

Durante o funcionamento do mancal, o eixo do rotor apresenta um desalinhamento radial e angular em relação ao eixo do mancal, entretanto, neste trabalho somente a contribuição radial do desalinhamento do rotor será considerada. O método das pequenas perturbações no qual se assume que o rotor oscila harmonicamente com pequenas amplitudes, em torno da posição de equilíbrio estático descentrada, quando aplicado a este problema possibilita a obtenção de expressões matemáticas que descrevem a excentricidade radial, a folga radial ou espessura do filme lubrificante do mancal e a velocidade periférica do rotor, utilizados na modelagem matemática do mancal.

2.1. EXCENTRICIDADE RADIAL DO ROTOR

centro do rotor, com relação ao centrodo mancal (origem do sistema de

Num determinado instante de tempo, a posição instantânea descentrada do coordenadas XYZ) é definida pela excentricidade , e pelo ângulo de atitude ; representados de forma ampliada na Figura 2.3.

Figura 2.3 O rotor e as pequenas perturbações. Fonte: Watanabe (2003).

estáticae pelo ângulo de atitude estático . Assumi-se que em torno desta

No equilíbrio estático a posição descentrada fica definida pela excentricidade posição de equilíbrio estático o rotor encontra-se sujeito a perturbações harmônicas

de pequenas amplitudes definidas pela excentricidade dinâmicae pelo ângulo de

atitude dinâmico , ou seja:

(2.1)

Decompondo-se a excentricidade em suas componentes ortogonais e , temos:

e

Da suposição de pequenas oscilações em torno da posição de equilibrio estático, tem-se:

equações (2.1) e (2.2), e desprezando-se os termos de segunda ordem eme

Substituindo nas equações (2.3) e (2.4) as expressões de e dadas pelas obtém-se:

(2.5) Analogamente para componente :

As componentes dinâmicase , por serem harmônicas, podem ser

(2.6) descritas pela parte real de funções exponenciais complexas, ou seja:

Onde,e são as amplitudes das funções harmônicas e respectivamente,

1 e é a freqüência da perturbação. Substituindo nas equações (2.5) e (2.6) as expressões dadas pelas equações (2.7) e (2.8), encontraremos as seguintes expressões para as componentes cartesianas da excentricidade:

Onde:

e o parâmetroSendo que é dado por

Em algumas situações durante a modelagem será mais conveniente trabalhar com grandezas adimensionais, pelo fato de a adimensionalização ser extremamente útil em análises comparativas de parâmetros característicos de mancais com diferentes dimensões e condições de operação (WATANABE, 2003). Neste instante, defini-se a grandeza adimensional denominada razão de excentricidade ,

Com estas novas definições podemos reescrever as equações (2.1), (2.2), (2.9) e (2.10) resultando nas seguintes equações para razão de excentricidade e ângulo de atitude dinâmico:

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