Modelagem e Simulação de Mancais Hidrodinâmicos Radiais

Modelagem e Simulação de Mancais Hidrodinâmicos Radiais

(Parte 3 de 3)

x superfície do rotor

Figura 3.5 Vista planificada do mancal. Fonte: Watanabe (2003).

As equações de Navier – Stokes no sistema de coordenadas do problema podem ser escritas da seguinte maneira:

Com a hipótese de escoamento incompressível, a equação da continuidade do fluido na folga do mancal é dada pela equação (3.15).

massa específica do fluido lubrificante;

Os parâmetros que caracterizam estas equações são os seguintes: - viscosidade do fluido

– pressão no filme de fluido lubrificante;

– componentes da velocidade do fluido nas direções ,

respectivamente;

- componentes de forças de campo nas direções ,

respectivamente.

As equações de Navier-Stokes, juntamente com a equação da continuidade, podem ser simplificadas através de uma análise da magnitude dos termos que as compõem, proposta por Childs (1993 apud WATANABE, 2003). Para isso, é necessário efetuar uma série de adimensionalizações das variáveis. As variáveis e o tempo são usualmente adimensionalizadas como mostrado nas equações a seguir:

em função da velocidade tangencial da superfície do rotor,

As componentes da velocidade circunferencial, , e axial, , são adimensionalizadas (3.41)

Substituindo-se estas adimensionalizações na equação da continuidade para o fluido presente na folga do mancal obtém-se:

Na prática, nos mancais hidrodinâmicos radiais as dimensõese são da mesma
ordem de grandeza, ou seja:Além disso, temos também que: .

(3.42) Uma adimensionalização para a componente da velocidade , que produzirá termos de mesma ordem de grandeza na equação (3.42) é dada por:

Para obter a equação de Reynolds, além destas adimensionalizações, emprega-se também a definição do número de Reynolds. O número de Reynolds é uma grandeza adimensional que serve como ferramenta de previsão dos regimes de escoamento, grosso modo, se o número de Reynolds é relativamente pequeno, o escoamento é laminar, se é grande, o escoamento é turbulento. Vale ressaltar o fato de que o número de Reynolds assume valores distintos dependendo da geometria do escoamento.

Um regime de escoamento depende de três parâmetros físicos que descrevem as condições do escoamento. O primeiro parâmetro é um comprimento de escala do campo de escoamento, tal como o diâmetro de uma tubulação ou a espessura de uma camada limite. Se esse comprimento de escala é suficientemente grande, a perturbação do escoamento pode aumentar e o escoamento pode ser turbulento. O segundo parâmetro é uma velocidade de escala, tal como uma média espacial da velocidade; para uma velocidade suficientemente alta, o escoamento pode ser turbulento. O terceiro parâmetro é a viscosidade cinemática, para viscosidades suficientemente pequenas o escoamento pode ser turbulento. Estes três parâmetros podem ser combinados em um único parâmetro que é o numero de Reynolds (POTTER & WIGGERT, 2009). Essa quantidade recebe este nome em homenagem a Osborne Reynolds (1842-1912) e é definida como:

Na qual, L e V são um comprimento característico e uma velocidade, respectivamente, e é a viscosidade cinemática definida da seguinte forma:

Para o caso da modelagem do mancal, o numero de Reynolds foi definido por Someya (1989 apud WATANABE, 2003) da seguinte forma:

(3.46) Define-se também uma adimensionalização para pressão:

Desconsiderando-se as componentes da força de campo, e substituindo-se este conjunto de adimensionalizações nas equações de Navier-Stokes ( (3.37) a (3.39)), obtém-se as seguintes equações:

Para direção

37 Analogamente para a direção

Pelo fato da adimensionalização da componente da velocidade de escoamento do fluido ser diferente da adotada para as componentes e , para direção uma equação diferente das demais é obtida. Substituindo-se as adimensionalizações, na equação (3.38), tem-se:

direçõese , respectivamente.

Abaixo estão reunidas as equações (3.48), (3.49) e (3.50) , correspondentes as três

folga radial nominal, é da ordem de, e que estes mancais são construídos

Sabendo-se que nos projetos de mancais hidrodinâmicos radiais o parâmetro , com raios da ordem de , tem-se que:

Com base nestas informações podemos simplificar o as equações (3.48), (3.49) e (3.50), resultando em:

(3.53) Retornando a forma dimensional teremos o seguinte conjunto de equações:

Devido ao pequeno valor de , o gradiente de pressão na direção é

e

inteiramente desconsiderado, portanto, o escoamento do fluido pode ser considerado como sendo bidimensional, apenas com componentes de velocidade

Para uma análise mais simples do mancal os efeitos de inércia do fluido são desprezados. Isso significa assumir um regime de escoamento laminar, ou seja, desconsiderar os termos de aceleração local e convectiva nas equações de Navier – Stokes.

A aceleração de uma partícula de um fluido é obtida considerando-se uma partícula específica, conforme ilustrado na Figura 3.6.

A velocidade da partícula muda deno tempo para no tempo

Figura 3.6 Aceleração de uma partícula de fluido. . A aceleração é por definição:

Comoé dado por:
A quantidadeusando a regra da cadeia será:
Uma vez que, isso implica que a aceleração e dada por:

(3.60) Na qual:

40 A aceleração dada pela equação (3.60) é, então, expressa como:

As equações das componentes escalares da equação vetorial acima, para coordenadas retangulares, são escritas como:

O termo da derivada temporal do lado direito das equações anteriores é chamado de aceleração local, os termos remanescentes correspondem à aceleração convectiva. Uma maneira simples de entender a diferença entre estas duas contribuições para a aceleração da partícula é analisar o escoamento em uma tubulação. Em uma tubulação a aceleração local resulta, por exemplo, do ato de abrir ou fechar uma válvula. Já a aceleração convectiva ocorrerá nas vizinhanças de uma mudança na geometria da tubulação, tal como um estreitamento da linha ou um cotovelo. Em ambos os casos, as partículas do fluido mudam de velocidade, mas por razões totalmente distintas (POTTER & WIGGERT, 2009).

Reconhecendo-se os termos de aceleração local e convectiva nas equações de Navier – Stokes, executa-se a simplificação citada anteriormente, ou seja, desconsiderar os efeitos de inércia do fluido que nada mais é do que eliminar os termos de aceleração local e convectiva nas equações (3.54) e (3.56), obtendo-se com isso:

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