Apostila de Trigonometria, Notas de aula de Matemática

Baixe Apostila de Trigonometria e outras Notas de aula em PDF para Matemática, somente na Docsity! 1 Filipe Rodrigues de S. Moreira Graduando em Engenharia Mecânica – Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) (Fevereiro 2005) Trigonometria Capítulo I. Um pouco de História A palavra trigonometria tem origem na Grécia da palavra trigonos (triângulo) + metrûm (medida). Etimologicamente, trigonometria significa medida de triângulos. Por vezes pensa-se que a origem da Trigonometria está exclusivamente ligada à resolução de situações de medição de terrenos ou determinação de medidas sobre a superfície da terra. No entanto, enquanto ramo do conhecimento científico, é impossível separar a Trigonometria da Astronomia. Daí que o seu desenvolvimento como ciência exata viesse a exigir medições e cálculos de grande precisão. É neste contexto que o astrônomo grego Hiparco de Niceia (180-125 a.C.) é considerado o fundador da Trigonometria. Foi ele que introduziu as medidas sexagesimais em Astronomia e elaborou a primeira tabela trigonométrica. Hiparco utilizou a trigonometria para fazer medições, prever eclipses, fazer calendários e na navegação. A Hiparco seguiram-se outros no estudo e desenvolvimento da trigonometria, como, por exemplo, Ptolomeu. No séc.III, os indianos e os árabes deram nova dimensão à trigonometria ao introduzirem a trigonometria esférica. A Trigonometria tem como objetivo principal o estudo das relações entre lados e ângulos de um triângulo e constitui instrumento indispensável na resposta a necessidades da Astronomia e ainda da navegação, cartografia e da topografia. O estabelecimento de certas relações que hoje chamamos fórmulas fundamentais da Trigonometria deve-se aos matemáticos hindus, do séc. V ao séc. XII. De entre eles destaca- se Aryabhata (séc.VI), um astrônomo indiano, tendo já nesta altura associado o seno de um ângulo ao centro à medida da corda correspondente e elaborado também uma tábua de valores do seno. Matemáticos árabes, depois de traduzirem as obras deixadas pelos hindus, desenvolveram o estudo das razões trigonométricas em triângulos retângulos e estabeleceram, para qualquer triângulo, o chamado teorema ou lei dos senos. A trigonometria começa a afirmar-se como ciência autônoma a partir do séc.XI quando Al-Biurine reúne todas as demonstrações, quer de origem grega, quer de origem indiana, até então conhecidas e usadas em Trigonometria. Deve-se ainda aos árabes a introdução desta ciência na Europa Ocidental. Na Europa, a instituição da Trigonometria como ciência autônoma em relação à Astronomia, é iniciada através da tradução e publicação dos manuscritos clássicos, bem como da elaboração de uma introdução completa à Trigonometria, e ficou a dever-se a Johaness Müller, um astrônomo prussiano, mais conhecido por Regiomontano(1436-1476).A obra de Regiomontano continha, por exemplo, a "Lei dos senos" aplicada a triângulos esféricos. No séc.XVI, François Viète (1540-1603) estabeleceu várias relações trigonométricas tendo-as associado às soluções de equações do 3ºgrau - é a ligação da trigonometria à Álgebra. Viète introduziu novos teoremas que permitiram relacionar lados e ângulos de triângulos não retângulos. Neper e Briggs usaram o cálculo logarítmico para estabelecerem novas fórmulas trigonométricas (séc.XVII). No séc.XIX, a trigonometria atinge o seu ponto máximo, ficando ligada à análise através das séries. Hoje, a trigonometria usa-se em muitas situações, nomeadamente na física. 2 Capítulo II. O Triângulo Retângulo O triângulo retângulo é construído utilizando-se dois lados perpendiculares entre si chamados catetos e um outro lado chamado hipotenusa. A partir dessa construção muitos teoremas importantíssimos foram construídos e um dos mais importantes é o chamado Teorema de Pitágoras. º90=+ βα II.1 – O Teorema de Pitágoras Esse talvez seja o principal teorema que expressa uma relação métrica para os lados de um triângulo retângulo. “O quadrado da medida da hipotenusa de um triangulo retângulo é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”. 222 cba += Veja que na figura ao lado, há uma série de semelhanças de triângulos. ABCCAEBEA ∆≈∆≈∆ . Com isso conseguimos algumas relações entre elas: a bch a b c h =⇒= . Também temos que: amab a b b ma −=⇒= − 22 (I) Uma terceira relação é dada por b chm b h c m =⇒= . Como a bch = , temos que: a c a bc b cm 2 . == . Substituindo o valor de m na equação (I) vem: 222 cba += Teorema de Pitágoras 5 Capítulo III. Círculo Trigonométrico A circunferência trigonométrica é de extrema importância para o nosso estudo da Trigonometria, pois é baseado nela que todos os teoremas serão deduzidos. Trata-se de uma circunferência com centro na origem do sistema de eixos coordenados e de raio 1, como é mostrado na figura abaixo: III.1 – Ângulo central Qualquer ângulo cujo vértice é o centro da circunferência chamamos de ângulo central. Como exemplo temos o ângulo (AÔB). III.2 – Unidades de medidas de ângulos; Existem algumas unidades conhecidas com as quais podemos medir um ângulo. A mais conhecida é o grau, mas há algumas outras que podem aparecer no nosso vestibular!!!! Vamos entender como cada uma dessas unidades foram definidas. • Grau: Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, ligamos o centro a cada um desses pontos marcados nessa circunferência. Com essa operação conseguimos determinar 360 ângulos centrais. Cada um desses ângulos é chamado de 1 grau. • Grado: Da mesma forma que foi feita a definição de um grau, faremos para definir um grado. A única diferença entre essas medidas é que para o grau dividimos a circunferência em 360 arcos iguais e para o grado dividiremos essa mesma circunferência em 400 partes iguais. • Radiano: Outra unidade é chamada de radiano. Essa é uma das mais importantes e é a que mais faremos uso no nosso curso de trigonometria. Sejamos práticos: Desenhamos no chão uma circunferência de raio r. Agora fazemos uma formiga andar sobre essa circunferência (sobre a curva) o equivalente à r. Marcamos o lugar que ela pára. Agora marcamos o ângulo central que corresponde à esse arco que a formiga andou. Esse ângulo central formado mede 1 radiano (1 rd). Faça a seguinte experiência!!!! 1. Com o auxílio de um compasso, desenhe uma circunferência de raio R = 10cm. 2. Pegue um pedaço de barbante e cubra essa circunferência por inteiro. 3. Estique esse barbante e meça o seu tamanho (L) com uma régua. Os eixos dividem a circunferência em 4 partes iguais denominados quadrantes. Convenciona-se que o sentido anti-horário é o sentido positivo na circunferência trigonométrica. 6 4. Calcule o valor da razão expressa por R Lk = . 5. Anote o resultado em uma tabela. 6. Repita esse procedimento para circunferências de raios 5cm e 8cm. 7. Compare a sua tabela com a tabela abaixo. R = 10cm R Lk = R = 8cm R Lk = R = 5cm R Lk = L = 62,8cm ≈6,28 L = 50,4 cm ≈6,28 L = 31,4cm ≈6,28 Repare que não importa o valor de R que você use, quando você calcular o valor de R Lk = o resultado surpreendentemente, é sempre o mesmo e aproximadamente igual à 6,28. Essa constante pode ser calculada com exatidão, mas para isso é necessário o uso de uma matemática mais pesada, essa constante chamamos de 2π. Assim, o comprimento de qualquer circunferência é dado por L = 2πR. No caso do nosso estudo, o raio vale 1 por definição. Assim, a nossa circunferência mede 2π. Como foi dito acima, 1(um) radiano é o valor de um ângulo que equivale à um arco que mede r (no nosso caso r = 1). Como nossa circunferência mede 2π, cabem nela 2π radianos. Assim, dizemos que na circunferência inteira temos: º360 ............equivale à.............2π radianos........... que equivale à...........400 grados Para efeito de conversões, temos a seguinte relação: gdrad 200º180 ≡≡ π III.3 – Arcos Quando marcamos dois pontos A, B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes. Podemos ainda definir arco como sendo a porção da circunferência delimitada por um ângulo central qualquer. Veja!!!! Tanto a parte I como a parte II são chamadas de arcos de circunferência. Se A coincide com B, diz-se que temos o arco nulo (I) e o arco de volta inteira (II). Muito importante: se não for mencionado qual dos arcos se está falando, assume-se que trata-se do menor arco. III.4 – Unidades de medidas de arcos Vamos medir um arco: 7 Acabamos de ver que para qualquer circunferência, o seu comprimento é dado pela expressão: RC π2= . Vamos achar uma expressão que dá o comprimento de um arco sobre uma circunferência de raio R. Vamos usar uma regra de três: θ ππ _____ 2_____2 c R ⇒ θRc = , em que c é o comprimento do arco. OBS.: No caso da circunferência trigonométrica, por definição, ela tem raio 1, logo a expressão acima fica reduzida à: θ=c III.5 – Expressão geral dos arcos Imagine a seguinte situação: estamos caminhando sobre uma pista circular, logo, sairemos de um marco zero e vamos prosseguindo de tal forma que num determinado momento chegamos o mesmo ponto de partida. A posição (sobre a pista circular) é a mesma daquela que começamos a caminhada, porém os arcos são diferentes, pois no início não tínhamos andado nada e agora temos um segundo arco que vale 2π. Veja a figura: Quando acontecem de termos dois arcos diferentes que terminam na mesma posição da circunferência, dizemos que esses arcos são arcos côngruos. Ex.: 4 9 4 ππ e são côngruos. 2 7 2 3 ππ e são côngruos. Assim, podemos ver que qualquer arco β é côngruo com outros infinitos arcos definidos pela soma de β com múltiplos de 2π, ou seja, se estamos sobre o arco β e andamos mais 2π sobre a circunferência voltamos para a mesma posição e se andarmos mais 2π voltamos novamente para a mesma posição original e se formos andando mais múltiplos de 2π estaremos sempre voltando para a mesma posição assim, podemos escrever que qualquer arco côngruo de β é da forma: ZkkAB ∈+= ),2( πβ . │k│ é o número de voltas e o sinal de k indica o sentido (horário-negativo ou anti-horário-positivo) do giro. Apresentamos abaixo a figura da circunferência trigonométrica em que são evidenciados os ângulos mais notáveis expressos em radianos e em graus. 10 IV. Funções Nesse capítulo vamos começar a estudar um pouco sobre essas máquinas (funções) que transformam um número em outro tipo de número. Essas máquinas podem ser separadas de acordo com um grupo de características as quais veremos também nesse capítulo. IV.1 – Funções As funções podem ser vistas como máquinas. Em geral uma máquina manufatureira recebe a matéria prima e transforma num produto manufaturado. Veja que uma máquina de moer carne transforma carne em pedaços grandes, em carne moída, uma máquina de fazer algodão doce transforma açúcar cristal em algodão doce. Veja que nesses exemplos a matéria prima faz parte de um tipo de conjunto e o produto manufaturado faz parte de um outro conjunto. No exemplo da máquina de moer carne a matéria prima faz parte do conjunto que contêm todos os tipos de carne em pedaço, pois qualquer tipo de carne em pedaços pode entrar nessa máquina e essa vai moê-lo com facilidade já a carne moída, que é o produto, é o que sai da máquina, essa faz parte de um outro conjunto, o conjunto de todos os tipos de carne moída. Vamos trazer esses exemplos do dia a dia para o nosso contexto. As funções numéricas são máquinas numéricas, ou seja, são máquinas que transforma números de um certo conjunto em números de outro conjunto. Veja que aqui nesse exemplo foi colocado na máquina um número “a” (um que possa entrar na máquina) e a máquina devolveu um número “f(a)”. Essa é a principal característica de uma função, ou seja, um certo elemento que entra na função produz apenas um novo elemento. É importante observar que existe um certo conjunto que contêm todos os elementos que podem entrar na máquina, esse conjunto é chamado conjunto DOMÍNIO. Há também o conjunto de todos os elementos que a máquina gera, esse é o conjunto IMAGEM. Quando nos referimos a uma certa função escrevemos assim: f:A→B. Essa notação quer dizer que a função f é uma que transforma elementos do conjunto A em elementos do conjunto B. IV.2 – Tipos de funções Existem alguns tipos particulares de funções e vamos estudá-los a fim de utilizarmos esse conteúdo posteriormente. • Função par – É toda função que quando aplicamos um número “a” nessa função, ou seja, calculamos o f(a), obtemos um certo valor e quando calculamos o f(-a) obtemos o mesmo valor. Assim: f(a) = f(-a) Ex. 2( )f x x= . Para qualquer número “a”: 2( )f a a= e 2 2( ) ( )f a a a− = − = • Função ímpar – É toda função que quando calculamos o f(a) obtemos um certo valor e quando calculamos o f(-a) obtemos o valor de “–f(a)”. Assim: f(-a) = - f(a) Ex. 3( )f x x= . Para qualquer número “a”: 3( )f a a= e 3 3( ) ( )f a a a− = − = − 11 V. Funções Trigonométricas Já vimos no capítulo anterior um breve resumo sobre a definição de função e algumas de suas características. Nesse capítulo vamos definir outros tipos de funções as quais chamaremos de funções trigonométricas. V.1 – Função seno No segundo capítulo vimos a definição de seno, que para um ângulo agudo de um triângulo retângulo, a razão cateto oposto hipotenusa é equivalente ao seno desse referido ângulo. Vamos nos valer dessa definição para definir a função seno. Veja na figura ao lado que para um dado ângulo x, dentro da circunferência trigonométrica, podemos obter um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 1 (raio da circunferência trigonométrica) e catetos AB e OB. Vamos calcular o seno do ângulo x. 1 ABsenx AB= = . Veja que o valor do cateto AB é o próprio seno e que quando mudamos o valor de x o cateto AB, o seno, também muda. Assim podemos escrever um expressão para o cateto AB, o seno de x, que dependa do ângulo x. Definimos então a função: ( ) ( )f x sen x= . Vejamos algumas particularidades sobre essa função: Conforme x vai aumentando AB também aumenta até que x chegue a valer 90º. Nesse caso AB será igual ao raio da circunferência e então será igual a 1. Quando x ultrapassa 90°, AB volta a diminuir até que x alcance o valor de 180º onde não haverá mais triângulo e então AB valerá zero. Aumentando ainda mais o valor de x, o triângulo passa a pertencer ao 3º quadrante e AB torna-se negativo chegando ao mínimo de valer -1 quando x alcança o ângulo de 270º. Quando x ultrapassa esse ângulo de 270º, AB volta a aumentar e vai até zero quando x alcança um ângulo de volta inteira. Veja que quando x ultrapassar esse ângulo de volta inteira (360º) todo o processo passa a se repetir. Com isso, podemos dizer que o seno é uma função limitada, pois ele varia de -1 até 1. Podemos também dizer que a função seno é periódica pois quando x varia de zero até 360º ela adquire uma gama de valores e quando ele ultrapassa 360º ela repete tudo que fez na primeira volta na circunferência. Vamos aqui utilizar ângulos em radianos. A figura abaixo mostra um gráfico que traz o comportamento da função seno quando variamos o valor do ângulo x. 12 V.1.1 – Particularidades da função seno Vimos que por mais que variemos o valor de x entre os números reais, o seno de x está sempre compreendido entre -1 e 1. Assim, definimos formalmente f: R→ [-1, 1] tal que f(x) = sen x. Da figura temos que, sen x = P1P3 ; Calculamos o valor de sen(-x) = - P1P3 ; Como ∆OP1P3 ≡∆OP1P4 ,→P1P3 ≡ P1P4 . Assim, xx sen)sen( −=− , para todo x, logo, f(x) = sen x é uma função ímpar. Assim, podemos resumir três particularidades dessa função, uma que a função seno é periódica (de período 2π), outra que é função impar e a terceira é que a função seno é limitada (vale no máximo 1 e no mínimo -1). Vejamos em que casos o seno assume valor zero, 1 ou -1: Forma dos ângulos Valores do seno ,x k k Zπ= ∈ 0senx = (2 ) , 2 x k k Zππ= + ∈ 1senx = (2 ) , 2 x k k Zππ= − ∈ 1senx = − V.2 – Função cosseno; No segundo capítulo vimos a definição de cosseno, que para um ângulo agudo de um triângulo retângulo, a razão cateto adjacente hipotenusa é equivalente ao seno desse referido ângulo. Vamos nos valer dessa definição para definir a função cosseno. Veja na figura ao lado que para um dado ângulo x, dentro da circunferência trigonométrica, podemos obter um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 1 (raio da circunferência trigonométrica) e catetos AB e OB. Vamos calcular o cosseno do ângulo x. cos 1 OBx OB= = . Veja que o valor do cateto OB é o próprio cosseno e que quando mudamos o valor de x o cateto OB, o cosseno, também muda. Assim podemos escrever um expressão para o cateto OB, o cosseno de x, que dependa do ângulo x. Definimos então a função: ( ) cos( )f x x= . Vejamos algumas particularidades sobre essa função: Quando x é igual a zero veja que não existe triângulo e OB é igual ao raio que vale 1 (por definição). Conforme x vai aumentando OB diminui até que x chegue a valer 90º. Nesse caso OB será igual a zero. Quando x ultrapassa 90°, OB continua a diminuir até que x alcance o valor de 180º onde não haverá mais triângulo e então OB valerá -1. Aumentando ainda mais o valor de x, o triângulo passa a pertencer ao 3º quadrante e OB que já era negativo vai aumentando até valer zero, quando x alcança o ângulo de 270º. Quando x ultrapassa esse ângulo de 270º, OB volta a aumentar e vai até 1 quando x alcança um ângulo de volta inteira. Veja que quando x ultrapassar esse ângulo de volta inteira (360º) todo o processo passa a se repetir. Com isso, podemos dizer que o cosseno é uma função limitada, pois ele varia de -1 até 1. Podemos também dizer que a função cosseno é periódica pois quando x varia de zero até 360º ela adquire uma gama de 15 08) (CESCEA) Seja A ⊂ B, B = {x∈R| 0 ≤ x ≤ 2π} o domínio da função f, dada por: f x x x ( ) sen sen = − + 1 1 2 . Então, A é igual a : a) {x∈B| x ≠ π/2 e x ≠ 0 } b) {x∈B| x ≠ π } c) {x∈B| x ≠ 3π/2 } d) {x∈B| x = 3π/2 } 09) (CESCEA) As raízes da equação x2 – (2 tg a)x – 1 = 0 são : a) tg a ± cossec a b) tg a ± cos a c) tg a ± seca d) não sei 10) (CESCEM) O seno de um dos ângulos agudos de um losango é igual a ½ portanto a tangente do maior ângulo interno é : a) –1 b) − 3 2 c) − 3 3 d) 3 3 e) 3 2 11) (MACK) Sendo 4sen x = 3 cos x , para qualquer valor real de x então tg x vale : a) ¾ b) 4/3 c) 1 d) – ¾ e) – 4/3 12) (FUVEST) O menor valor de 1 3− cos x , com x real, é : a) 1/6 b) ¼ c) ½ d) 1 e) 3 13) (FUVEST) Dado o ângulo α = 1782o , então : a) sen α = - sen 18o; cos α = cos 18o; tg α = - tg 18o. b) sen α = - sen 18o; cos α = - cos 18o; tg α = - tg 18o. c) sen α = sen 18o; cos α = cos 18o; tg α = tg 18o. d) sen α = sen 18o; cos α = - cos 18o; tg α = tg 18o. e) sen α = sen 18o; cos α = cos 18o; tg α = - tg 18o. 14) (MACK) Assinale a alternativa correta : a) sen 1 > sen 3 b) sen 3 < sen 5 c) sen 5 > sen 6 d) sen 6 > sen 7 e) sen 7 > sen π/2 15) (FATEC) Se x é um número real tal que sen2x – 3sen x = - 2, então x é igual a : a) π/2 + hπ, h ∈ Z b) 3π/2 + hπ, h ∈ Z c) 3π/2 + h2π, h ∈ Z d) π/2 + h2π, h ∈ Z e) π/4 + hπ, h ∈ Z 16) (GV) O menor real positivo que satisfaz a equação 2sen2x – 3cos x − 3 = 0 é : a) π b) 8π/3 c) 3π d) 14π/3 e) nda 17) (FEI) Se 0 < x < π/4, é válido afirmar-se que: a) sen (π/2 - x) = sen x b) cos (π - x) = cos x c) sen (π + x) = sen x d) sen (π/2 - x) = cos x e) cos (π + x) = sen x 18) (UNAERP) Sendo sen x = ½ ; x∈Q, o valor da expressão (cos2 x). (sec2 x) + 2senx é: a) zero b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 3 19) (CESGRANRIO)O número de raízes reais da equação 3/2 + cosx = 0 é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) maior do que 3 GABARITO Nível I 01) 5 4 m = 02) 0 1n≤ ≤ 03) 6 6 3 3 n ou n≥ ≤ − 04) 3 soluções 05) 2 soluções 06) 3 soluções 07)C 08)B 09)B Nível II 01) C 02) A 03) C 04) C 05) D 06) C 07) A 08) C 09) C 10) C 11) A 12) B 13) A 14) A 15) D 16) E 17) D 18) D 19) A 20) D 16 VI. Funções Complementares VI.1 – Função Tangente; Definimos como tangente a função dada pela seguinte relação: x xtgx cos sen = Vamos analisar o seu domínio. Como temos um cosseno no denominador, temos que assegurar que esse cosseno nunca seja zero, caso contrário se teria uma operação proibida na matemática, que é a divisão por zero. Do capítulo anterior vimos que o cosseno é zero apenas nos ângulos da forma , 2 k k Zππ + ∈ . Assim, podemos dizer que a função tangente é definida em todos os reais exceto nos ângulos que zeram o cosseno. Logo, definimos formalmente: : \ , 2 f k k Zππ + ∈ →    tal que ( )f x tgx= . A respeito da sua paridade, temos que a função tangente é ímpar, pois é a razão de uma função ímpar com uma função par. Como fazem parte do seu domínio ângulos da circunferência trigonométrica, a partir do ângulo 180º tudo se repete, isso caracteriza a função tangente com uma função periódica. Segue a baixo o gráfico da função tangente. VI.2 – Função Secante; Definimos como secante como sendo a função dada pela seguinte relação: 1sec cos x x = Vamos analisar o seu domínio. Como temos um cosseno no denominador, temos que assegurar que esse cosseno nunca seja zero, caso contrário, teria uma operação proibida na matemática, que é a divisão por zero. Do capítulo anterior vimos que o cosseno é zero apenas nos ângulos da forma , 2 k k Zππ + ∈ . Assim, podemos dizer que a função secante é definida em todos os reais exceto nos ângulos que zeram o cosseno. Logo, definimos formalmente: : \ , 2 f k k Zππ + ∈ →    com ( ) secf x x= . A respeito da sua paridade, temos que a função secante é par, pois é proporcional ao inverso do cosseno, apenas, que é uma função par. Como fazem parte do seu domínio ângulos da circunferência trigonométrica, a partir do ângulo 360º tudo se repete, isso caracteriza a função secante com uma função periódica. Segue a baixo o gráfico da função secante. VI.3 – Função Cossecante; Definimos cossecante como sendo a função que é dada pela relação: 17 1cossec x senx = Vamos analisar o seu domínio. Como temos um seno no denominador, temos que assegurar que esse seno nunca seja zero, caso contrário terá uma operação proibida na matemática, que é a divisão por zero. Do capítulo anterior vimos que o seno é zero apenas nos ângulos da forma ,k k Zπ ∈ . Assim, podemos dizer que a função cossecante é definida em todos os reais exceto nos ângulos que zeram o cosseno. Logo, definimos formalmente: { }: \ ,f k k Zπ ∈ → tal que ( ) cossecf x x= . A respeito da sua paridade, temos que a função secante é ímpar, pois só depende (de maneira inversamente proporcional) do seno, que é uma função ímpar. Como fazem parte do seu domínio ângulos da circunferência trigonométrica, a partir do ângulo 360º tudo se repete, isso caracteriza a função cossecante com uma função periódica. Segue a baixo o gráfico da função cossecante. VI.4 – Função Cotangente; Definimos como cotangente como sendo a relação expressa por: coscot xgx senx = Vamos analisar o seu domínio. Como temos um seno no denominador, temos que assegurar que esse seno nunca seja zero, caso contrário teria uma operação proibida na matemática, que é a divisão por zero. Do capítulo anterior vimos que o seno é zero apenas nos ângulos da forma ,k k Zπ ∈ . Assim, podemos dizer que a função cotangente é definida em todos os reais exceto nos ângulos que zeram o seno. Logo, definimos formalmente: { }: \ ,f k k Zπ ∈ → , tal que, ( ) cotf x gx= . A respeito da sua paridade, temos que a função cotangente é ímpar, pois se trata de uma razão entre funções par e ímpar. Como fazem parte do seu domínio ângulos da circunferência trigonométrica, a partir do ângulo 180º tudo se repete, isso caracteriza a função cotangente com uma função periódica. Segue a baixo o gráfico da função cotangente. VI.5 – Resumo dos períodos das funções complementares; A tabela abaixo mostra como se comportam os períodos das funções complementares, tendo por base os seus gráficos. Admitirmos que essas funções sejam periódicas é um tanto quanto óbvio, pois como vimos elas dependem diretamente das funções seno e cosseno que apresentam períodos bem definidos. Função Período tangente π secante 2π cossecante 2π cotangente π 20 (e)par (f) ímpar (g)ímpar (h)ímpar 10) (a) Max = 7; mim = -7 (b) Max = 2π; mim = -2π (c) Max = 10; mim = -10 (d) Max = 2; mim = -2 (e) Max = 2 n π ; mim = 2 n π − (f) Max = 7 2π ; mim = 7 2π (g) Max = 2; mim = -2 (h) Max = 30!; mim = -30! (i) Max = 10; mim = -10 (j) Max = -10; mim = -10 11) (a) senx (b) 7cos x (c) 3 cossen x x (d) 5 cos x sen x (e) cos senx x 13) C 21 VII. Operações com Somas e Subtrações Para o aprofundamento do estudo de trigonometria, faz-se necessário o desenvolvimento de novas relações que envolvam seno, cosseno e tangentes de soma e subtração de ângulos. A necessidade desses desenvolvimentos se dá, principalmente, quando estudamos equações que envolvem termos trigonométricos. A partir de agora estaremos colocando uma série de demonstrações e vamos utilizar alguns conceitos de geometria analítica. Acompanhe o raciocínio abaixo: Vamos achar a expressão de cada ponto do desenho acima. 1 2 3 4 (cos( ),sen( )) (1,0) (cos ,sen ) (cos( ),sen( )) P P P P β β α α α β α β − − + + Como sabemos que, numa circunferência, ângulos iguais subentendem arcos iguais, temos: 2 4 1 3P P PP= Assim: 1 3 2 2 2( ) (cos cos ) ( sen sen )P Pd β α β α= − + − − = = 2 2sen sen 2cos cosα β α β+ − 2 4 2 2 2( ) (1 cos( )) (0 sen( ))P Pd α β α β= − + + − + = 2 2cos( )α β= − + 2)( 42PP d = ⇒2)( 31PP d )cos(22 βα +− = βαβα coscos2sensen22 −+ assim chegamos que: βαβαβα sensencoscos)cos( −=+ Para calcular )cos( βα − basta substituir β por )( β− e utilizar a paridade das funções seno e cosseno. Logo chegamos que: βαβαβα sensencoscos)cos( +=− Sabendo que sen( )α β+ = cos ( ) 2 π α β − + =    = cos 2 π α β  − −      aplicamos a formula acima,já demonstrada. Veja que: cos cos cos 2 2 senα π πα β α β    − − = − +          64748 cos 2 sen sen β π α β + − =   14243 cos cossen senα β β α+ . Assim: αββαβα cossencossen)sen( +=+ Para calcular ( )sen α β− basta substituir β por )( β− e utilizar a paridade das funções seno e cosseno. Logo chegamos que: αββαβα cossencossen)sen( −=− Vamos calcular )( batg + : 22 = + + =+ )cos( )sen()( βα βαbatg sen cos sen cos . cos cos sen sen α β β α α β α β + − Dividindo toda a fração pelo produto cos cosα β , temos: ( )tg a b+ = sen cos sen cos cos cos cos cos cos cos sen sen cos cos cos cos α β β α α β α β α β α β α β α β + = − . 1 tg tg tg tg α β α β + = − Assim, tgatgb tgbtgabatg − + =+ 1 )( Para calcular ( )tg α β− basta substituir β por )( β− e utilizar a paridade das funções seno e cosseno. Logo chegamos que: ( ) 1 tga tgbtg a b tgatgb − − = + Utilizando as fórmulas demostradas acima, vamos calcular alguns resultados muito importantes que nos pouparão tempo em resolução de determinadas questões: a)sen(2 ) ( ) sen cos cosx sen x x x x senx x= + = + = sen(2 ) 2 cosx senx x= b) cos(2 ) cos( ) .cos .x x x cox x senx senx= + = − = 2 2cos(2 ) cosx x sen x= − Da relação fundamental temos que: 2 2cos 1 senx x= − . Substituindo na expressão acima temos uma segunda maneira de escrever o cos(2 )x . 2cos(2 ) 1 2x sen x= − Podemos ainda substituir na expressão acima a relação fundamental 2 2sen 1 cosx x= − . Com essa substituição chegamos em uma terceira maneira de escrever o cos(2 )x . 2cos(2 ) 2cos 1x x= − c) (2 ) ( ) 1 . tgx tgxtg x tg x x tgx tgx + = + = = − 2 2(2 ) 1 tgxtg x tg x = − Desenvolvendo as expressões do cos(2 )x , demonstradas acima, chegamos nas seguintes relações: 2 )2cos(1sen 2 xx −= 2 )2cos(1cos2 xx += No capítulo que envolve a resolução de equações trigonométricas, veremos a necessidade de se ter expressões de seno, cosseno e tangente em função de uma única linha trigonométrica. Vamos então expressar tgxexx cos,sen em função de       2 xtg : a) sen 2sen cos 2 2 x xx    =         . Vamos multiplicar e ao mesmo tempo dividir essa equação por 2sec 2 x      . 25 (j) 2 3+ (l) 2 3− (m) 2 1− 2)(a) 4 2 3 m≤ ≤ (b) 0 2m≤ ≤ 3) C 4)D Nível II 01) C 02) C 03) A 04) D 05) C 06) C 07) C 08) B 09) A 10) S = { (0, 0), (0, π), (π, 0), (π,π), (π/2, π/2) } 11) E 12) D 13) a) 3/2; b) 1 14) y = 1 − 2m2; z = 1 − 3m2 15) VIII. Transformações VIII.1 – Transformação de soma de senos em produto; Nessa seção vamos ver como fazer transformações que simplificam muitos problemas no momento em que aparece soma de senos. Muitas vezes transformar essas somas em produtos simplifica as coisas. sen sen ?a b+ = Vamos chamar a p q= + e b p q= − . Resolvendo o sistema abaixo temos: a p q b p q = +  = − 2 2 a b a bp e q+ −⇒ = = sen( ) sen( )p q p q+ + − = (sen cos sen cosp q q p+ ) (sen cos sen cosp q q p+ − ) = 2sen cosp q . Como 22 baqebap −=+= , ao substituir na expressão acima chegamos à: ). 2 cos() 2 sen(2sensen bababa −+=+ VIII.2 – Transformação de diferença de senos em produto; No caso da diferença de senos temos: sen( ) sen( )p q p q+ − − = ( sen cosp q cos )senq p+ ( sen cosp q− cos )senq p− = 2sen cosq p Como 22 baqebap −=+= , ao substituir na expressão acima chegamos à: ) 2 cos() 2 sen(2sensen bababa +−=− VIII.3 – Transformação de soma de cossenos em produto; cos cos ?a b+ = Vamos chamar a p q= + e b p q= − . Resolvendo o sistema abaixo temos: a p q b p q = +  = − 2 2 a b a bp e q+ −⇒ = = cos( ) cos( )p q p q+ + − = (cos cos sen senp q q p− ) (cos cos sen senp q q p+ + ) = 2cos cosp q . Como 22 baqebap −=+= , ao substituir na expressão acima chegamos à: ) 2 cos() 2 cos(2coscos bababa −+=+ VIII.4 – Transformação de diferença de cossenos em produto; Queremos: cos cos ?a b− = Vamos chamar a p q= + e b p q= − . Resolvendo o sistema abaixo temos: a p q b p q = +  = − 2 2 a b a bp e q+ −⇒ = = cos( ) cos( )p q p q+ − − = ( cos cosp q sen sen )q p− ( cos cosp q− sen sen )q p+ = 2sen senq p− . 26 Como 22 baqebap −=+= , ao substituir na expressão acima chegamos à: ) 2 sen() 2 sen(2coscos bababa −+−=− VIII.4 – Fazendo o processo inverso; Muitas vezes temos que fazer o processo inverso, ou seja, transformar produtos de linhas trigonométricas em somas ou diferenças. A técnica para esse processo é semelhante à usada acima. Vamos chamar a p q e b p q= + = − . Resolvendo esse sistema, temos que: . : 2 2 a b a bp e q OBS p q+ −= = > . Fazendo a substituição na formula da soma de senos, temos: ( )1sen cos sen( ) sen( ) 2 p q p q p q= + + − Adotando o mesmo raciocínio, temos as expressões abaixo: ( ))sen()sen( 2 1cossen qpqppq −−+= ( ))cos()cos( 2 1coscos qpqpqp −++= ( )1sen sen cos( ) cos( ) 2 p q p q p q= − + − − Nível I 1-) Calcule xsen4 em função de xsen2 e cos 2x. 2-) Calcular xsen3 em função de senx e xcos . 3-) Calcule cos 4x em função de xsen2 e cos 2x. 4-) Calcule tg6x em função de tg3x. 5-) Calcule sen(6A) em função de sen(3A) e cos(3A). 6-) Transforme em produto as expressões: a) xsenxsen 35 + b) xsenxsen 73 + c) xsenxsen 35 − d) xsenxsen 28 − e) xx 11cos7cos + f) xx 3coscos + g) xx 2cos4cos − g’) xx 5cos9cos − h) x2cos 4 cos −     π i)      − 4 5cos4cos πx j)       ++ 2 24cos πxsenx k)      + 2 8cos πsenx l)       +− 2 35cos πxsenx m) xsenx 59cos + n)       ++      − 6 7 6 3 ππ xsenxsen o)       ++      − 6 7cos 6 3cos ππ xx p)       +−      − 6 7 6 3 ππ xsenxsen q)       +−      − 6 7cos 6 3cos ππ xx 7-) Calcule xsen2 em função de       2 xtg . 8-) Calcule x2cos em função de       2 xtg . 9-) Calcule xtg2 em função de       2 xtg . 10-) Calcule x2sec em função de       2 xtg . 11-) Calcule gxcot em função de       2 xtg . 12-) Calcule xsen4 em função de tgx . 27 13-) Calcule x4cos em função de tgx . 14-) Simplifique as expressões abaixo: a) xsenxsen xx 53 5cos3cos + − b) xsenxsen xx 62 cos7cos + − c) senxxsen xx − + 9 6cos4cos d) senxxsen xx − + 7 6cos2cos e) )2( 6cos4cos xsen xx + f)       − 2 5cos2 6cos4cos x xx g)       − 2 ).4( 7cos9cos xsenxsen xx h) senxxsen xxsen −       9 2 5cos)2(4 15-) Faça o processo inverso, ou seja, transforme os produtos em soma ou diferenças. a) ( ) ( )xxsen 3cos42 b) ( ) ( )xx 3cos4cos c) ( ) ( )xsenxsen 25 d) ( ) ( )xsenxsen 2 e) ( ) ( )xxsen 5cos f) ( ) ( )xsenx 35cos g)       −      + 2 2 2 3 ππ xsenxsen h)       +      − 2 5cos 2 2 ππ xxsen i)       −      − 6 4cos 3 cos ππ xx j)       +      − 3 6 6 52 ππ xsenxsen 16-) Calcule xsen3 em função de senx apenas. 17-) Calcule xtg3 em função de tgx apenas. 18-) Calcule xtg4 em função de tgx apenas. Nível II 1) (FEI-94) Transformando a expressão: (sen a + sen b)/(cos a + cos b), onde existir, temos: a) sen (a + b) b) 1/cos(a + b) c) cotg[(a + b)/2] d) tg[(a + b)/2] e) 1/sen(a + b) 2) Se a – b = π/2, determinar o valor de ba bay coscos sensen + − = : a) 2 b) 1 c) 0 d) - 1 e) - 2 3) (FEI) A expressão y = sen x + cos x pode ser escrita na forma y = k. cos(x - π/4). Determine o coeficiente k. a) 2− b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 4) (FUVEST-96) Os números reais sen (π/12), sen a, sen (5π/12) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então o valor de sen a é: a) 4 1 b) 6 3 c) 4 2 d) 4 6 e) 2 3 5) (FGV-94) Reduza à expressão mais simples possível: a) (cos 15° + sen 15°)2; b) o oo 20cos 10sen10cos 44 − 6) Calcule o valor numérico das expressões: a) A = sen 12 11π .sen 12 13π b) B = cos 8 7π .cos 8 π 7) Prove que: 16 sen 10o. sen 30o. sen 50o. sen 70o = 1. GABARITO Nível I 1) 2 (2 )cos(2 )sen x x 2) 2 33 cossenx x sen x− 3) 2 2cos (2 ) (2 )x sen x− 4) 2 2 3 1 3 tg x tg x− 5) 2 (3 )cos(3 )sen A A 6)(a) 2 (4 )cos( )sen x x (b) 2 (5 )cos(2 )sen x x (c) 2 ( ) cos(4 )sen x x (d) 2 (3 )cos(5 )sen x x (e) 2cos(2 )cos(9 )x x (f) 2cos(2 )cos( )x x (g) 2 (3 ) ( )sen x sen x− (g’) 2 (7 ) (2 )sen x sen x− (h) 8 82 8 8 x xsen senπ π+ −   −         30 2 3 2 3 x k k x k π π π π  = + ∈  = − +  2-) Resolver as equações trigonométricas. Todas essas são do tipo cosα =cosβ: Resumo: ⇒= βα coscos    +−= += πβα πβα k k 2 2 a) 1cos −=x b) 2 3cos =x c) 2 2cos =x d) 0coscos 2 =+ xx e) xxsen cos12 += f) 02cos32cos =++ xx g) 8sec3cos4 =+ xx h) xxxsen 2cos5cos62 2 +=+ i) xx coscos2 2 = j) 0cos3cos =− xx k) 0 cos 3434 22 =      −      − xxsen l)       += 3 cos5cos πxx m) 3642 =++ xsenxsenxsen n) 2 44 =      −−      + ππ xsenxsen o)    =+ =+ 2log tsenysenx yx π ache os valores de t para que o sistema tenha solução. IX.3 – Equação do tipo tgα = tgβ; Nosso objetivo aqui é descobrir que relações devem existir entre α e β, para que os suas tangentes sejam iguais. Para isso ser possível, temos que conhecer β (é dado) e tentar expressar α como função de β. Chamamos de β o ângulo AÔB e de α o ângulo BÔD. Veja que α e β são os únicos ângulos, dentro de uma volta na circunferência, que possuem esse valor (EC) de tangente. Da figura, temos que os ângulos AÔB e FÔD são opostos pelo vértice, logo são iguais. Assim, dizemos que α = β + 180º satisfaz essa equação. Logo vemos que uma solução para a equação é α = β é outra solução é α = β + 180º. Certamente que existem infinitas soluções, que serão todos os ângulos côngruos de β e β + 180º. Veja: Se o ângulo está na posição do ponto A ele é solução. Se está na posição do ponto D esse também é solução. Caso o ângulo esteja no ponto A, se a ele for somado π, chega-se no ponto D, se for somado mais π, volta-se para o ponto A. Isso resulta em um ciclo e para chegar a qualquer solução, basta acrescentar qualquer múltiplo de π ao ângulo β. Logo qualquer solução dessa equação pode ser escrita como: ,k com kα β π= + ∈ 3-) Resolver as equações trigonométricas. Todas essas são do tipo tgα = tgβ: Resumo: ⇒= βα tgtg    ++= += πβπα πβα k k 2 2 a) 1=tgx b) 03 =xtg c) 3−=tgx d) xtgxtg 35 = e) tgxx +=1sec 2 f) 2cot =+ gxtgx g) xxsen 22 cos= h) 0cos3 =− xsenx i) gxx cot1seccos 2 −= j)       +=      + 4 .2cos 4 cos.2 ππ xsenxxxsen Resumo teórico ( ) asenbbsenabasen coscos ±=± (I) ( ) senbsenababa mcoscoscos =± (II)             ±=± 2 cos 2 2 yxyx sensenysenx m (III)       −       +=+ 2 cos 2 cos2coscos yxyxyx (IV)       −       +−=− 22 2coscos yxsenyxsenyx (V)      +       = 2 1 2 2 2 xtg xtg senx (VI) 31      +      − = 2 1 2 1 cos 2 2 xtg xtg x (VII) 2 2cos12 xxsen −= (VIII) 2 2cos1cos2 xx += (IX) 2 21cos 2 44 xsenxxsen −≡+ (X) 4 231cos 2 66 xsenxxsen −≡+ (XI) 4-) Resolver as equações trigonométricas. Aqui você vai ter que desenvolver a sua própria técnica, até cair em uma daquelas do tipo que vimos. i) Algumas equações clássicas: cxbsenxa =+ cos.. a, b, c ε R. Resolvo o sistema:    =+ =+ 1cos cos.. 22 xxsen cxbsenxa , acho o valor do senx e do cosx. Pronto agora tenho duas equações que sei resolver: msenx = e nx =cos . ii) Outra técnica importante é: substituir senx por (VI) e cosx por (VII) e teremos uma equação do 2ª grau em       2 xtg . a) 14cos4 =+ xxsen b) 3cos.3 −=− xsenx c) 1cos =+ xsenx d) 1cos −=+ xsenx iii) equações do tipo ∑ = 0)(xsenf i ou ∑ = 0)(cos xfi , passamos a soma para produto e analisamos o anulamento de cada fator do produto. a) 057 =+ xsenxsen b) 0=+ senbxsenax a, b ε R\{0} c) 02cos6cos =+ xx d) 0coscos =+ bxax a, b ε R\{0} e)       += 4 cos2 πxxsex f) xsensenxxsen 325 =+ g) 0)23cos()2cos(cos =++++ axaxx h) 0643 =+++ xsenxsenxsensenx i) 1)(cos)(cos 22 =−++ axax j) 12cos3 =−+ senxxxsen k) 01coscos =+++ xsenxxsenx l)    =+ =−++ 2cos 2)()( ysenx yxsenyxsen iv) Equações do tipo axxsen =+ 44 cos , aplicamos a relação (X) e antes de resolver verificamos se a obedece a relação: 1 2 1 ≤≤ a . v) Equações do tipo axxsen =+ 66 cos , aplicamos a relação (XI) e antes de resolver verificamos se a obedece a relação: 1 4 1 ≤≤ a . a) 8 5cos66 =+ xxsen b) 16 7 2 cos 2 66 =+ xxsen c) 2 1cos44 =+ xxsen d) 8 5cos44 =+ xxsen e) 1cos33 =+ xxsen Quaisquer Equações: a) 0 2530 4cos5 = + −+ xsen xxsensenx , π20 ≤≤ x b)Discuta, segundo m, as equações: b.1) msenxmxm =+− ).1(cos b.2) mxsenx =+ cos c) )3(2)2( atgatgtga =+ , a ε [0,π/2). GABARITO 1-) Resolver as equações trigonométricas. Todas essas são do tipo: senα = senβ: a)       +=ℜ∈= ππ kxxS 2 2 3| b)       +=+=ℜ∈= ππππ kxoukxxS 2 3 22 3 | c)       +=+=ℜ∈= ππππ kxoukxxS 2 4 32 4 | n)       +==ℜ∈= 48 | πππ kxoukxxS d)       +==ℜ∈= πππ kxoukxxS 2 2 | j)       +=+=ℜ∈= ππππ kxoukxxS 2 12 5 12 | e)       +=+=+=ℜ∈= ππππππ kxoukxoukxxS 2 6 52 6 2 2 | f)       +=+ − =+=ℜ∈= ππππππ kxoukxoukxxS 2 6 72 6 2 2 | g)       + ± =ℜ∈= ππ kxxS 2 3 | h)       +=+ − =+=ℜ∈= ππππππ kxoukxoukxxS 2 6 72 6 2 2 | i)       +=+=ℜ∈= ππππ kxoukxxS 2 6 52 6 | 32 k)       +=+=ℜ∈= 3 2 123 2 4 | ππππ kxoukxxS l)       +==ℜ∈= 3 2 3 2| πππ kxoukxxS m)       +=+=ℜ∈= ππππ kxoukxxS 22 3 2| o)       +=+=ℜ∈= ππππ kxoukxxS 2 6 52 6 | p)       + − =+=ℜ∈= 2222 |, ππππ kyoukxyxS 2-) Resolver as equações trigonométricas. Todas essas são do tipo: cosα =cosβ: a) { }ππ kxxS 2| +=ℜ∈= b)       + ± =ℜ∈= ππ kxxS 2 6 | c)       + ± =ℜ∈= ππ kxxS 2 4 | d)       +=+=ℜ∈= ππππ kxoukxxS 2 2| e)       +=+=ℜ∈= ππππ kxoukxxS 2 2| f)       +=+ ± =ℜ∈= ππππ kxoukxxS 22 3 2| g)       + ± =ℜ∈= ππ kxxS 2 3 | h)       =+ ± =ℜ∈= πππ kxoukxxS 22 3 | i)       +=+ ± =ℜ∈= ππππ kxoukxxS 2 2 3 | j)       ==ℜ∈= 2 | ππ kxoukxxS k)       + ± ==+ ± =ℜ∈= ππππ kxxoukxxS 2 3 2 3 2| l)       + − ==+=ℜ∈= 318212 | ππππ kxxoukxxS m)       +ℜ∈= 2 )12( | πk xS n) { }πkxS 2|ℜ∈= o) 101,0 ≤< t 3-) Resolver as equações trigonométricas. Todas essas são do tipo tgα = tgβ: a)       +=ℜ∈= 4 | ππkxxS b)       =ℜ∈= 3 2| πkxxS c)       +=ℜ∈= ππ kxxS 3 2| d)       =ℜ∈= parkkxxS , 2 | π e)       =+=ℜ∈= πππ kxoukxxS 4 | f)       +=ℜ∈= 4 | ππkxxS g)       +=+=ℜ∈= 4 3 4 | ππππ kxoukxxS h)       +=ℜ∈= 3 | ππkxxS i)       +=+=ℜ∈= 4 3 2 | ππππ kxoukxxS j)       +=ℜ∈= 4 | ππkxxS 4-) (i) e (ii) a)       +==ℜ∈= 282 | πππ kxoukxxS b)       +=+=ℜ∈= 2 32 6 112| ππππ kxoukxxS c)       =+=ℜ∈= πππ kxoukxxS 2 | d)       +=+=ℜ∈= ππππ kxoukxxS 2 2 32| (iii) a)       +==ℜ∈= 26 | πππ kxoukxxS b)       − + − = + =ℜ∈= baba kxou ba kxxS πππ 22| c)       +=+=ℜ∈= 4824 | ππππ kxoukxxS d)       − − − = + + + =ℜ∈= baba kxou ba k ba xxS ππππ 22| e)       +=+=ℜ∈= ππππ kxoukxxS 2 4 3 3 2 12 | f)       ==ℜ∈= ππ kxoukxxS 3 |