Modelagem e Simulação de Mancais Hidrodinâmicos Radiais

Modelagem e Simulação de Mancais Hidrodinâmicos Radiais

(Parte 2 de 3)

(2.1)
(2.12)
excentricidade:
(2.13)

e nas seguintes equações para as componentes cartesianas da razão de

Conforme for surgindo à necessidade, novas adimensionalizações serão empregadas na modelagem do mancal hidrodinâmico radial.

2.2. FOLGA RADIAL OU ESPESSURA DO FILME DE FLUIDO LUBRIFICANTE

para folga radial ou espessura do filme de fluido lubrificante

Anteriormente foram determinadas expressões matemáticas para excentricidade do rotor, o próximo passo será encontrar uma expressão matemática

ângulo de atitude e pela folga radial nominal

A folga radial é definida na direção perpendicular a superfície do mancal e é expressa em função da posição do rotor caracterizada pela excentricidade , pelo

A equação da folga radial pode ser determinada analisando-se o triângulo com vértices nos pontos , e presente na Figura 2.4.

r P hmin h (R-h) e

Aplicando-se a lei dos cossenos as triangulotemos:

Figura 2.4 Folga radial ou espessura do filme lubrificante. Fonte: Watanabe (2003).

Sendo que: (2.16)

Substituindo a expressão dada pela equação (2.16) na equação (2.15) tem-se:

Na prática os parâmetros , e são da ordem de, muito pequenos

comparados com as dimensões usuais de projeto dos mancais hidrodinâmicos radiais que possuem raios da ordem de a , portanto, os termos de ordem superior a 1 e termos onde aparecem produtos destas grandezas podem ser desprezados. Logo tem-se:

Analisando-se a Figura 2.4 verifica-se que:

(2.18) Substituindo-se a expressão dada pela equação (2.18) na equação (2.17) obtém-se:

Definindo-se: , tem-se:

Com isso, a equação (2.19) pode ser reescrita como segue:

Lembrando-se que a excentricidade e o ângulo de atitude são expressos, respectivamente, pelas equações (2.1) e (2.2), e, definindo-se uma nova coordenada angular , da seguinte forma:

De modo que: (2.2)

É possível então reescrever a expressão para folga radial, equação (2.20), acrescentando estas informações. Tem-se então:

Como o problema está sendo modelado supondo-se pequenas perturbações do rotor em torno da posição de equilíbrio podemos assumir que:

Como as perturbações são pequenas os termos de segunda ordem podem ser desprezados. Resultando em:

Sendo que:

É possível expressar a folga radial na forma adimensional, basta dividir a equação (2.23), por , ou seja, pela folga radial nominal.

Substituindo-se as expressões dadas pelas equações (2.7) e (2.8) na equação (2.25) podemos expressar a folga radial adimensional pela equação apresentada a seguir:

2.3. VELOCIDADE PERIFÉRICA DO ROTOR

A determinação da velocidade periférica do rotor se faz necessária devido ao fato de que é através dela que se consegue incluir na modelagem matemática do mancal efeitos hidrodinâmicos e de esmagamento do filme de fluido lubrificante. Estes efeitos serão tratados com maior riqueza de detalhes no capítulo que discute a teoria da lubrificação hidrodinâmica. Um ponto genérico localizado na superfície do rotor pode ter sua velocidade

determinada somando-se vetorialmente à velocidadedo centro do rotor, que
decorre das pequenas perturbações, com a velocidade tangencialdo rotor em
torno do centro

e r

hmin vJ i j i j

Figura 2.5 Velocidade periférica do rotor. Fonte: Watanabe (2003).

Da análise da Figura 2.5 verifica-se facilmente que a velocidade no ponto é dada por:

Na qual a velocidade no ponto central do rotor é dada por: (2.28)

Os versorese podem ser escritos em termos dos versores cartesianos:

Analisando-se a Figura 2.5 as seguintes relações são facilmente obtidas:

Portanto: Resultando nas seguintes relações:

Que quando inseridas na equação (2.29) resultam em:

rotor em torno da posição de equilíbrio , podemos afirmar queé pequeno o

Como o problema está sendo modelado supondo pequenas perturbações do suficiente para aproximar o valor do seno ao seu argumento, , e do cosseno a 1.

Resultando em:

De maneira análoga determina-se a equação para o outro versor: (2.32)

Agora, é possível expressar, dada pela equação (2.28), em termos dor
versorese , substituindo-se as expressões dadas pelas equações (2.31) e (2.32)

na equação (2.28).

Desprezando-se os termos de segunda ordem, e lembrado-se que,

obtém-se:

Substituindo-se a expressão dada pela equação (2.3) na equação (2.27) é possível escrever a velocidade no ponto , situado na superfície do rotor, em coordenadas cartesianas, conforme apresentado a seguir:

Conforme deduzido anteriormente, a expressão para a folga radial do mancal, , é dada pela equação (2.23), tomando-se a derivada de , em relação ao tempo, obtém-se:

19 Derivando-se a equação (2.35) em relação à , tem-se:

Comparando estas duas últimas equações com a equação (2.34) obtida para,

(2.36) chega-se ao seguinte resultado:

Como a folga é pequena compara ao raio do mancal, podemos concluir que o ângulo é pequeno o suficiente para fazermos as seguintes aproximações:

Definindo-se:

A equação (2.37) pode ser reescrita do seguinte modo: (2.38)

CAPÍTULO 3

Na natureza a matéria existe basicamente em dois estados físicos, o estado sólido e o estado fluido, este último normalmente dividido nos estados gasoso e líquido. De uma maneira bem simplificada pode-se diferenciar os sólidos dos fluidos levando-se em conta a magnitude do movimento de suas partículas constituintes, e o espaçamento entre elas. Os sólidos apresentam uma estrutura coesa, essa coesão é menor para os líquidos e bastante reduzida nos gases. Isso explica o fato dos sólidos serem rígidos e os fluidos assumirem a forma do recipiente no qual estão armazenados (FORTUNA, 2000).

Outra característica que diferencia sólidos de fluidos é que os sólidos suportam tensões de cisalhamento sem se deformarem, dentro do limite elástico, enquanto que os fluidos são incapazes de resistir a tais tensões, não importa o quão pequena seja, o resultado disto é que os fluidos se deformam e escoam. Existe uma classe de fluidos que necessitam de uma tensão de cisalhamento mínima para começarem a escoar, tais fluidos são objetos de estudo da reologia e não serão tratados neste trabalho.

Existe uma propriedade intimamente relacionada à taxa de deformação dos fluidos, a esta propriedade dá-se o nome de viscosidade. Considere o escoamento entre duas placas planas separadas por uma distância , conforme ilustrado na Figura 3.1, no qual a placa inferior permanece estática enquanto que a placa superior se move na direção com velocidade , resultado da ação da força tangencial .

Figura 3.1 Escoamento entre duas placas planas paralelas. Fonte: adaptada de Shigley’s (2006).

Esta força gera uma tensão de cisalhamento entre a placa superior e o fluido adjacente a ela. Suponha que o fluido existente entre as placas pode ser modelado por camadas empilhadas que inicialmente encontram-se em repouso, mas devido da ação da força começam a se mover e se deformarem. Para muitos fluidos é observado experimentalmente que existe uma relação linear entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação das laminas de fluido, ou seja,

No limite
deu o nome de viscosidade,ou seja:

Isaac Newton supôs que a constante de proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação fosse uma propriedade do fluido, a qual ele (3.3)

No SI,

Fluidos que satisfazem a equação (3.3) são denominados fluidos newtonianos. Quanto mais viscoso for o fluido, maiores serão as tensões de cisalhamento entre suas “laminas” e, consequentemente, maior será a dissipação de energia. A viscosidade dos fluidos diminui com o aumento da temperatura, no entanto, é pouco afetada pela variação de pressão.

No estudo da mecânica dos fluidos é conveniente assumir que gases e líquidos sejam distribuídos continuamente, ou seja, o fluido é tratado como um contínuo (POTTER & WIGGERT, 2009). Existe uma propriedade dos fluidos que é de grande utilidade para verificar se a ideia de contínuo é apropriada, tal propriedade é a massa específica , definida por:

Na qual,corresponde a um incremento de massa contida no volume incremental
Certamente não é possível fazer com queindiscriminadamente, pois

neste caso a massa contida no elemento de volume varia descontinuamente e a

seria mais aceitável se o limite tendendo a zero fosse substituído por um volume
das aplicações em engenharia o volumeé extremamente pequeno, por exemplo,
em um milímetro cúbico de ar, nas condições normais, existem 2,7xmoléculas,
sendo assim o volumecertamente posse ser tomado como sendo muito menor

ideia de contínuo não é mais válida. Fisicamente a definição de massa específica muito pequeno, mas que contenha um número grande de partículas. Para a maioria que um milímetro cúbico e mesmo assim conter um grande número de moléculas, dessa forma a hipótese de contínuo torna-se válida (POTTER & WIGGERT, 2009).

A importância da validade da ideia de contínuo é que as propriedades dos fluidos podem ser adotadas e aplicadas uniformemente em todos os pontos da região em qualquer instante de tempo. Isto significa que é possível escrever, por exemplo, que a massa específica é uma função (em coordenadas cartesianas) contínua de e , ou seja, .

3.1. CONSERVAÇÃO DE MASSA

A equação da continuidade aparece em vários contextos na Física, de fato, sempre que há uma lei de conservação de alguma quantidade que flui no espaço (matéria, carga, etc.) essa lei é regida por uma equação da continuidade. Na ausência de fontes ou sorvedouros, toda massa que entra em um sistema deve sair e/ou se acumular no mesmo. Esta é uma forma simples de enunciar esta lei de conservação, que quando aplicada a um elemento infinitesimal de volume fornece a equação diferencial da continuidade que relaciona os campos de massa específica e de velocidade (FORTUNA, 2000). Considere o fluxo de massa através de cada face do elemento de volume infinitesimal esboçado na Figura 3.2. Fixando-se o fluxo de massa líquido que entra no elemento de volume igual à taxa de variação de massa do elemento, ou seja:

Ondeé o fluxo de massa, ou vazão em massa, e é a massa do elemento de

Figura 3.2 Volume de controle infinitesimal.

E, efetuando-se o balanço de massa neste elemento de volume, tomando como referência o seu centro, obtém-se a seguinte relação:

Subtraindo-se os termos apropriados e dividindo-se portem-se:
propriedades do fluido tais como a massa específica e a velocidadesão funções

Adotando-se a descrição euleriana para o movimento do fluido, ou seja, as do espaço e do tempo.

Tendo-se em vista estas informações a equação (3.6) pode ser reescrita da seguinte forma:

(3.10) Pela regra da cadeia tem-se que:

(3.1) Sendo que:

São as componentes da velocidade do fluido nas direçõese respectivamente.

A expressão:

é conhecida como derivada substancial ou material, o nome é dado pelo fato de estar sendo analisado o movimento de uma partícula distinta do fluido, ou seja, segue-se a substância ( ou material) (POTTER & WIGGERT, 2009).

O operador gradiente em coordenadas cartesianas é escrito da seguinte forma:

Atuando com este operador no vetor velocidade, equação (3.9), obtém-se o seguinte resultado:

Portanto, a equação da continuidade, pode ser escrita de forma mais compacta como:

Para um escoamento incompressível, escoamento no qual a massa específica de uma partícula de fluido não muda conforme segue sua trajetória, ou seja,

Logo a equação da continuidade para um escoamento incompressível, toma a forma

(3.15) Ou, na forma vetorial,

Ou seja, para um escoamento incompressível o divergente da velocidade do fluido é nulo.

3.2. CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO

A equação da conservação da quantidade de movimento é obtida a partir da aplicação da segunda lei de Newton (taxa de variação temporal do momento de uma partícula é igual à resultante das forças que nela atuam). Nesse ponto, se faz necessário definir os tipos de força que atuam sobre uma partícula de fluido.

Basicamente estas forças podem ser classificadas em dois tipos: forças de campo e forças de superfície.

Forças de campo são forças que agem sobre a massa de fluido como um todo, isto é, sobre cada ponto de um elemento de fluido. Enquadram-se nesta categoria a força da gravidade, eletromagnética, centrífuga e de Coriolis. Como estas forças nem sempre possuem uma magnitude grande o suficiente para influenciar o escoamento, as expressões matemáticas dessas forças são, geralmente, adicionadas como termos auxiliares nas equações de momento. Esses

termos podem ser expressos de forma geral como sendo, sendo que

pode ser qualquer uma das forças anteriormente citadas, como também pode ser a soma vetorial de todas elas, dependendo da particularidade do problema que está sendo estudado (FORTUNA, 2000).

Forças de superfície, como próprio nome sugere, agem somente sobre a superfície do elemento de fluido. São decorrentes da pressão exercida sobre o fluido por um elemento exterior e das tensões viscosas normais e de cisalhamento devido ao atrito com os elementos de fluido adjacentes em movimento. Uma vez que estas forças são intrínsecas ao fluido, elas aparecem como termos constitutivos das equações de movimento.

A equação diferencial da conservação de momento é vetorial, portanto, fornece três equações escalares. A resolução das equações das componentes determina os campos de velocidade e pressão. No entanto, existe uma dificuldade na determinação destas equações que é o uso das componentes da tensão para determinarmos as forças necessárias para escrever as equações da conservação de momento. Existem nove componentes de tensão que atuam em um ponto particular de

um escoamento, elas são as nove componentes do tensor tensão, que pode ser

representado pela matriz abaixo (POTTER & WIGGERT, 2009):

As tensões que agem em um elemento de fluido são mostradas na Figura 3.3.

Figura 3.3 Tensões que agem sobre um elemento de fluido.

O primeiro subscrito de uma componente de tensão indica em qual face ela atua, o segundo subscrito denota a direção de atuação. Uma componente de tensão

que age perpendicularmente a uma face é chamada de tensão normal ( ,, ).

Uma componente de tensão que age tangencialmente a uma face é chamada de

tensão de cisalhamento ( ,, , , , ).

Considere as forças que atuam em um elemento infinitesimal de fluido conforme ilustrado na Figura 3.4.

Figura 3.4 Balanço de forças.

Uma vez que o campo de tensão varia suavemente, seu valor foi expandido em série de Taylor a partir do seu valor no centro do fluido. De acordo com a segunda lei de Newton temos:

29 Para direção

(3.18)
Dividindo-se a equação (3.18) por, obtém-se:

Realizando as simplificações necessárias temos:

Pela simetria das equações, tem-se que para as direções e , o balanço de forças resulta nas seguintes equações:

Portanto, através balanço de forças que atuam no elemento de volume de fluido determinou-se as equações (3.19), (3.20) e (3.21), abaixo agrupadas nesta sequência.

Conforme discutido anteriormente, muitos fluidos exibem uma relação linear entre as componentes da tensão e o gradiente da velocidade, tais fluidos são chamados de fluidos newtonianos. Se além desta linearidade considerarmos o fluido como sendo isotrópico, ou seja, as propriedades do fluido são independentes da direção em uma dada posição; é possível relacionar as componentes da tensão e os gradientes da velocidade, usando apenas duas propriedades do fluido a viscosidade , e o segundo coeficiente da viscosidade (POTTER & WIGGERT, 2009). As relações tensão-gradiente de velocidade, também chamadas equações constitutivas são apresentadas a seguir

(3.27) Utilizando-se a seguinte condição:

assumindo-se que o escoamento seja incompressível (), tem-se:

conhecida como hipótese de Stokes, nas equações constitutivas (3.2) a (3.24), e (3.29)

Ou seja, a média negativa das três tensões normais é igual à pressão. Substituindose as equações constitutivas, juntamente com a hipótese de Stokes, na equação (3.19) obtida no balanço de quantidade de movimento, obtém-se:

Procedendo-se da mesma forma para as equações (3.20) e (3.21) obtém-se respectivamente para as direções e :

Adotando-se o escoamento como sendo incompressível, ou seja,, as

(3.32) equações (3.30), (3.31) e (3.32) podem ser rescritas da seguinte maneira:

As equações (3.3), (3.34) e (3.35) são conhecidas como equações de

segunda ordem e quatro incógnitas, , , eA viscosidade e a massa específica

Navier-Stokes, assim chamadas em homenagem a Louis M.H. Navier (1785-1836) e George Stokes (1819-1903); com estas três equações, mais a equação da continuidade, obtém-se um sistema de quatro equações diferenciais parciais de são propriedades do fluido que supostamente são conhecidas (POTTER & WIGGERT, 2009). É possível representar as equações de Navier-Stokes de maneira mais compacta, na sua forma vetorial:

3.3. A EQUAÇÃO DE REYNOLDS PARA MHR

A equação de Reynolds é derivada a partir das equações de Navier-Stokes e da continuidade, considerando-se que o fluido lubrificante seja newtoniano, isoviscoso e incompressível. A equação de Reynolds descreve as características do fluxo do fluido lubrificante na folga radial do mancal, sua resolução permite determinar o campo de pressão no fluido do mancal, a partir do qual, as forças desenvolvidas pelo mancal e que atuam no rotor são obtidas, o que fornece informações importantes como a capacidade de carga, coeficiente dinâmico de rigidez e amortecimento (WATANABE, 2003).

definido um sistema de coordenadas local, no qual escreveremos as equações

A Figura 3.5 é uma representação da vista planificada do mancal onde temos da continuidade e de Navier – Stokes, anteriormente definidas.

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