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CÁLCULO 1 CURSO DE FÍSICA 2008

Texto para utilização na disciplina Cálculo 1 do Curso de Física à distância.

Sumário

Ao leitor 61 Introdução 63 1 Breve História do Cálculo 65

2.1 Funções68
2.1.1 Exercícios72

2 Funções – a base para o Cálculo 68

3.1 Sobre Taxa de Variação73
3.1.1 Taxa de variação média73
3.1.2 Exercícios75
3.1.3 Taxa de Variação Instantânea76
3.2 Limite de uma função em um ponto7
3.2.1 Propriedades do Limite83
3.2.2 Assíntotas85
3.2.3 Exercícios89

3 Limite e continuidade 73

4.1 A função derivada92
4.1.1 Exercícios93
4.2 Regras de Derivação94
4.2.1 Grupo I – Operações com funções95
4.2.2 Exercícios97
4.2.3 Grupo I – A Derivada da Função Composta (A regra da cadeia)98
4.2.4 O cálculo da derivada da função inversa102
4.2.5 Exercícios103
4.3 Derivação implícita104
4.3.1 Exercícios107
4.4 Estudo da variação das funções109
4.4.1 Máximos e Mínimos Locais e Absolutos109
4.4.2 Exercícios112
4.4.3 Obtenção do gráfico de funções114
4.4.4 Exercícios120

4 A Função Derivada e Regras de Derivação 92

5.1 Primitivas, Equações Diferenciais e Modelagem124
5.1.1 Exercícios125
5.2 Técnicas de integração127
5.2.1 Integrais por substituição127
5.2.2 Exercícios133
5.3 Teorema Fundamental do Cálculo134
5.3.1 Exercícios139
5.4 Integrais definidas e suas técnicas140
1.1 Cálculo da área do círculo por aproximação65
1.2 Aproximação da área sob a parábola por falta (a) ou por excesso (b)6
em dois6
2.1 Exemplo 2.1 – Modelo para a construção da caixa69
2.2 Exemplo 2.1 – Gráfico da função V(x)69
(R))70
2.4 Exemplo 2.5 – Modelo para a cerca feita com arame70
2.5 Representação gráfica da reta r determinada pelos pontos A e B71
3.1 Representação gráfica da reta dada pelos pontos que se aproximam de A74
para x = 37
regulares78

Lista de Figuras 1.3 Cálculo das velocidades médias com intervalos cada vez menores iniciando 2.3 Exemplo 2.4 – Esboço do rio com o centro de distribuição (C) e o residencial 3.2 Exemplo 3.4 – Representação gráfica das retas secante (taxa de variação média) e tangente (taxa de variação instantânea) ao gráfico da função y = x2 3.3 Exemplo 3.5 – Cálculo da área do círculo por aproximações via polígonos

x−2 , x 6= 278
3.5 Exemplo 3.7 – Gráfico da função h(x)79
3.6 Exemplo 3.8 – Gráfico da função y = f(x) = 1/x80
3.7 Gráficos das funções f(x) = sen(x) e g(x) = x81

3.8 Cálculo do limite de sen(x)

, via Comparação de áreas82
3.9 Gráficos das funções y = f(x) e y = g(x)85
3.10 Gráfico da hipérbole y = 1/x. Os eixos são assíntotas desse gráfico86
2x e suas assíntotas87
x2+1 e sua assíntota87
x2 + 1 e suas assíntotas89
4.1 Exemplo 4.10 – Funções dadas na forma implícita e explícita104
4.2 Exemplo 4.12 – Gráfico de x3 + y3 = 6xy dada na forma implícita106
4.3 Exemplo 4.13 – Escada se deslocando107
4.4 Reta tangente ao gráfico da função y = f(x)109
inclinação é zero e para pi/2 < ϕ < pi, a inclinação é negativa110

3.13 Gráfico da função f(x) = √ 4.5 Posições da reta tangente ao gráfico da função y = f(x). Observe que para 0 < θ < pi/2 a inclinação é positiva (tg(θ) > 0), reta tangente horizontal, a

de pontos que não são nem máximos e nem mínimos (n)110
nem de mínimo112
4.8 Gráfico de f ′(x) = 3x2 + 2x − 2115
4.9 Gráfico de f (x) = x3 + x2 − 2x116

4.6 Pontos de máximos (M1, M2 e M3) e mínimos (m1, m2 e m3) locais, e ainda 4.7 Para a função cúbica y = x3, a origem não é nem um ponto de máximo e

x3117
x2118
4.12 Exemplo 4.18 – Procedimento para construção de uma caixa120
5.2 Gráfico da função área134
intervalo [1, 3]136

Caro leitor,

Esse texto foi elaborado para servir de suporte à disciplina Cálculo 1, em nível universitário, mais especificamente para o curso de Física à distância promovido pela Universidade Federal de Goiás e com a participação das Universidades Estadual de Goiás e Católica de Goiás.

Nesse texto, minimizamos ao máximo a formalidade para esse curso de Cálculo e o escrevemos com uma linguagem que acreditamos, seja dialógica e de fácil compreensão. Esperamos motivar através de situações–problema, que em geral são originadas dos problemas físicos ou mesmo do nosso dia–a–dia, os novos resultados aqui apresentados. Esperamos, ainda, que as suas respectivas demonstrações ou justificativas, estejam à altura da experiência e maturidade do estudante.

Apresentamos antes de cada novo resultado, que formalmente são chamados de teoremas ou proposições, vários exemplos que motivam e ilustram com aplicações a utilização dos mesmos, com o objetivo principal de ativar a intuição e provocar a compreensão de forma natural.

Apresentamos também, várias listas com exercícios variados, que complementam e ampliam o conhecimento descrito no texto. Assim, esperamos que você, estudante, leia com bastante atenção não somente este texto, mas, principalmente, na elaboração de resoluções dos exercícios propostos e, se possível, propor novas situações a serem resolvidas com a utilização dos conceitos vistos.

É muito importante que o estudante se aplique tanto na pesquisa em outros materiais, como em livros, artigos e publicações disponibilizadas via internet ou quaisquer outros meios que tiverem acesso, nunca se esquecendo de que, embora seja um curso à distância, você tem a possibilidade, e quem sabe, a necessidade de trocar informações a cerca de estudos com colegas e/ou orientadores. Isto pode e deve ser feito sempre, pois o trabalho sendo realizado em equipe tem maiores possibilidades de sucesso.

Apresentamos a seguir uma breve descrição de vida acadêmica e profissional dos autores, que também produziram o texto intitulado "Fundamentos de Matemática"para esse mesmo curso de graduação à distância.

Miguel Antônio de Camargo defende sempre o ensino significativo como forma de motivação para o aprendizado "de fato"!

Licenciado em matemática pela UCG - Goiânia, Mestre em matemática pela UFG. Professor do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal de Goiás (IME/UFG), desde 1980, tendo participando de uma extensa gama de eventos relacionados à matemática e ao ensino dela em diversas universidades e faculdades de nosso Estado.

Tem dedicado grande parte de seu trabalho ao Curso de Licenciatura em Matemática e outra boa parte atua em cursos de formação (continuada) de professores, inclusive cursos à distância, como, atualmente, o de Licenciatura em Física e recentemente ao MulticursoMatemáticaEnsino Médio,promovidopelogovernodeGoiásemparceria com a Fundação Roberto Marinho (RJ) e anteriormente ao Pró-Ciências, realizado pela UFG com o apoio da CAPES.

João Carlos da Rocha Medrado define-se como um apaixonado pelo ensino de matemática e um entusiasta pelo ensino à distância!

É professor Associado do IME/UFG, onde trabalha desde 1989, Doutor em Matemática pela Unicamp (1997) e Livre Docente pela Unesp (2007). Pesquisa em Sistemas Dinâmicos.

Atua na formação e capacitação de docentes desde 1987 através de vários projetos, sendo os principais, o Pró–Ciências, apoiado pela CAPES e o Multicurso Matemática apoiado pela Secretaria da Educação de Goiás e Fundação Roberto Marinho.

Os autores.

Introdução

Neste texto apresentaremos os conteúdos da disciplina Cálculo 1 para o Curso de Física à distância. Basicamente, discorreremos sobre:

1. História. 2. Funções. 3. Limite e continuidade. 4. Derivação. 5. Integração.

O cálculo, uma das mais importantes descobertas científicas conquistadas pelo homem em todos os tempos, é a matemática dos movimentos. Onde há movimento ou variações de grandezas, onde forças variáveis atuam produzindo aceleração, o cálculo é a ferramenta matemática a ser empregada para seu desenvolvimento e análise.

Aprender Cálculo é, de certa forma, diferente de aprender, por exemplo, a Geometria, a Álgebra ou a Aritmética. Para essas disciplinas, de início, aprende-se a lidar com as figuras, sejam planas ou espaciais, a operar com variáveis e simplificar expressões, também se aprende a calcular com números.

Em cálculo, aprende-se tudo isso, e novos conceitos, novas habilidades, em níveis mais avançados, tornam-se necessários os conceitos de derivada e de integral, bem como suas importantíssimas e abrangentes aplicações, além dos métodos computacionais desses objetos. Para aprendê-lo você terá que fazê-lo, na maioria das vezes sozinho ou com a participação de colegas.

Para o aprendizado é importante:

• ler os conceitos e suas conseqüências; • analisar e aprimorar tanto a lógica formal como a intuitiva;

• analisar exemplos já desenvolvidos, os mais diversos possíveis, buscando sempre entender cada passo;

• esboçar figuras e gráficos que representem cada situação, sempre que possível.

Além disso, é extremamente importante analisar o significado de cada conceito, de cada resultado dado, de cada exemplo desenvolvido, de cada exercício proposto e de cada aplicação feita.

Sugerimos fortemente ao leitor que não se restrinja a apenas este texto e neste sentido, disponibilizamos na bibliografia uma série de livros que poderão ser utilizados ao longo deste aprendizado.

Teremos a seguir 5 capítulos:

Capítulo 1: Breve História do Cálculo

Neste capítulo, apresentamos um pouco da história do Cálculo ao longo do tempo, mostrando, principalmente, que o seu desenvolvimento deveu-se, estritamente, à necessidade humana;

Capítulo 2: Funções – a base para o Cálculo

Exploraremos os comportamentos das funções, seus gráficos e aplicações, mas é importante lembrar que funções são estudadas desde o início até o final deste texto. No texto Fundamentos de Matemática temos um bom estudo sobre funções e a sua leitura é importante para o bom entendimento do Cálculo.

Capítulo 3: Limite e Continuidade

Neste capítulo, abordamos elementos importantíssimos no desenvolvimento do Cálculo.

Capítulo 4: Derivação

Para o entendimento do comportamento das funções, tanto dos seus gráficos como de seus elementos principais, a derivada sempre apresenta informações necessárias.

Capítulo 5: Integração

Desde o tempo dos gregos, o cálculo de áreas tem papel importante no desenvolvimento humando, e a integração dentre as suas diversas características é um elemento importante nesse aspecto.

É necessário termos várias formas de encarar os problemas, pois com uma visão ampla será mais fácil o entendimento, bem como resolvê-los. Então, vamos deixar o olhar aguçado, a criatividade solta e a vontade a mil, para que possamos chegar ao final deste, com um ótimo aproveitamento, não apenas na disciplina, mas principalmente para a vida.

Capítulo 1 Breve História do Cálculo

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