Apostila de Trigonometria

Apostila de Trigonometria

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Filipe Rodrigues de S. Moreira

Graduando em Engenharia Mecânica –

Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) (Fevereiro 2005)

Trigonometria

Capítulo I. Um pouco de História

A palavra trigonometria tem origem na Grécia da palavra trigonos (triângulo) + metrûm (medida).

Etimologicamente, trigonometria significa medida de triângulos.

Por vezes pensa-se que a origem da Trigonometria está exclusivamente ligada à resolução de situações de medição de terrenos ou determinação de medidas sobre a superfície da terra. No entanto, enquanto ramo do conhecimento científico, é impossível separar a Trigonometria da Astronomia. Daí que o seu desenvolvimento como ciência exata viesse a exigir medições e cálculos de grande precisão. É neste contexto que o astrônomo grego Hiparco de Niceia (180-125 a.C.) é considerado o fundador da Trigonometria. Foi ele que introduziu as medidas sexagesimais em Astronomia e elaborou a primeira tabela trigonométrica. Hiparco utilizou a trigonometria para fazer medições, prever eclipses, fazer calendários e na navegação.

A Hiparco seguiram-se outros no estudo e desenvolvimento da trigonometria, como, por exemplo,

Ptolomeu.

No séc.I, os indianos e os árabes deram nova dimensão à trigonometria ao introduzirem a trigonometria esférica. A Trigonometria tem como objetivo principal o estudo das relações entre lados e ângulos de um triângulo e constitui instrumento indispensável na resposta a necessidades da Astronomia e ainda da navegação, cartografia e da topografia. O estabelecimento de certas relações que hoje chamamos fórmulas fundamentais da Trigonometria deve-se aos matemáticos hindus, do séc. V ao séc. XII. De entre eles destacase Aryabhata (séc.VI), um astrônomo indiano, tendo já nesta altura associado o seno de um ângulo ao centro à medida da corda correspondente e elaborado também uma tábua de valores do seno. Matemáticos árabes, depois de traduzirem as obras deixadas pelos hindus, desenvolveram o estudo das razões trigonométricas em triângulos retângulos e estabeleceram, para qualquer triângulo, o chamado teorema ou lei dos senos.

A trigonometria começa a afirmar-se como ciência autônoma a partir do séc.XI quando Al-Biurine reúne todas as demonstrações, quer de origem grega, quer de origem indiana, até então conhecidas e usadas em Trigonometria. Deve-se ainda aos árabes a introdução desta ciência na Europa Ocidental. Na Europa, a instituição da Trigonometria como ciência autônoma em relação à Astronomia, é iniciada através da tradução e publicação dos manuscritos clássicos, bem como da elaboração de uma introdução completa à Trigonometria, e ficou a dever-se a Johaness Müller, um astrônomo prussiano, mais conhecido por Regiomontano(1436-1476).A obra de Regiomontano continha, por exemplo, a "Lei dos senos" aplicada a triângulos esféricos. No séc.XVI, François Viète (1540-1603) estabeleceu várias relações trigonométricas tendo-as associado às soluções de equações do 3ºgrau - é a ligação da trigonometria à Álgebra. Viète introduziu novos teoremas que permitiram relacionar lados e ângulos de triângulos não retângulos. Neper e Briggs usaram o cálculo logarítmico para estabelecerem novas fórmulas trigonométricas (séc.XVII). No séc.XIX, a trigonometria atinge o seu ponto máximo, ficando ligada à análise através das séries. Hoje, a trigonometria usa-se em muitas situações, nomeadamente na física.

Capítulo I. O Triângulo Retângulo

O triângulo retângulo é construído utilizando-se dois lados perpendiculares entre si chamados catetos e um outro lado chamado hipotenusa. A partir dessa construção muitos teoremas importantíssimos foram construídos e um dos mais importantes é o chamado Teorema de Pitágoras.

I.1 – O Teorema de Pitágoras

Esse talvez seja o principal teorema que expressa uma relação métrica para os lados de um triângulo retângulo.

“O quadrado da medida da hipotenusa de um triangulo retângulo é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”.

Veja que na figura ao lado, há uma série de semelhanças de triângulos. ABCCAEBEA∆≈∆≈∆. Com isso conseguimos algumas relações entre elas:

a bchabc h=⇒=. Também temos que: amababb

Uma terceira relação é dada porb chmbhc m=⇒=. Como a bch=, temos que:

acabcb cm 2 .==. Substituindo o valor de m na equação (I) vem:

I-) Relações trigonométricas no triângulo retângulo

Tendo como base o triângulo retângulo da fig.1, podemos definir algumas relações que envolvem os ângulos do triângulo retângulo. São elas o seno, o cosseno e a tangente. Definimos essas linhas trigonométricas da seguinte forma:

hipotenusa àopostocatαα.sen= hipotenusa àajacentecatαα.cos= ααα àajacentecat àopostocat.

Da figura: ângulos sen cos tan α a c=αsen a b=αcos b c=αtan β a b=βsen a c=βcos c b=βtan

Repare que para quaisquer α e β βαcos=sen e αβcos=sen assim, tiramos uma das relações mais importantes da Trigonometria:

“O seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complementar”

Existem alguns ângulos notáveis e é necessário que todo pré-vestibulando conheça o seno o cosseno e a tangente desses arcos. Veja a tabela abaixo:

Nível I P1-) Dados as figuras abaixo, determine o que se pede:

a) o valor de AE; b) o valor de CE; c) o valor de DE; d) o valor de αααtgsen,cos,; e) o valor de βββtgsen,cos,;

P2-) Dados os grupos de três números abaixo, diga quais desses não podem representar lados de triângulos retângulos.

a-) 2,3 e 4b-) 3, 4 e 5 c-) 6, 7 e 8 d-) 1, 3
e 2 e-) 2, 60, 8f-) 6, 8, 10

P3-) Uma mulher sobe numa mesa quando vê um rato no chão. A altura da mesa é de 50 cm e a altura da mulher é de 1,50 m. O rato se encontra parado, rindo da cara dela, à 5 metros da mesa. Calcule a distância dos olhos da mulher ao rato.

P4-) Um poste de luz de 5 metros de altura produz uma sombra no chão de 8 metros. Qual a distância da ponta do poste à ponta da sombra deste no chão?

P5-) A figura mostra a posição de um avião observado a partir de dois pontos, A e B, localizados no solo e distantes 1 Km um do outro. Sabe-se que, nesse instante, o avião dista, respectivamente, 8 km e 9km, dos pontos A e B. Nessas condições, determine a altura do avião, em relação ao solo, no instante considerado.

P6-) (FUVEST) Na figura a seguir o ângulo do vértice B é reto, quanto vale x?

60° x

P7-) Calcule o valor da expressão abaixo:

)90).(89)(3).(2).(1(

P8-) Dado o triângulo retângulo ABC. O valor de x + y é:

P9-) Uma roda de bicicleta tem 40cm de diâmtero. Quantas voltas completas ela dá em 1km ?

Gabarito senα=

P5) 62H= P6) 53x= P7)1 P8) d P9) 795

Capítulo I. Círculo Trigonométrico

A circunferência trigonométrica é de extrema importância para o nosso estudo da Trigonometria, pois é baseado nela que todos os teoremas serão deduzidos.

Trata-se de uma circunferência com centro na origem do sistema de eixos coordenados e de raio 1, como é mostrado na figura abaixo:

I.1 – Ângulo central

Qualquer ângulo cujo vértice é o centro da circunferência chamamos de ângulo central. Como exemplo temos o ângulo (AÔB).

I.2 – Unidades de medidas de ângulos;

Existem algumas unidades conhecidas com as quais podemos medir um ângulo. A mais conhecida é o grau, mas há algumas outras que podem aparecer no nosso vestibular!!!! Vamos entender como cada uma dessas unidades foram definidas.

• Grau: Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, ligamos o centro a cada um desses pontos marcados nessa circunferência. Com essa operação conseguimos determinar 360 ângulos centrais. Cada um desses ângulos é chamado de 1 grau.

o grado dividiremos essa mesma circunferência em 400 partes iguais

• Grado: Da mesma forma que foi feita a definição de um grau, faremos para definir um grado. A única diferença entre essas medidas é que para o grau dividimos a circunferência em 360 arcos iguais e para

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