livro de calculo, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática Computacional

Baixe livro de calculo e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Matemática Computacional, somente na Docsity! CÁLCULO 1 CURSO DE FÍSICA 2008 JOÃO CARLOS DA ROCHA MEDRADO MIGUEL ANTÔNIO DE CAMARGO Texto para utilização na disciplina Cálculo 1 do Curso de Física à distância. Goiânia 2008 Sumário Ao leitor 61 Introdução 63 1 Breve História do Cálculo 65 2 Funções – a base para o Cálculo 68 2.1 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3 Limite e continuidade 73 3.1 Sobre Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.1 Taxa de variação média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.1.3 Taxa de Variação Instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.2 Limite de uma função em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2.1 Propriedades do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.2.2 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4 A Função Derivada e Regras de Derivação 92 4.1 A função derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2.1 Grupo I – Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.2.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.3 Grupo II – A Derivada da Função Composta (A regra da cadeia) . . . 98 4.2.4 O cálculo da derivada da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3 Derivação implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.3.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4 Estudo da variação das funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.4.1 Máximos e Mínimos Locais e Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.4.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.4.3 Obtenção do gráfico de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.4.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5 Integração 123 5.1 Primitivas, Equações Diferenciais e Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.2 Técnicas de integração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.2.1 Integrais por substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.2.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.3 Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.3.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.4 Integrais definidas e suas técnicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.4.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Caro leitor, Esse texto foi elaborado para servir de suporte à disciplina Cálculo 1, em nível universitário, mais especificamente para o curso de Física à distância promovido pela Universidade Federal de Goiás e com a participação das Universidades Estadual de Goiás e Católica de Goiás. Nesse texto, minimizamos ao máximo a formalidade para esse curso de Cálculo e o escrevemos com uma linguagem que acreditamos, seja dialógica e de fácil compreensão. Esperamos motivar através de situações–problema, que em geral são originadas dos problemas físicos ou mesmo do nosso dia–a–dia, os novos resultados aqui apresentados. Esperamos, ainda, que as suas respectivas de- monstrações ou justificativas, estejam à altura da experiência e maturidade do estudante. Apresentamos antes de cada novo resultado, que formalmente são chamados de teoremas ou pro- posições, vários exemplos que motivam e ilustram com aplicações a utilização dos mesmos, com o objetivo principal de ativar a intuição e provocar a compreensão de forma natural. Apresentamos também, várias listas com exercícios variados, que complementam e ampliam o conhecimento descrito no texto. Assim, esperamos que você, estudante, leia com bastante atenção não somente este texto, mas, principalmente, na elaboração de resoluções dos exercícios propostos e, se possível, propor novas situações a serem resolvidas com a utilização dos conceitos vistos. É muito importante que o estudante se aplique tanto na pesquisa em outros materiais, como em livros, artigos e publicações disponibilizadas via internet ou quaisquer outros meios que tiverem acesso, nunca se esquecendo de que, embora seja um curso à distância, você tem a possibilidade, e quem sabe, a necessidade de trocar informações a cerca de estudos com colegas e/ou orientadores. Isto pode e deve ser feito sempre, pois o trabalho sendo realizado em equipe tem maiores possibilidades de sucesso. Apresentamos a seguir uma breve descrição de vida acadêmica e profissional dos autores, que também produziram o texto intitulado "Fundamentos de Matemática"para esse mesmo curso de graduação à distância. Miguel Antônio de Camargo defende sempre o ensino significativo como forma de motivação para o aprendizado "de fato"! Licenciado em matemática pela UCG - Goiânia, Mestre em matemática pela UFG. Professor do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal de Goiás (IME/UFG), desde 1980, tendo participando de uma extensa gama de eventos rela- cionados à matemática e ao ensino dela em diversas universidades e faculdades de nosso Estado. Tem dedicado grande parte de seu trabalho ao Curso de Licenciatura em Matemática e outra boa parte atua em cursos de formação (continuada) de professores, inclusive cursos à distância, como, atualmente, o de Licenciatura em Física e recentemente ao Multicurso Matemática Ensino Médio, promovido pelo governo de Goiás em parceria com a Fundação Roberto Marinho (RJ) e anteriormente ao Pró-Ciências, realizado pela UFG com o apoio da CAPES. João Carlos da Rocha Medrado define-se como um apaixonado pelo ensino de matemática e um entusiasta pelo ensino à distância! É professor Associado do IME/UFG, onde trabalha desde 1989, Doutor em Matemá- tica pela Unicamp (1997) e Livre Docente pela Unesp (2007). Pesquisa em Sistemas Dinâmicos. Atua na formação e capacitação de docentes desde 1987 através de vários projetos, sendo os principais, o Pró–Ciências, apoiado pela CAPES e o Multicurso Matemática apoiado pela Secretaria da Educação de Goiás e Fundação Roberto Marinho. Os autores. Introdução Neste texto apresentaremos os conteúdos da disciplina Cálculo 1 para o Curso de Física à distância. Basicamente, discorreremos sobre: 1. História. 2. Funções. 3. Limite e continuidade. 4. Derivação. 5. Integração. O cálculo, uma das mais importantes descobertas científicas conquistadas pelo homem em todos os tempos, é a matemática dos movimentos. Onde há movimento ou variações de grandezas, onde forças variáveis atuam produzindo aceleração, o cálculo é a ferramenta matemática a ser empregada para seu desenvolvimento e análise. Aprender Cálculo é, de certa forma, diferente de aprender, por exemplo, a Geometria, a Álgebra ou a Aritmética. Para essas disciplinas, de início, aprende-se a lidar com as figuras, sejam planas ou espaciais, a operar com variáveis e simplificar expressões, também se aprende a calcular com números. Em cálculo, aprende-se tudo isso, e novos conceitos, novas habilidades, em níveis mais avançados, tornam-se necessários os conceitos de derivada e de integral, bem como suas importantíssimas e abrangentes aplicações, além dos métodos computacionais desses ob- jetos. Para aprendê-lo você terá que fazê-lo, na maioria das vezes sozinho ou com a parti- cipação de colegas. Para o aprendizado é importante: • ler os conceitos e suas conseqüências; • analisar e aprimorar tanto a lógica formal como a intuitiva; • analisar exemplos já desenvolvidos, os mais diversos possíveis, buscando sempre entender cada passo; • esboçar figuras e gráficos que representem cada situação, sempre que possível. Além disso, é extremamente importante analisar o significado de cada conceito, de cada resultado dado, de cada exemplo desenvolvido, de cada exercício proposto e de cada apli- cação feita. Sugerimos fortemente ao leitor que não se restrinja a apenas este texto e neste sentido, disponibilizamos na bibliografia uma série de livros que poderão ser utilizados ao longo deste aprendizado. Teremos a seguir 5 capítulos: tivamente. Ilustramos esse procedimento na Figura 1.2. Claramente, a área será melhor aproximada conforme a largura dos retângulos seja cada vez menor. xx yy y = x2y = x2 (a) (b) Figura 1.2: Aproximação da área sob a parábola por falta (a) ou por excesso (b). A seguir, descrevemos uma outra aplicação importante na história do Cálculo. Exemplo 1.1. Em uma viagem de autómovel, quando olhamos no velocímetro e verificamos que a velocidade naquele instante é de 80km/h, podemos afirmar que se continuarmos com esta velocidade constante por uma hora, percorreremos 80km. Mas, o que acontece se variarmos essa velocidade, o que podemos afirmar nesse caso? Nesse caso, sabemos que quando a velocidade varia o automóvel está experimentando aceleração, e mais, sabe–se que o espaço percorrido nesse caso é dado pela expressão S(t) = S0 + v0t + 1 2 at2, onde S0 e v0 são: o espaço percorrido e a velocidade em determinado momento, respecti- vamente. Nessa expressão a representa a aceleração e t o tempo. Consideremos para simplificar que a aceleração é constante e igual a 2 km/s2 e que para um tempo inicial t = 0, o espaço percorrido inicial era 0 assim como a velocidade inicial, ou seja, nesse caso temos que S(t) = t2. Ora, a velocidade média é dada por velocidade média = distância percorrida tempo decorrido . x y 2 Figura 1.3: Cálculo das velocidades médias com intervalos cada vez menores iniciando em dois. Digamos que queremos calcular a velocidade instântanea (a do velocímetro) no instante t = 2. Para isto, inicialmente tomemos o intervalo de tempo t ∈ [2, 4], nesse caso a velocidade média no período [2, 4] = 16 − 4 4 − 2 = 12 2 = 6 km/h. Repetindo esse mesmo procedimento para o intervalo de tempo [2, 3], obtemos que a velocidade média é de 5 km/h. Diminuindo mais ainda o comprimento desse intervalo, por exemplo, 2 ≤ t ≤ 2, 1, obtemos que a velocidade média é de 4, 1 km/h. Observemos que a velocidade média vai diminuindo, mas até quanto? Ilustramos esse procedimento na Figura 1.3 e observe que para cada intervalo de tempo temos uma reta secante ao gráfico da função e a medida em que diminuímos o intervalo, a reta vai se aproximando de uma posição especial, onde toca em pontos cada vez mais próximos. No limite, apenas no ponto (2, 4) e dizemos nesse caso que temos uma reta tangente. Esse último problema, deu origem ao cálculo chamado Cálculo Diferencial e o do cál- culo das áreas inicialmente apresentado nesse capítulo, deu origem ao Cálculo Integral. As principais idéias posteriores a esta etapa devem-se a vários pesquisadores, entre eles des- tacamos os matemáticos Pierre Fermat (1601–1665), John Wallis (1616–1727), Isaac Barrow (1630–1677), Isaac Newton (1642–1727) e Gottfried Leibniz (1646–1716). Esses dois cálculos, o diferencial e o integral, embora tenham origem em problemas distintos, tem uma estreita e importantíssima ligação que apresentaremos aqui no decorrer desse texto. Capítulo 2 Funções – a base para o Cálculo O conceito de função é fundamental em matemática, sendo o objeto de estudo do cál- culo diferencial e integral. Por isso é que iniciamos nosso estudo com alguns esclarecimen- tos sobre este tão importante tema. Na linguagem usual, ouvimos muitas frases tais como: "a quantidade Q de água nos rios está em função da quantidade C de ocorrência de chuvas a cada ano", ou "o espaço S percorrido por um carro depende da velocidade V em cada instante", ou ainda "a medida da área A de um quadrado está em função (ou depende) da medida x do lado". São exemplos simples e corriqueiros sobre o que denominamos de funções. Em cada um dos exemplos acima está implícita a idéia de que o conhecimento de um fato implica na determinação do outro, o qual dele é dependente. Em matemática, as funções mais importantes são aquelas em que se conhecendo um número, determinamos outro, que lhe é correspondente. Em geral, as funções podem ser representadas pelas formas: verbais, descrevendo-as por meio de textos; numéricos, por meio de tabelas; visuais, por gráfico, e algébricos, por expressões matemáticas. No caso do estudo do cálculo, as funções que mais nos interessam são as que permitem serem representadas algebricamente. 2.1 Funções Enfim, o que é função? Uma função f é uma regra pela qual para cada elemento x de um conjunto A faz corresponder a um único elemento de um conjunto B, que denotamos por f : A → B. Os elementos do conjunto A são denominados de variáveis independentes, en- quanto que os elementos do conjunto B, são as variáveis dependentes. O conjunto A é o domínio da função f , enquanto que o conjunto B é o contra- domínio da função f e, os elementos de B aos quais foram relacionados a algum elemento de A, é denominado conjunto imagem da função f e o denotamos por Im( f ). Vejamos alguns exemplos de funções: Exemplo 2.1. Considere a seguinte situação: De uma folha de papelão quadrada de 18 cm de lado retiram-se quadrados de lado medindo x cm dos quatro cantos e, em seguida, dobram-se as bordas e a função área é expressa por A(x, y) = xy. Mas, essa função pode ser representada também por A(x) = x(500 − 2x), para 0 < x < 250 pois y = 500 − 2x. Para essa função, explicite o domínio, represente-a graficamente e determine as dimen- sões dos lados do canavial para que a área plantada seja a maior possível. Curiosidade Com relação à indagação feita no exemplo anterior sobre as dimensões dos lados do canavial para que a área plantada seja a maior possível, poderíamos fazer perguntas semelhantes para os demais exemplos dados? Explique isso! Dentre as funções elementares que iremos utilizar com freqüência é uma função poli- nomial de 1º grau, cujo gráfico é uma reta e sua representação pode ser dada pela equação y = mx + b com m, b ∈ R e m 6= 0. Faremos aqui um desenvolvimento que é importante a cerca da obtenção dessa função. Este desenvolvimento terá como base o 5º axioma de Euclides: "Dois pontos determinam, uma única reta". Para isto: dados os pontos A(x0, y0) e B(x1, y1), queremos a equação da reta determi- nada por eles. x y x0 x0 y0 y0 (a) (b) α x1 x1 y1 y1 r r P RS A A B B Figura 2.5: Representação gráfica da reta r determinada pelos pontos A e B. Um ponto P(x, y) pertence à reta determinada por A e B, se, e somente se, os triângulos ASP e ARB forem semelhantes. Mas este fato nos diz que PS AS = BR AR ou seja, y − y0 x − x0 = y1 − y0 x1 − x0 que pode ser escrita na forma y − y0 = y1 − y0 x1 − x0 (x − x0) = m(x − x0). Fazendo m = y1 − y0 x1 − x0 , obtemos a equação cartesiana da reta, y = m(x − x0) + y0. O número m nada mais é do que a tangente do ângulo α que a reta r faz com o sentido positivo do eixo x. A este número denominamos a inclinação da reta r. Esse número, a inclinação é o quociente entre as variações de y e de x, que também é chamado de taxa de variação média de y em relação a x. Desta forma, essa equação da reta após efetuarmos algumas operações algébricas sim- ples (determine quais!!!), fica na forma y = mx + k, que nada mais é que a expressão que define a função afim, ou ainda, polinomial de 1º grau pois é uma função definida por um polinômio de grau 1. Exemplo 2.6. À medida que o ar seco se move para cima ele se expande e esfria continuamente, de forma linear. Utilizando como modelo a função de 1º grau pode-se determinar a temperatura em qualquer instante, desde que a conheçamos em dois momentos diferentes. Por exemplo, se a temperatura do solo, em um determinado instante for de 20oC e a temperatura a uma altura de 1 km for de 10oC, então a temperatura em qualquer instante é dada pela função T(h) = −10h + 20. Explique como se deu a determinação desta função. 2.1.1 Exercícios 1. Uma empresa aluga carros a R$ 100,00 por dia e mais R$ 1,50 por quilômetro rodado. Outra empresa do mesmo ramo de mercado, cobra pelo aluguel do carro R$ 120,00 por dia e R$ 1,00 por quilômetro rodado. (a) Escreva as funções que fornecem os valores dos aluguéis dos carros em termos das quantidade de quilômetros rodados. (b) Faça os gráficos das funções obtidas no item (a) em um mesmo sistema de coor- denadas. (c) Ao alugar um carro, qual a empresa você irá escolher? Justifique sua escolha. 2. Esboce os gráficos das funções y − 2 = m(x − 1) para diversos valores de m, pequenos e grandes, positivos e negativos. Analisando os gráficos, o que você observa em relação à variação de m? 3. Para as retas r e s, dadas por r : y = mx + 3 e s : y = mx, o que você pode afirmar em relação a posição de uma em relação a outra? 4. Considere em um mesmo sistema de coordenadas as retas r : y = mx e s : y = nx, e os pontos A(1, m) ∈ r e B(1, n) ∈ s. Justifique as equivalências: r é perpendicular a s ⇔ AOB é retângulo em O ⇔ m.n = −1. Observação: Denotamos duas retas r e s, perpendiculares por r ⊥ s e paralelas por r ‖ s. Capítulo 3 Limite e continuidade Nesse capítulo vamos estudar dois dos mais importantes aspectos do Cálculo: O limite e a continuidade de funções. Iniciaremos com problemas físicos, mais especificamente a Taxa de Variação tanto a média como a instântanea. 3.1 Sobre Taxa de Variação O conceito de Taxa de Variação é extremamente importante para análise de movimentos em geral, ele permite avaliar a velocidade em que uma determinada grandeza se modifica com o passar do tempo. Nessa secção estudaremos dois tipos de taxa de variação: a média e a instântenea. Iniciaremos com a taxa de variação média e buscaremos o seu entendi- mento através de diversos exemplos, assim como faremos também para taxa de variação instantânea. 3.1.1 Taxa de variação média Para ilustrar essa idéia, iniciaremos pela análise de alguns exemplos simples e corri- queiros do nosso dia–a–dia. Exemplo 3.1. Uma caixa com capacidade de 1000 litros de água é drenada, em 30 minutos, por uma torneira aberta que está colocada em sua base. Os valores na tabela a seguir mostram o volume V de água remanescente na caixa após t minutos. t (minutos) 5 10 15 20 25 30 V (litros) 732 540 260 120 37 0 Podemos verificar que no intervalo de tempo de 5 a 10 minutos, a quantidade de água na caixa passou de 732 para 540 litros, ou seja, diminuiu 192 litros. A taxa de variação média neste intervalo de tempo foi de 540 − 732 10 − 5 = −38, 4 litros por minuto = −38, 4 litros/min. No intervalo de 15 a 25 minutos, a taxa média de variação do volume em relação ao tempo foi de 120 − 260 25 − 15 = −14 litros/min. 3.1.3 Taxa de Variação Instantânea No desenvolvimento da secção anterior evidenciamos a Taxa de Variação Média, o que de fato é a taxa de variação em um determinado intervalo. Queremos agora esclarecer a Taxa de Variação Instantânea, que na verdade é a taxa de variação em um ponto específico. Taxa de Variação Instantânea A Taxa de Variação Instantânea, ou simplesmente Taxa de Variação de uma fun- ção y = f (x) em um ponto a é o limite das Taxas de Variações Médias de f nos intervalos que contenha a, quando o comprimento dos intervalos tendem a zero, obviamente, quando este limite existe. Escreve-se: Tv(a) = lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0 f (a + ∆x) − f (a) ∆x . Este limite, quando existe, também é chamado de Derivada da função y = f (x) no ponto a. Motivados pela definição acima, torna-se necessário uma discussão sobre a idéia de limite, sua existência e técnicas para o cálculo. Antes da discussão propriamente dita sobre limites, vamos dar um exemplo simples do cálculo da taxa de variação instantânea ou da derivada de uma função a partir da taxa de variação média. Faremos também suas interpretações Geométrica e Física. Exemplo 3.4. Considere a função y = f (x) = x2. Podemos observar que as grandezas x e y se relacionam segundo essa expressão dada. Entretanto, para darmos um significado a essa relação em contextos bem conhecidos por todos nós, imaginemos que x seja, por exemplo, o comprimento do lado de um quadrado e y sua área ou se x representa tempo e y o espaço percorrido. 1. A Taxa de Variação Média de y em relação a x, em x = 3 é ∆y ∆x = (3 + ∆x)2 − 32 ∆x = 6 + ∆x. 2. A Taxa de Variação Instantânea de y em relação a x, em x = 3 é lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0 (6 + ∆x) = 6. 3. Podemos observar que, considerando como posto no exemplo, o número 6 + ∆x significa, em ambos os casos, a velocidade média. No primeiro caso, a velocidade em que varia a área do quadrado quando a medida do lado passa de 3 para 3 + ∆x, já no segundo, a velocidade em que varia o espaço percorrido, quando o tempo passa de 3 para 3 + ∆x. Enquanto que o valor 6 significa a velocidade instantânea em x = 3. 4. Uma outra interpretação para as taxas de variação média e instantânea, e quem sabe, a mais interessante, pode ser observada no gráfico abaixo. Observamos ainda que o número ∆y ∆x = 6 + ∆x 3 3 + ∆x y = x2 Figura 3.2: Exemplo 3.4 – Representação gráfica das retas secante (taxa de variação média) e tangente (taxa de variação instantânea) ao gráfico da função y = x2 para x = 3. é a inclinação da reta definida pelos pontos A(3, f (3)) e B(3 + ∆x, f (3 + ∆x)), enquanto que o número 6 é a inclinação da reta tangente ao gráfico da função y = f (x) = x2, no ponto x = 3. Conclusão Importante A Taxa de Variação é a velocidade instantânea, que também é a medida da Inclinação da reta tangente ao gráfico da função num ponto específico. 3.2 Limite de uma função em um ponto Para termos idéia consistente de limite – que é extremamente necessário para o estudo e a verdadeira compreensão do cálculo – comentaremos alguns exemplos cujo entendimento se dará de modo bastante intuitivo. Exemplo 3.5. Consideremos A = A(n) a área de um polígono regular de n lados inscrito no círculo de raio r. Com certa facilidade podemos mostrar que A pode ser expressa pela função A(n) = nr2sen (π n ) cos (π n ) Observe a Figura 3.3, onde destacamos o triângulo (que é isósceles) formado para vários polígonos regulares inscritos, mostre que A(n) pode de fato ser assim escrita. É notório que quanto maior for o número de lados do polígono inscrito, maior será sua área, entretanto, ela não ultrapassa um valor determinado. Esse valor deve ser olhado como um limitante ou mesmo um limite para a área desses polígonos e esse limite é a área do circulo ao qual ele está inscrito. Como se sabe, a área do circulo de raio r é πr2. Desta forma, escrevemos, lim n→∞ A(n) = lim n→∞ nR2sen (π n ) cos (π n ) = πR2 Portanto, um modo eficiente de provar que a área do circulo de raio R é πr2 é o de calcular esse limite. Com isto deixamos o modo intuitivo para a comprovação matemática de fato. Mas para isto deveremos estudar um pouco mais sobre limites. r h π n b Figura 3.3: Exemplo 3.5 – Cálculo da área do círculo por aproximações via polígonos regu- lares. Exemplo 3.6. Considere a função f (x) = x2 − 4 x − 2 ; x 6= 2 Avaliaremos o comportamento desta função para valores de x próximos de 2. É de percepção imediata que a expressão que define essa função f pode ser dada também por f (x) = (x − 2)(x + 2) x − 2 = x + 2; x 6= 2. Assim, quando x estiver próximo de 2, f (x) estará próximo de 4, pois nesse caso f (x) = x + 2; x 6= 2. Outra forma interessante de observar o comportamento da função f para quaisquer valores de x, é pelo próprio gráfico, que nesse caso, é o gráfico da reta y = x + 2, exceto no ponto (2, 4), como se pode ver abaixo: y = x2 − 4 x − 2 , x 6= 2. 2 Figura 3.4: Exemplo 3.6 – Gráfico da função y = x 2−4 x−2 , x 6= 2. Em geral, escreve-se, lim x→2 f (x) = lim x→2 x2 − 4 x − 2 = limx→2 (x + 2)(x − 2) x − 2 = limx→2(x + 2) = 4. Exemplo 3.7. Considere a função h(x) = { x + 2, x < 1 x2 + 1, x ≥ 1 Vamos analisar o seu comportamento próximo de x = 1. Para isto analisaremos primeiro, para x < 1 e depois para x > 1. Para valores de x menores que 1, ou seja x < 1, calculamos o valor da função h(x). Observe que nesse caso, temos que h(x) = x + 2 e assim obtemos a seguinte tabela (Verifique!!!): Um resultado importante sobre limites é o limite trigonométrico fundamental, lim x→0 sen(x) x = 1. g(x) = x f (x) = sen(x) π Figura 3.7: Gráficos das funções f (x) = sen(x) e g(x) = x. Antes de iniciarmos o seu cálculo, observe que o fato desse limite valer 1, quer dizer que próximo do zero, as funções f (x) = sen(x) e g(x) = x estão muito próximas uma da outra. Observe o gráfico dessas funções: Calculamos esse limite por dois caminhos diferentes, um analisando os valores tomados pela função para valores de x “próximos” de zero (intuitivo) e outro por meio geométrico. Lembremos ainda que a função sen(x) é periódica e simétrica em relação aos eixos, tanto x como o eixo y. x ±1 ±0, 5 ±0.05 ±0, 005 ±0, 001 ±10−5 x → 0. sen(x) x 0,814 0,9588 0,9995 0,999995 0, 9999998 0, 9999999999 f (x) → 1 Como já dissemos antes, o modo intuitivo funciona bem para funções muito bem com- portadas, ou seja podemos nos basear nele para uma estimativa, mas para termos garantia de correção temos que realmente calculá-lo. Assim, vamos ao cálculo desse limite. Mostraremos que lim x→0+ sen(x) x = 1. O cálculo do limite lateral à esquerda de zero é análogo e fica como exercício. Vamos lá, então! Tomamos valores positivos de x, porém, menores que π/2 já que queremos o limite para x tendendo a zero. Veja a Figura 3.8: Dessa figura, concluímos que, Área (∆OQP) ≤ Área do setor(OAP) ≤ Área (∆OAT). Para o cálculo dessas áreas observemos que OQ = cos(x) e AP = sen(x), ou seja a área do triângulo OQP é ∆OQP = 1 2 cos(x)sen(x). X 0 P T Q A Figura 3.8: Cálculo do limite de sen(x) x , via Comparação de áreas. Continuando, a área do setor OAP é x2 e finalmente, como os triângulos OQP e OAT são semelhantes, obtemos que AT = sen(x) cos(x) . Portanto, a área do triângulo OAT é ∆OAT = cos(x) sen(x) . Do cálculo dessas áreas, obtemos a seguinte desigualdade, cosx · sen(x) 2 ≤ x 2 ≤ sen(x) 2cosx . Multiplicando os três termos desta desigualdade pelo número 2 sen(x) que é positivo, pois, 0 < x < π/2, obtemos, cos(x) ≤ x sen(x) ≤ 1 cos(x) . Agora, invertendo cada termo desta desigualdade, obtemos, 1 cos(x) ≤ sen(x) x ≤ cos(x). Nesta desigualdade, fazendo x tender a zero, obtemos, 1 = lim x→0+ 1 cos(x) ≤ lim x→0+ sen(x) x ≤ lim x→0+ cos(x) = 1, Ou ainda que, lim x→0+ sen(x) x = 1. E, considerando que calculamos o limite lateral à esquerda, obtemos o importante re- sultado: lim x→0 sen(x) x = 1. 3.2.1 Propriedades do Limite Para o cálculo de limites algumas propriedades operatórias se tornam relevantes e as enunciaremos, mesmo sem prová-las aqui, por não considerarmos necessários aos nossos objetivos. Seja k um número real e suponha que existam os limites limx→a f (x) e limx→a g(x). Então, Produto por escalar lim x→a [k · f (x)] = k · lim x→a [ f (x)]; Soma de funções lim x→a [ f (x) ± g(x)] = lim x→a [ f (x)]± lim x→a [g(x)]; Produto de funções lim x→a [ f (x) · g(x)] = lim x→a [ f (x)] · lim x→a [g(x)]; Quociente de funções lim x→a [ f (x) g(x) ] = lim x→a [ f (x)] lim x→a [g(x)] , se lim x→a [g(x)] 6= 0. Ilustraremos a seguir a utilização dessas propriedades através de exemplos. Exemplo 3.9. Calculemos os seguintes limites: 1. lim x→0 x + sen(x) x . Observemos que a função x + sen(x) x = x x + sen(x) x = 1 + sen(x) x . Assim, pela propriedade da soma e o limite fundamental trigonométrico, temos que lim x→0 x + sen(x) x = lim x→0 ( 1 + sen(x) x ) = lim x→0 1 + lim x→0 sen(x) x = 2. Observe ainda que não poderíamos utilizar a propriedade do limite do quociente de funções. Por quê? 2. lim x→0 1 − cos(x) x . Para calculá-lo não podemos utilizar a propriedade do quociente, pois o limite do denominador é nulo. Assim, necessitamos trabalhar a função, de modo a obtermos expressões equivalentes à inicial até podermos calcular o limite. Façamos o seguinte: lim x→0 ( 1 − cos(x) x ) = lim x→0 ( 1 − cos(x) x · 1 + cos(x) 1 + cos(x) ) = lim x→0 ( 1 − cos2(x) x(1 + cos(x)) ) = lim x→0 ( sen(x) x · sen(x) (1 + cos(x)) ) = lim x→0 ( sen(x) x ) · lim x→0 ( sen(x) 1 + cos(x) ) = 0. Utilizamos a propriedade do limite do produto de funções e o limite fundamental trigonomé- trico. 2. lim x→0− f (x) = −∞. 3. lim x→+∞ f (x) = 0. 4. lim x→−∞ f (x) = 0. y = f (x) Figura 3.10: Gráfico da hipérbole y = 1/x. Os eixos são assíntotas desse gráfico. O primeiro limite nos informa que a o valor da função para valores positivos de x cada vez mais próximos de zero se aproxima de +∞ e que o valor da função se aproxima de −∞, para valores negativos de x próximos de zero. Ora, essas informações nos asseguram que o gráfico da função para x próximo de zero está muito próximo da reta x = 0 ou ainda do eixo y. Dizemos, nesse caso, que o eixo y é uma assíntota vertical. Os outros dois limites, nos informam que o valor da função se aproxima de zero quando o valor de x tende ao infinito, seja ele positivo ou negativo. Ou seja, o gráfico da função f se aproxima do eixo x quando x cresce indefinidamente. Dizemos então que o eixo x é uma assíntota horizontal Considere agora a função real f : R∗ → R dada por f (x) = x2 + 2 2x . Observe que a função f não tem zeros reais e que não está definida em x = 0 e mais que lim x→0± f (x) = ±∞. Isso quer dizer que o eixo y é uma assíntota para essa função ou ainda que o gráfico da função f se aproxima do eixo y na medida em que os valores de x se aproximam de zero, seja pela esquerda ou seja pela direita. Agora, ao calcularmos os limites de f para quando os valores de x crescem indefinida- mente temos que lim x→±∞ x2 + 2 2x = lim x→±∞ ( 1 x + x 2 ) = lim x→±∞ ( 1 x ) + lim x→±∞ x 2 . Ora, o primeiro limite dessa última soma vai a zero e o segundo a ±∞ da mesma forma que o limite da função f . Observemos que isso quer dizer que perto do zero, a função é dominada pela parcela 1/x, pois a parcela x/2 está muito próxima de zero. E para valores grandes de x, temos exatamente o contrário, ou seja a parcela 1/x está muito próximo de zero, enquanto que a outra parcela é a dominante. Isso quer dizer que se fizermos lim x→±∞ [ f (x)− x 2 ] = 0. Ou ainda que o gráfico da função f (x) se aproxima da reta y = x/2 quando os valores de x se aproximam de ±∞, ou seja, dizemos que a reta y = x/2 é uma assíntota oblíqua. Na Figura 3.11 apresentamos o gráfico dessa função. y = f (x) r : y = x2 Figura 3.11: Gráfico da função f (x) = x 2+2 2x e suas assíntotas. Considere a função real f : R → R dada por f (x) = x3 x2 + 1 . Neste caso, observamos que x = 0 é um zero da função f (x) e que ela está definida para todos os valores de x reais. O limite da função para valores de x que crescem indefinidade- mente, positivos ou não, é dado pelo limite lim x→±∞ ( x3 x2 + 1 ) = lim x→±∞ ( x − x x2 + 1 ) = lim x→±∞ x − lim x→±∞ ( x x2 + 1 ) . Como no exemplo anterior, observamos que esse limite tende a ±∞. Mas, o mais in- teressante é que o gráfico da função tende ao gráfico da reta y = x para valores de x que crescem indefinidamente em módulo, ou seja, positivamente ou negativamente. Com essas informações ainda não é possível esboçar o gráfico da função f (x) = x3 x2 + 1 , pois precisamos de mais informações a seu respeito e essas dependem do cálculo de deri- vadas que vamos estudar na seqüência. De qualquer forma, apresentamos o seu gráfico na Figura 3.12. y = f (x) r : y = x Figura 3.12: Gráfico da função f (x) = x 3 x2+1 e sua assíntota. Assíntotas Sempre que existir uma reta para que o gráfico de uma função f se aproxima, sem contudo interceptar, para valores de x que crescem indefinidamente em mó- dulo, dizemos que essa reta é uma assíntota. Ou ainda, se existir uma reta y = mx + k tal que lim x→±∞ [ f (x)− (mx + k)] = 0, então dizemos que essa reta é uma assíntota para a função f . Caso m = 0, dizemos que é uma assíntota horizontal e se m 6= 0, uma assíntota oblíqua. Agora, se para x → a < ∞, pela direita ou pela esquerda, o limite de função for ∞ ou −∞, então dizemos que x = a é uma assíntota vertical. Mas, será que apenas funções dadas por frações tem assíntotas? A resposta é não e para verificar isso, veja o próximo exemplo. Considere a função real f : R → R, dada por f (x) = √ x2 + 1. Bem, se f tem assíntotas, então, lim x→±∞ [ f (x)− (mx + k)] = 0. Ora, essa se essa igualdade vale, equivalentemente temos lim x→±∞ [ f (x)− mx] = k. Vamos determinar m primeiro. Para isso temos que se lim x→±∞ [ f (x)− mx] < ∞, ou seja, se esse limite for finito vale que lim x→±∞ [ f (x)− mx x ] = 0, ou ainda que m± = lim x→±∞ [ f (x) x ] Para calcularmos o limite de f para x → ±∞, observemos incialmente que podemos escrever √ x2 + 1 = √ x2 √ ( 1 + 1 x2 ) =            x √ ( 1 + 1x2 ) , se x > 0 −x √ ( 1 + 1x2 ) , se x < 0. Assim, para x → +∞ podemos considerar, sem perda de generalidade, que x > 0 e para calcular m ficamos com m+ = lim x→+∞ [ 1 x ( x √ ( 1 + 1 x2 ) )] = lim x→+∞ [ √ ( 1 + 1 x2 ) ] 9. Encontre as assíntotas e esboce o gráfico da função definida pelas expressões: (a) f (x) = 4 x − 5 . (b) f (x) = 5 x2 + 8x + 16 . (c) f (x) = x2 4 − x2 . (d) f (x) = − x 2 − 4 x + 1 . (e) f (x) = x + e−x. (f) f (x) = x3 − x2 − 1 x2 − 1 . (g) f (x) = x3 + 3 x . (h) f (x) = 2sen(x) + 1 x . Capítulo 4 A Função Derivada e Regras de Derivação Nesse capítulo iremos trabalhar uma das principais ferramentas do Cálculo: a derivada. Na verdade, iniciamos o seu estudo no capítulo sobre Taxa de Variação, mais especifica- mente a Taxa de Variação Instântanea. Vimos que o seu significado geométrico é a medida da inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto considerado, e o significado físico é a velocidade naquele ponto. Iremos detalhar e ampliar este estudo, porque são várias as suas aplicações, pois em todas as situações que envolver velocidade, ela se aplica, como por exemplo, em modelos físicos, biológicos, químicos, econômicos, mais geralmente a todos modelos aos quais haja movimento, ou seja, variação de grandezas. 4.1 A função derivada O significado geométrico da Derivada ou a Taxa de Variação Instantânea de uma fun- ção em um ponto é a medida da inclinação da reta tangente ao gráfico a função no ponto considerado e o significado físico é a velocidade naquele ponto. Assim, consideremos a função y = f (x) e um ponto x = x0 de seu domínio, então o valor da derivada de f neste ponto é o número f ′(x0) = lim ∆x→0 f (x0 + ∆x)− f (x0) ∆x , obviamente, se este limite existir. Tendo como base os comentários acima, fica claro que a derivada de uma função depende do ponto, x0, em que ela é calculada. Portanto, tem sentido falar na função derivada. E é isto que chamaremos a atenção a seguir. A função Derivada A derivada de uma função y = f (x) é a função f ′(x) = dy dx (x), cujo valor é f ′(x) = lim ∆x→0 f (x + ∆x) − f (x) ∆x , para todo x em que este limite exista. O conjunto dos valores de x para os quais existem a derivada é o domínio da função derivada e, para estes valores, dizemos que a função é derivável. Para melhor entender esta definição vamos iniciar nosso estudo mostrando que a fun- ção f (x) = √ x é derivável, para todo x > 0. Temos então que calcular f ′(x) = lim ∆x→0 √ x + ∆x −√x ∆x . Mas, podemos escrever esta fração na forma √ x + ∆x −√x ∆x = 1√ x + ∆x + √ x . Portanto, f ′(x) = 1 2 √ x , e cujo domínio é o conjunto dos números reais positivos. Um roteiro para o cálculo da derivada Seja f : A ⊂ R → R uma função real. Então, para calcularmos a sua derivada, ou seja, a função f ′(x) pela definição, façamos o seguinte: • Escreva as expressões para f (x) e para f (x + ∆x). • Desenvolva e simplifique o quociente f (x + ∆x) − f (x) ∆x . • Agora, calcule f ′(x) = lim ∆x→0 f (x + ∆x) − f (x) ∆x . 4.1.1 Exercícios 1. Retorne ao exercício 1 da lista de exercícios 3.2.3 e explique o significado de cada um de seus itens em relação às funções derivadas. A partir dessa explicação, escreva a função derivada de cada uma das funções envolvidas e dê seu domínio. Devemos mostrar que ( f · g)′(x) = lim ∆x→0 ( f · g)(x + ∆x) − ( f · g)(x) ∆x existe. Para isto, escrevemos ( f · g)(x + ∆x) − ( f · g)(x) ∆x = f (x + ∆x) · g(x + ∆x) − f (x) · g(x) ∆x . Agora, subtraindo e somando f (x + ∆x) · g(x) no numerador desta fração, podemos reescrevê-la na forma f (x + ∆x) · g(x + ∆x) − f (x + ∆x) · g(x) + f (x + ∆x) · g(x)− f (x) · g(x) ∆x , e colocando f (x + ∆x) em evidência nas duas primeiras parcelas e g(x) nas duas últimas parcelas, escrevemos esta expressão na forma f (x + ∆x) · [g(x + ∆x)− g(x)] + g(x) [ f (x + ∆x)− f (x)] ∆x , que separamos na seguinte soma f (x + ∆x) · g(x + ∆x) − g(x) ∆x + g(x) · f (x + ∆x) − f (x) ∆x Por hipótese, temos que, • lim ∆x→0 f (x + ∆x) = f (x), pois f é contínua; • lim ∆x→0 f (x + ∆x) − f (x) ∆x = f ′(x), pois f é derivável; • lim ∆x→0 g(x + ∆x)− g(x) ∆x = g′(x), pois g é derivável. Assim, ( f .g)′(x) = lim ∆x→0 [ f (x + ∆x) · g(x + ∆x) − g(x) ∆x + g(x) · f (x + ∆x)− f (x) ∆x ] = lim ∆x→0 f (x + ∆x) · lim ∆x→0 g(x + ∆x) − g(x) ∆x + g(x) · lim ∆x→0 f (x + ∆x) − f (x) ∆x = f (x) · g′(x) + g(x) · f ′(x). Quociente de Funções Se f e g são funções deriváveis, então fg é derivável e d dx ( f g ) = 1 g2 ( g · d f dx − f · dg dx ) = f ′g − f g′ g2 . É interessante observar o caso particular desta regra, que é quando f (x) = 1, neste caso, a derivada de g−1 = 1 g é dada por d dx ( 1 g ) = 1 g2 ( −dg dx ) = g′ g2 . Use a regra do produto de funções aplicado à função f .g−1 para mostrar esta regra de derivação para o quociente. A derivada: Taxa de variação entre grandezas. É importante frisarmos, que a função derivada, f ′(x), significa a medida da incli- nação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abscissa x. Além disso, se a grandeza y representa, o espaço percorrido por um móvel no tempo x, a função derivada, f ′(x), significa a velocidade do móvel no instante x. Em geral, f ′(x) é a taxa de variação da grandeza y em relação à grandeza x, no ponto x. De forma análoga, se a grandeza y representar a velocidade no instante x, então, a função derivada segunda de f , f ′′(x), é a aceleração no instante x. Da mesma forma, se a grandeza y representar uma aceleração no instante x, então, a função derivada terceira de f , f ′′′(x), é o torque do movimento no instante x. 4.2.2 Exercícios 1. Calcular a derivada das funções: (a) f (x) = 4x3 −√x + 5. (b) f (x) = 2sen(x)cos(x). (c) f (x) = tg(x). (d) f (x) = sec(x). (e) f (x) = 2x x2 + 1 . 2. A área do círculo de raio R, em função do raio é A(R) = πR2. Determine a taxa de variação da área do círculo em função do raio. Interprete esse resultado em termos de unidades de medida. 3. Faça como no exercício anterior para o volume da esfera, que dado por V(R) = 4 3 πR3. 4. Dois carros partem de um cruzamento em um mesmo instante e em direções perpen- diculares. Um viaja a 60 km/h e o outro, a 80 km/h. A que velocidade eles estão se distanciando, após 1 hora de viagem? 5. Um objeto move-se ao longo de uma reta, de acordo com a equação horária S(t) = t3 − 4t2 + 3t, t ≥ 0. Determine um valor para t no qual a velocidade instantânea é 6. Em que ponto a aceleração é nula? 6. Uma aplicação interessante e importante da derivação é a Regra de L’Hospital para o cálculo de limites que apresentam indeterminação dos tipos 0 0 e ∞ ∞ . Consideremos as funções f e g deriváveis, com g′(x) 6= 0. Nessas condições se lim x→a f (x) = 0, e lim x→a g(x) = 0, temos que lim x→a f (x) g(x) = lim x→a f ′(x) g′(x) . Para verificarmos isso observe que, para f (a) = g(a) = 0, podemos escrever f (x) g(x) = f (x)− f (a) g(x)− g(a) = f (x)− f (a) x − a g(x)− g(a) x − a · Observe ainda que isso mostra também para os limites do tipo ∞ ∞ pois, basta lembramos que "∞ = 1/0." Para terminar, basta calcular o limite nessa última igualdade para x → a. Vamos usar esse resultado para calcular o limite lim x→∞ ex x . Nesse caso temos ∞ ∞ e como as funções são deriváveis podemos aplicar a Regra de L’Hospital ao limite e ficamos com lim x→∞ ex x = lim x→∞ ex = +∞. Agora, utilize esse resultado para calcular os limites: (a) lim x→1 x5 − 6x3 + 8x − 3 x4 − 1 . (b) lim x→0+ x2e1/x. (c) lim x→0+ x ln(x). (d) lim x→0 xx. (e) lim x→0 sen(x) x . (f) lim x→0 1 − cos(x) x . 4.2.3 Grupo II – A Derivada da Função Composta (A regra da cadeia) Sejam as funções f : A → R e g : B → R tais que o domínio da função g contenha o conjunto imagem de f , ou seja, Im( f ) ⊂ B, e assim podemos definir a função composta de g com f , denotada por h = f ◦ g : A → R e definida por h(x) = f (g(x)). Ora, podemos tomar o seguinte sistema { u = g(x) y = f (u) que também caracteriza esta composição. O nosso objetivo agora é calcularmos a derivada da função h, mas antes de formalizar- mos essa derivada, vamos apresentar alguns exemplos. O que nos permite concluir que, lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0 [ f (u + ∆u) − f (u) ∆u · g(x + ∆x) − g(x) ∆x ] = lim ∆u→0 ∆y ∆u · lim ∆x→0 ∆u ∆x . Portanto, dy dx = dy du · du dx . Uma forma alternativa e prática de escrever a regra da cadeia é a seguinte: A derivada da função composta. Se y = f (g(x)), então y′ = f ′(g(x)) · g′(x). Apresentamos uma série de exemplos de utilização da regra da cadeia. Exemplo 4.4. Para calcular a derivada da função y = (x2 + 1)7, procede-se da seguinte forma: Faça u = x2 + 1 e y = u7, e em seguida obtendo du dx = 2x e dy du = 7u6. Ou ainda, dy dx = dy du · du dx = 7u6 · 2x = 14x(x2 + 1)6. Exemplo 4.5. No caso da composição de mais funções, o procedimento é o mesmo. Seja a função y = sen(x2 + 1)7 e faça u = x2 + 1, v = u7 e y = sen(v). Obtemos assim que du dx = 2x, dv du = 7u6 e dy dv = cos(v) e, finalmente, o resultado, dy dx = dy dv · dv du · du dx = cos(v) · 7u6 · 2x = 14x(x2 + 1)6cos(x2 + 1)7. Exemplo 4.6. Se r é um número real e u = f (x) uma função derivável, então a função y = [ f (x)]n é derivável e dy dx = n[ f (x)]n−1 · f ′(x). Use o procedimento usado nos exemplos anteriores para mostrar esta afirmação. Exemplo 4.7. Agora podemos também calcular a derivada da função h(x) = cos(nx), pois podemos considerá-la como a composição das funções f (x) = cos(x) e g(x) = nx. E portanto, segue que (cos(nx))′ = nsen(nx). Observação importante. A técnica usada na regra da cadeia ao “mudar” as variáveis consiste basica- mente, na decomposição das funções envolvidas e, para calcular a derivada, basta conhecer a derivada de cada uma das componentes da função composta. Observamos, ainda, que essa decomposição não é única e assim devemos sem- pre buscar a que melhor se encaixe para solucionar o problema. 4.2.4 O cálculo da derivada da função inversa Uma aplicação importante da regra da cadeia é para o cálculo da derivada da inversa de uma função a partir da derivada da função original. Para isto, iniciaremos com o seguinte fato: Quando a composta das funções y = f (x) e y = g(x) tem como resultado a função identidade, isto é, quando f (g(x)) = x, é porque uma função é a inversa da outra. Veja o exemplo, para x ≥ 0, as funções f (x) = √x e g(x) = x2 são inversas e f (g(x)) = √ x2 = x. Observe que neste, vale também que g( f (x)) = ( √ x)2 = x. Tomando a identidade f (g(x)) = x e derivando-a em relação à x, obtemos o importante resultado: d dx ( f (g(x))) = d dx (x) ou, f ′(g(x))g′(x) = 1, ou ainda que f ′(g(x)) = 1 g′(x) . Esta relação é chamada Teorema da Função Inversa. Este resultado diz, na prática, que a derivada da inversa de uma função no ponto y é igual ao inverso da derivada da função inicial no ponto x, o qual tem y como imagem. Exemplo 4.8. A derivada da inversa da função g(x) = x2, no ponto y = 9 é igual a 1 g′(3) = 1 2 · 3 = 1 6 . Exemplo 4.9. A inversa da função y = sen(x), −π 2 < x < π 2 é a função y = arcsen(x), −1 < x < 1. Isto quer dizer que y = sen(x) ⇔ x = arcsen(y). Então, d dx [arcsen(y)] = 1 d dx [sen(x)] = 1 cos(x) . Mas, sabemos que cos(x) = √ 1 − sen2(x) = √ 1 − y2. Assim, ficamos com d dx [arcsen(y)] = 1 √ 1 − y2 e finalmente, d dx [arcsen(x)] = 1√ 1 − x2 . 4.2.5 Exercícios 1. Sabendo-se que a derivada da função u = ex é u′ = ex e que a derivada de v = ln x v′ = 1x , mostre que a derivada da função y = (u/v) 2 é y′ = 2e2x(x ln x − 1) x ln3 x . 2. Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = (tgx + sec x)3 no ponto de abscissa x = π/4. 3. Encontre todos os pontos do gráfico da função f (x) = sen(2x)− sen(x) para os quais a reta tangente é paralela ao eixo x. 4. Quais são os pontos do gráfico de uma função f em que a inclinação da reta tangente é positiva? Explique que aspecto pode ter o gráfico da função f para os pontos em que a inclinação da reta tangente é positiva. 5. Se a equação de um movimento de uma partícula for dada por s(t) = Acos(wt + δ), dizemos que a partícula está em movimento harmônico simples. Para este caso, en- contre a velocidade da partícula num instante t. Quando a velocidade da partícula é zero? Temos então d dx (x3 + y3) = d dx (6xy) 3x2 + 3y2y′ = 6(xy′ + y.1) e finalmente, y′ = 6y − 3x2 3y2 − 6x . x3 + y3 = 6xy Figura 4.2: Exemplo 4.12 – Gráfico de x3 + y3 = 6xy dada na forma implícita. Nesse exemplo, embora a explicitação da função não esteja dada em forma simples, ainda foi possível obtê-la. Entretanto, isto nem sempre é possível! Vejam por exemplo a função dada por xsen(y) + y2sen(x) = 0. É simples derivá-la implicitamente e não é possível explicitar nenhuma das variáveis em função da outra. Para ter a derivada da função não é necessário tê-la na forma explícita. Exporemos agora um exemplo em que a variável independente aparece de forma implícita de tal modo que nem figura na equação. Para resolver o problema, vamos escolher um sistema de coordenadas de modo que o eixo x, sentido positivo, coincida com a parte do solo na direção em que o “pé” da escada se afastará, o eixo y, sentido positivo, na parede e a origem no canto, solo-parede. Conforme mostrado na figura. Pelo Teorema de Pitágoras, temos a relação x2 + y2 = 49, em que x e y são distâncias que dependem, implicitamente, do tempo, ou seja x = x(t) e y = y(t). Portanto, tem sentido falar nas derivadas das funções x e y em relação ao tempo t. Exemplo 4.13. Uma escada de 7 m de altura está apoiada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do “pé” da parede a uma velocidade constante de 2m/s, com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3m da parede? E se ela estiver a 5m ? Além disso, a velocidade é a derivada do espaço em relação ao tempo, ou melhor d dt [ x2 + y2 ] = d dt (49) Escada 2m/s v Figura 4.3: Exemplo 4.13 – Escada se deslocando. ou ainda, 2x dx dt + 2y dy dt = 0. Mas, sabemos que dxdt = 2m/s em qualquer instante, a equação acima pode ser escrita na forma, dy dt = −2x y . Para responder as perguntas feitas no problema, observamos que para x = 3 temos que y = 2 √ 10 e para x = 5, y = 2 √ 6. Daí, para x = 3, dy dt = −3√ 10 m/s e para x = 5, dy dt = −5√ 6 m/s. O sinal negativo que aparece nas velocidades é devido às orientações dos movimentos. 4.3.1 Exercícios 1. Verifique se o ponto indicado pertence à curva dada pela e, caso afirmativo, deter- mine a equação das retas tangente e perpendicular à curva no ponto. Para a determi- nação das inclinações das retas é importante que utilize a derivação implícita. (a) Para a curva, x2 + y2 = 25, no ponto A (−4, 3). Esboce os gráficos da curva e das retas em um mesmo sistema de coordenadas. (b) Para a curva, y2 − 2x − 4y = 1 no ponto A (−2, 1). Esboce os gráficos da curva e das retas em um mesmo sistema de coordenadas. (c) Para a curva, xsen(2y)− ycos(2x) = 0 no ponto A (π/4, π/2). 2. As equações x2 − 2tx + 2t2 = 4, 2y3 − 3t2 = 4 definem x e y implicitamente como funções deriváveis de t, determine dx dt , dy dt e dy dx . Calcule o valor de cada uma das derivadas para t = 2. 3. A elipse 2x2 + 3y2 = 5 e a cúspide y2 = x3 interceptam-se em dois pontos que são simétricos em relação ao eixo das abscissas. (a) Determine os pontos de interseção. (b) Determine as equações das retas tangentes às duas curvas nesses pontos. (c) Há um fato especial em relação às retas tangentes. Qual é? 4. Sabemos que a derivada da função f (x) = x3 − 2 em x = 2 é f ′ (2) = 12. Sem determinar explicitamente a função g, inversa de f , verifique que g′ (6) = 1/12. 5. Sabendo que a derivada da função f (x) = ex é ela própria e que sua inversa é a função g (x) = ln x, x > 0. Mostre que g′ (x) = 1 x . 6. Determine a reta tangente ao gráfico da função y = ln(x) e que passa pela origem do sistema de coordenadas. 7. Mostre que se f (x) = tg(x), então f ′ (x) = sec2(x). A função y = tg(x) tem in- versa, y = g (x), no intervalo (−π/2, π/2). Utilize a parte inicial deste exercício para mostrar que g′ (x) = 1 x2 + 1 . Como se denota a função g, a inversa de f ? 8. Um balão de ar quente, subindo na vertical a partir do solo, é rastreado por um telê- metro colocado a 500 metros de distância do ponto de decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é 45o, o ângulo aumenta à taxa de 1rad/min. A que velocidade o balão sobe nesse momento? 9. A que taxa o nível da água diminui em uma caixa que tem a forma de um cilindro circular reto de raio da base R, se a água está sendo bombeada para fora da caixa à taxa de 20l/min? 10. A água entra em um tanque cônico a uma taxa de 4m3/min. O tanque tem o vértice voltado pra baixo e altura de 6 metros e o raio da base mede 2 metros. A que veloci- dade o nível da água está subindo quando a profundidade for de 2 metros? E quando for de 4 metros? 11. A potência P (em Watts) dissipada em um circuito elétrico está relacionada à resis- tência R (em ohms) e à corrente I (em amperes) que circula no circuito pela equação P = RI2. (a) Determine a relação entre dP dt , dR dt e dI dt , considerando quem P, R e I não são constantes? (b) Como estão relacionadas dR dt e dI dt se P for constante? 12. O comprimento c de um retângulo diminui a uma taxa de 2cm/s, enquanto a largura l aumenta à taxa de 2cm/s. Encontre as taxas em que variam: a área, o perímetro e os comprimentos das diagonais do retângulo quando c = 10cm e l = 6cm. Quais medidas estão aumentando e quais estão diminuindo? 13. Um automóvel que viaja à velocidade de 30m/s, aproxima-se de um cruzamento. Quando o automóvel está a 120 metros desse cruzamento, um caminhão que viaja a 40m/s atravessa esse cruzamento. O automóvel e o caminhão estão em rodovias perpendiculares. Com que velocidade o automóvel e o caminhão se distanciam, 2 segundo depois que o caminhão passou pelo cruzamento? Se c é máximo ou mínimo, então f ′(c) = 0. Se a função y = f (x) for derivável em (a, b) e se c ∈ (a, b) é um número para o qual f assume um máximo ou um mínimo local, então f ′(c) = 0. Vamos provar este resultado considerando que f tem um máximo local em c. Por hipó- tese f ′(c) existe, pois f é derivável. Mas, f ′(c) = lim x→c f (x)− f (c) x − c . Como f tem valor máximo em c, existe um intervalo contendo c tal que f (c) ≥ f (x), para todo x nesse intervalo. Daí, f (x)− f (c) ≤ 0. Por outro lado, f (x)− f (c) x − c ≤ 0, se x > c, e f (x)− f (c) x − c ≥ 0, se x < c. Fazendo x → c em ambas as frações acima, obtemos 0 ≤ lim x→c f (x) − f (c) x − c ≤ 0 Ou ainda que, f ′(c) = 0. Interpretação geométrica de f ′(c) = 0. Se c é um máximo local de f e se f ′(c) existir, então o gráfico de f terá uma reta tangente paralela ao eixo x no ponto x = c. A importância fundamental deste resultado é que ele determina todos os "candidatos"a máximos ou mínimos locais para funções deriváveis. Entretanto, devemos ter cuidado no sentido de que, apenas o fato de f ′(c) ser zero não é suficiente para que o número c seja ponto de máximo ou de mínimo de f. Para ilustrar este fato, veja a Figura 4.6 e observe os pontos n. Nesses pontos a reta tangente é horizontal, mas eles não são nem pontos de máximo e nem de mínimo, pois para todo intervalo sempre existirão valores menores e maiores que f (c). Uma outra forma que ilustra bem esse fato é observar, por exemplo, a função f (x) = x3, ela possui derivada zero em x = 0, no entanto este ponto não é de máximo e nem de mínimo da função. Veja o gráfico: Outra questão a considerar, é o caso de funções não deriváveis, elas podem ter máximos e mínimos locais sem que a derivada seja nula, pois ela não existe. Mas, isto não nega o resultado anterior. y = x3 Figura 4.7: Para a função cúbica y = x3, a origem não é nem um ponto de máximo e nem de mínimo. Observe, por exemplo, que a função f (x) = |x| . Não tem derivada em x = 0, mas ele é ponto de mínimo local da função, ou seja como dissemos antes, se o ponto é de máximo e a derivada existe nesse ponto, então ela vale zero, mas se não é derivável, utilizamos nesse caso a definição. Para adequação de linguagem, daremos a seguinte definição que tem grande importân- cia: Pontos críticos Um número c pertencente ao domínio de uma função f é chamado ponto crítico de f se f ′(c) = 0 ou se f ′(c) não existir. Podemos observar que é condição necessária (mas não suficiente) para um nú- mero ser de máximo ou de mínimo de uma função f é que ele seja um ponto crítico da função f . 4.4.2 Exercícios 1. Determine os pontos críticos das funções reais a seguir: (a) f (x) = ax2 + bx + c com a, b, c ∈ R. (b) f (x) = sen(x)cos(x). (c) f (x) = 2x 1 + x2 . 2. Seja y = f (x) uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Se f (a) = f (b) = 0, então existe c ∈ (a, b) para o qual f ′(c) = 0. (a) Faça o gráfico de uma função que satisfaça as condições dadas neste exercício. (b) Utilize o fato de que, para um ponto ser de máximo ou de mínimo local, primeiro ele precisa ser um ponto crítico, para justificar o exercício. (c) Pesquise em livros de cálculo ou em outro meio, as hipóteses, o significado, a importância e alguma prova do Teorema de Rolle. 3. Seja y = f (x) uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existe c ∈ (a, b) para o qual f ′(c) = f (b) − f (a) b − a . Este é um dos resultados mais importantes do cálculo diferencial, é o Teorema do Valor Médio. (a) Faça o gráfico de uma função que possua as condições dadas no exercício e ex- plique o significado geométrico da situação. (b) Mostre que a função f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x, com x ∈ [−2, 3] satisfaz as hipóteses dadas nesse exercício. Determine os possí- veis valores de c. (c) Existe alguma relação entre esse exercício e o anterior? Justifique sua resposta. (d) Pesquise em livros de Cálculo ou e um outro meio o significado, a importância e alguma demonstração do Teorema do Valor Médio. Estritamente crescente ou decrescente Diz-se que uma função é estritamente crescente em um intervalo (a, b) se para todos , com x1 < x2, a função f satisfizer f (x1) < f (x2). estritamente decrescente se f satisfizer f (x1) > f (x2). Dentre tantas aplicações interessantes do Teorema do Valor Médio, uma é para mos- trar que Uma aplicação do Teorema do Valor Médio. Se f é uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b) e se f ′(x) > 0, ∀ x ∈ (a, b), então f é estritamente crescente em [a, b]. Para isto, sejam x1, x2 ∈ (a, b), com x1 < x2. Como f é contínua em [a, b] e derivável em (a, b), f contínua em [x1, x2] e derivável em (x1, x2). Pelo T. V. M., existe c ∈ (x1, x2) de modo que f (x2)− f (x1) = f ′(c) · (x2 − x1). Mas, x2 − x1 > 0 e, por hipótese, f ′(c) > 0. Logo, f (x2) − f (x1) = f ′(c) · (x2 − x1) > 0 ⇒ f (x1) < f (x2). Portanto, f é estritamente crescente em [a, b] pois, temos que x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). 4. Utilize este resultado para determinar os intervalos em que f (x) = x4 − 6x2 + 4 é estritamente crescente. 5. Se y = f (x) é contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então (a) f ′(c) < 0 para todo x em (a, b) ⇒ f é estritamente decrescente em [a, b]. (b) f ′(c) = 0 para todo x em (a, b) ⇒ f é constante em [a, b]. Os pontos de inflexões. O ponto (−1/3, f (−1/3)) é um ponto de inflexão, pois para x < −1/3, o gráfico de f tem concavidade para baixo, enquanto que para x > −1/3, a concavidade é para cima. Os limites da função Como o domínio de f é o conjunto dos reais, tem sentido em calcularmos os limites para x → ±∞, ou lim x→±∞ (x3 + x2 − 2x) = ±∞, pois é um polinômio cúbico (maior grau ímpar). Com base nestas informações, apresentamos na Figura 4.9 um esboço do gráfico da função f (x) = x3 + x2 − 2x. y = 3x2 + 2x − 2 x+ x−x1 x2 Figura 4.9: Gráfico de f (x) = x3 + x2 − 2x. 2. Dada a função f (x) = x4 + 1 x2 . Como no exemplo anterior, vamos determinar os elementos necessários para esbo- çarmos o gráfico dessa função. O domínio de f O domínio de f são os valores donde ela está definida e nesse caso D( f ) = R − 0 = R∗. Os zeros reais. Os zeros são os valores de x tais que f (x) = 0 ou seja x4 + 1 x2 = 0. Ora, a função não tem nenhum zero real, pois x4 + 1 6= 0. Os pontos críticos Para determinar os pontos críticos, precisamos primeiro calcular os zeros de f ′. Assim, calculando a derivada e fatorando, ficamos com f ′(x) = 2 (x + 1)(x − 1)(x2 + 1) x3 = 0. Resolvendo essa equação obtemos os valores f ′(x) = 0 ⇐⇒ x ∈ {−1, 1}. Portanto, temos dois pontos críticos, ou seja dois pontos onde a reta tangente é horizontal. (De)Crescimento Para estudarmos o crescimento ou decrescimento de uma função precisamos conhecer o sinal de f ′(x), pois se f ′(x) é positiva temos que a função é crescente e caso seja negativa, ela é decrescente. Nesse caso, f ′(x) = 2 (x + 1)(x − 1)(x2 + 1) x3 e para estudarmos o seu sinal, podemos reescrevê-la como f ′(x) = 2 (x2 + 1) x2 ( (x + 1)(x − 1) x ) Ilustramos na Figura 4.10 os sinais dados pelo numerador e pelo denomidador da fração (x+1)(x−1)x , pois a primeira fração é sempre positiva. ++ + + + −− − − 1−1 sinal de x2 − 1 sinal de 1/x sinal de x 2−1 x Figura 4.10: Estudo do sinal de f ′(x) = 2 (x+1)(x−1)(x 2+1) x3 . Assim, para os intervalos (−∞,−1) e (0, 1) temos que f ′(x) < 0 ou seja f é decrescente e para os intervalos (−1, 0) e (1, ∞), f ′(x) > 0 ou ainda que f é crescente. Concavidade A concavidade do gráfico é dado pelo sinal da segunda derivada de f , f ′′(x), ou seja a concavidade é para cima se f ′′(x) > 0 e para baixo se f ′′(x) < 0. A segunda derivada de f é dada por f ′′(x) = 2 3 + x4 x4 . Então, f ′′(x) > 0, ∀x ∈ R∗. Ou seja, a concavidade do gráfico de f é sempre para cima. Máximos e mínimos locais Como a função f é derivável em todos os pontos de seu domínio, então os candidatos a máximo e mínimo acontecem nos pontos críticos. Os pontos críticos acontecem para x = −1 e para x + 1 e como para esses dois valores f ′′(x) > 0, então esses dois pontos são mínimos locais. Os pontos de inflexões. Como a concavidade do gráfico sempre é para cima, não há pontos de inflexão. Os limites da função Como o domínio de f é o conjunto dos reais menos o zero, devemos calcular os limites para x → 0 e também para x → ±∞, ou lim x→±∞ [ x4 + 1 x2 ] = lim x→±∞ [ x2 + 1 x2 ] = +∞. Observe esse último limite e verifique que o gráfico de f se aproxima, tanto quanto se queira da função x2, quando fazemos x → ±∞. Isto nos lembra a definição de assíntotas! Com base nestas informações, apresentamos na Figura 4.11 um esboço do gráfico da função f (x) = x4 + 1 x2 . y = x 4+1 x2 y = x2 −1 1 Figura 4.11: Gráfico de x 4+1 x2 . Resumimos no próximo quadro um roteiro para obtenção de gráficos. Obtenção do gráfico de funções. Seja f uma função real. Então, para esboçar o gráfico de f determine, sempre que possível, 1. O domínio de f . 2. Os pontos em que o gráfico dela intercepta os eixos coordenados. 3. Os pontos críticos. 4. Os intervalos em que ela é crescente e aqueles em que é decrescente. 5. Os intervalos do gráfico que têm concavidade voltada para baixo e aqueles em que a concavidade é voltada para cima. 6. Os pontos de máximos e os pontos de mínimos locais. 7. Os pontos de inflexões. 8. Os limites quando x tende aos extremos do domínio da função. 9. As assíntotas. Máximo e Mínimo Absolutos Definimos os pontos de máximos e mínimos locais como sendo pontos que estão numa vizinhança (intervalo) determinada, mas poderíamos querer também aqueles pontos de máximo ou de mínimo de f em todo seu domínio, ou seja, absolutos. Temos então a seguinte definição: Máximo e mínimo absoluto Seja f uma função real definida em D. Um número c ∈ D é ponto de máximo absoluto de f se e somente se f (c) for o maior valor que f assume em D, isto é, f (c) ≥ f (x) para todo x em D. mínimo absoluto de f se e somente se f (c) for o menor valor que f assume em D, isto é, f (c) ≤ f (x) para todo x em D. O número f (c) é o valor máximo ou valor mínimo absoluto de f em D. Vamos apresentar alguns exemplos para que possamos entender melhor esses concei- tos. Exemplo 4.14. Um exemplo muito conhecido é o da função quadrática que possui um único ponto de máximo ou de mínimo absoluto que é o x do vértice e cujo valor máximo ou mínimo absoluto é o y do vértice. Exemplo 4.15. A função f (x) = sen(x) (a) f (x) = x3 + x2 − x + 1, −2 ≤ x ≤ 0, 75. (b) g(x) = x4 + 43 x 3 − 4x2, −3 ≤ x < 2. 2. Deseja-se construir uma caixa sem tampa em forma de cilindro circular reto de vo- lume dado. Determine as dimensões mais econômicas. Entende-se por dimensões mais econômicas, aquelas de menor área. 3. Uma rede de transmissão de energia elétrica ligará o centro de distribuição situado à margem de um rio com 100 metros de largura a um conjunto residencial situado na outra margem do rio a 1 quilômetro abaixo do centro de distribuição. O custo da rede através do rio é de 640 reais por metro linear, enquanto, em terra, é de 320 reais. terra água C R 1 km 100 m Figura 4.13: Esboço do rio com o centro de distribuição (C) e o residencial (R). (a) Escreva uma expressão que dá o custo da obra em função do comprimento da rede. (b) De que forma seria essa rede para ter o menor custo? (c) Como seria o gráfico dessa função? 4. Determine a altura do cilindro circular reto, de volume máximo, inscrito na esfera de raio R dado. 5. Um cocho (calha) deve ser construído dobrando uma peça metálica de dimensões 90 centímetros por 20 metros e de modo que as seções transversais sejam trapézios isósceles e de lados iguais, cada lado medindo 30 centímetros. Determine o ângulo de dobradura que possibilite o maior volume possível. 6. Um triângulo retângulo de hipotenusa √ 3 metros gira em torno de um dos seus ca- tetos gerando um cone. Determine as dimensões do cone de maior volume possível. Dê uma interpretação cotidiana para esta situação. 7. Uma lata fechada com volume fixo, digamos 1 litro, deve ter a forma de um cilindro circular reto. Determine as dimensões dessa lata de modo a gastar menos material possível em sua fabricação, entenda por quantidade de material a área superficial. 8. Duas cidades estão localizadas do mesmo lado de um rio, uma a 2 km do rio e a outra a 5 km e, além disso, uma está 10 km mais a baixo do que a outra em relação ao rio. Para fazer a coleta de água para as duas cidades será utilizado esse rio. Determine o ponto no rio em que torna a rede menor possível. 9. Qual é o ponto da curva função y = 1 x mais próximo da origem. Qual é esta distância? 10. Para esboçar o gráfico de uma função é interessante observar o seguinte roteiro: • Qual é o domínio. • Se o gráfico intercepta os eixos coordenados e onde isto ocorre. • Determinar os pontos críticos, caso existam. • Determinar os intervalos em que a função é crescente e onde é decrescente, • Caracterizar os pontos críticos com relação a máximos e mínimos, • Estudar a concavidade do gráfico, • Calcular os limites quando a variável tende aos pontos extremos do domínio, • Indicar as assíntotas, caso existam. Utilize essas informações para esboçar o gráfico de cada uma das funções: (a) f (x) = x4 − 2x2 + 1. (b) f (x) = 2x x2 + 1 . (c) f (x) = x 3 − x . (d) f (x) = x2 + 3 x − 1 . (e) f (x) = x x2 − 4 . (f) f (x) = x2 + 9 x2 − 4 . (g) f (x) = 2x x2 + 1 . Capítulo 5 Integração Vimos que a derivada de uma função, dentre outras coisas, nos dá a velocidade de um movimento em cada instante e também que a derivada de velocidade nos dá a acelera- ção. Portanto, dada a função espaço de um objeto, podemos determinar as suas funções velocidade e aceleração. O que pretendemos agora é propor a situação inversa, isto é, dada uma função veloci- dade, encontrar uma função espaço, ou mesmo, dada a aceleração encontrar a velocidade e o espaço. Como fazer isto? Eis a questão. Como sempre, vamos iniciar o nosso estudo com a análise de um exemplo. Exemplo 5.1. Se a velocidade de um objeto é dada pela função v(t) = 3t + 2, qual é a função espaço? Ora, conhecendo a função espaço associada a um objeto, podemos obter a sua função velocidade, bastando para isto derivar a função espaço. Assim, uma resposta para esse problema é determinar uma função cuja derivada seja a função v(t) dada, ou ainda determinar uma função s(t) tal que d dt (s(t)) = 3t + 2 = v(t). Uma resposta poderia ser s(t) = 3t2 2 + 2t, pois ela satisfaz que sua derivada é exatamente a função v(t). Na verdade, observe que qualquer função que satisfaça esta condição poderia ser uma solução, como por exemplo, a função s(t) = 3t2 2 + 2t + 8. também satisfaz a condição. Entretanto, se tivermos uma informação a mais, por exemplo, que o espaço inicial, digamos s(0) = 5, a solução dessa questão seria s(t) = 3t2 2 + 2t + 5. Em geral, o que pretendemos é resolver a seguinte questão: Dada a derivada de uma função, determinar a função, ou melhor, determinar todas as funções que têm aquela como derivada. Por exemplo, as funções que tem derivada y′ = 2x são do tipo y = x2 + k, qualquer que seja o número real k. (c) Esboce os gráficos das curvas encontradas nos itens anteriores em um mesmo sistema de coordenadas. 5. Um móvel se desloca com aceleração a(t) = 2t + 4 m/s2. No instante t = 2s , o móvel encontra-se a 10m da origem e sua velocidade é 4m/s . Determine a equação horária do movimento. 6. Determinar uma curva y = f (x) que possui as propriedades: • a derivada segunda é y ′′ = 6x; • seu gráfico contém o ponto (0, 1), tendo neste ponto uma reta tangente horizon- tal. Quantas curvas com essas propriedades existem? Explique sua resposta. 7. Observando as definições de integral indefinida e da derivada, e a relação entre elas podemos concluir propriedades da integral indefinida, que são: • A integral de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela integral da função, isto é, ∫ k f (x)dx = k ∫ f (x)dx. Para verificar esse fato, basta observar que (kF(x))′ = k(F(x))′ • A integral da soma ou diferença de funções é igual à soma ou diferença das integrais das funções, isto é, ∫ [ f (x) + g(x)]dx = ∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx. Para verificar esse fato, basta observar que (F(x)± G(x))′ = F′(x)± G′(x). Utilizando as propriedades descritas acima, escreva o valor de cada uma das integrais indefinidas a seguir e comprove sua resposta: (a) ∫ (x2 − 4x + 1)dx. (b) ∫ sen2(x)dx = ∫ 1 − cos(2x) 2 dx. (c) ∫ cos2(x)dx = ∫ 1 + cos(2x) 2 dx. (d) ∫ (ax + b)2dx. 8. Um balão que sobe a uma velocidade de 4 m/s está a uma altura de 30 metros acima do solo quando um objeto é solto fora do balão. Em quanto tempo o objeto atinge o solo? Vamos modelar esse problema matematicamente. Para isto, observe que chamando de v(t) a velocidade do objeto no instante t, e s(t) a altura acima do solo. A aceleração da gravidade próximo do solo é aproximadamente 9,7 m/s2. Assim, podemos modelá-lo pelas expressões { dv dt = −9, 7 v(0) = 4 . Isto permite determinar a velocidade do objeto em cada instante. Daí o espaço percorrido e, conseqüentemente, o tempo. 9. A equação x2 + y2 = C define implicitamente tanto x como função y, quanto y como função x, que derivando-a implicitamente obtemos a relação dy dx = −x y . Essa equação pode ser escrita na forma ydy = −xdx e integrando ambos os membros, o primeiro em relação a y e o segundo em relação a x, obtemos y2 2 + C1 = − x2 2 + C2 ou ainda x2 + y2 = C, onde C = 2(C2 − C1). Utilize esse mesmo procedimento e resolva as próximas ques- tões: (a) Obtenha a família de funções que satisfaz a condição dT dt = k(T − T0), onde k e T0 são constantes; (b) Para essa família encontrada obtenha aquele indivíduo que satisfaz as condições: T(0) = 100, T0 = 25 e T(5) = 90. (c) Esboce o gráfico da função encontrada no item anterior. 10. Em certa cultura onde a velocidade de crescimento de bactérias é proporcional à quantidade existente, o número dobra em 2 horas, e ao fim de 10 horas existem 6 milhões de bactérias. Quantas bactérias existiam inicialmente? 11. Uma viga de metal foi trazida de uma região muito fria, para dentro de uma oficina, onde a temperatura era mantida em 650F. Após 10 minutos a temperatura da viga estava a 350F e em mais 10 minutos, atingiu 500F. Use a lei de resfriamento de New- ton para estimar a temperatura inicial da viga, aquela em que ela estava antes de ser colocada na oficina. Lei de resfriamento de Newton: a variação da temperatura de um corpo é proporcional à dife- rença da temperatura do corpo e a do meio ambiente. 5.2 Técnicas de integração. Existem algumas técnicas que permitem transformar certas integrais indefinidas em que, não se conhece uma primitiva da função a ser integrada, em outra mais simples e que uma primitiva é conhecida de imediato e, a partir dela, obtém-se uma primitiva da função "original"a que se pretende calcular a integral. Dentre as técnicas, consideraremos nesse texto duas delas: Integrais por substituição e integrais por partes. 5.2.1 Integrais por substituição Esta técnica corresponde à regra da cadeia para derivada, obviamente no sentido in- verso. Iniciaremos apresentando alguns exemplos de integrais que podem ser calculadas por mudança de variáveis (substituição de variáveis): Exemplo 5.3. Calcular ∫ (1 + x2)xdx. Fazendo u = 1 + x2, obtemos que du = 2xdx ou xdx = 1 2 du. Substituindo tanto x como dx na integral ficamos com: ∫ (1 + x2)xdx = ∫ u 1 2 du = 1 2 ∫ udu = 1 2 u2 2 + C = u2 4 + C, e retornando as variáveis originais, ou seja, substituindo u = 1 + x2, ficamos com ∫ (1 + x2)xdx = (1 + x2)2 4 + C. E essa resposta está correta? Ora, basta verificar se a derivada dessa função é igual ao integrando, ou ainda d dx ( (1 + x2)2 4 ) = 1 4 · 2(1 + x2) · 2x = (1 + x2)x. Observe que a substituição não é única! Poderíamos ter feito u = x2 ou u = ln(x) ou mesmo u = sen(x). Então, como decidir qual a melhor? A resposta é uma só: Experiência! Assim, resolva-as! Exemplo 5.4. Calcule ∫ x3 √ 1 + x2dx. Observe que podemos escrever esta integral na forma ∫ x2 √ 1 + x2 · xdx. Assim, vamos tentar com a mesma substituição do exemplo anterior e verificar se funciona. Fazendo u = 1 + x2, como antes temos que du = 2xdx ou xdx = 1 2 du. Com essa mudança temos que ∫ x2 √ 1 + x2 · xdx = ∫ (u − 1) √ u 1 2 du = 1 2 ∫ (u3/2 − u1/2)du = 1 2 ( u5/2 5/2 − u 3/2 3/2 ) + C voltando à variável inicial, ou seja para variável x, obtém-se: ∫ x2 √ 1 + x2 · xdx = 1 2 ( 2 5 (1 + x2)5/2 − 2 3 (1 + x2)3/2 ) + C, ou, ∫ x2 √ 1 + x2 · xdx = ( 1 5 (1 + x2)5/2 − 1 3 (1 + x2)3/2 ) + C. Como antes, vamos verificar se a resposta está correta. d dx ( 1 5 (1 + x 2)5/2 − 13 (1 + x2)3/2 ) = 15 · 52 (1 + x2)3/2 · 2x − 13 · 32 (1 + x2)1/2 · 2x = (1 + x2)3/2x − (1 + x2)1/2x = √ 1 + x2 · x · (1 + x2 − 1) = x3 √ 1 + x2 Portanto devemos escolher dv de forma a que saibamos integrá-lo. Daí o nome: integração por partes. Escolhendo, então, u = ln(x) temos que du = 1 x dx e dv = xdx ⇒ v = x 2 2 + C. Podemos escolher qualquer valor para C, como por exemplo, C = 0. Daí termos, ∫ x ln xdx = x 2 2 ln x − ∫ x2 2 1 x dx = x 2 2 ln x − 12 ∫ xdx = x 2 2 ln x − x 2 4 + C . Verifique a resposta! O próximo exemplo é muito interessante e curioso, pois calculamos a integral sem na verdade resolvê-la. Observe a solução atentamente, pois em casos similares sempre será um bom caminho! Exemplo 5.7. Calcular ∫ exsen(x)dx. Fazendo { u = ex dv = sen(x)dx obtemos que { du = exdx v = −cos(x) Logo, ∫ exsen(x)dx = −excosx + ∫ excosxdx. A integral do lado direito da igualdade é similar a integral do lado esquerdo. Aplicamos então a mesma técnica novamente a essa integral. Ou seja, fazendo { ū = ex dv̄ = cos(x)dx obtemos que { dū = exdx v̄ = sen(x) e, ∫ exsen(x)dx = −excosx + ∫ excosxdx = −excosx + (exsen(x)− ∫ exsen(x)dx). Observe que no segundo membro dessa equação temos a mesma integral do membro a esquerda, assim, agrupando-as, teremos o resultado procurado. Portanto, 2 ∫ exsen(x)dx = exsen(x)− excosx, e assim finalmente, ∫ exsen(x)dx = ex 2 (sen(x) − cosx) + C. Verifique a resposta! O próximo exemplo apresenta uma outra estratégia interessante que serve muito bem a funções racionais, ou seja, funções que sejam quocientes de polinômios. Na literatura recebe o nome de Decomposição em frações parciais. Vejamos como isso funciona! Em muitos livros, essa estratégia quando aplicada a resolução de integrais recebe o nome de Técnica da decomposição em frações parciais. Exemplo 5.8. Calcular a integral ∫ ( x − 1 x3 − x2 − 2x ) dx. Observemos inicialmente que o denominador pode ser decomposto em produtos de polinômios. Para isso basta determinarmos suas raízes, que no caso são −1, 0 e 2. Podemos então escrever o denominador na forma: x3 − x2 − 2x = x(x + 1)(x − 2). Ora, podemos escrever a fração como uma soma de frações da forma x − 1 x3 − x2 − 2x = A x + B x + 1 + C x − 2 . Para determinarmos os valores de A, B e C, basta tirar o m.m.c e igualar os numeradores e assim ficamos com x − 1 = A(x − 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 2) = (A + B + C)x2 + (−A + B − 2C)x − 2A. Queremos que essa identidade valha para todo x, então devemos ter que    A + B + C = 0 −A + B − 2C = 1 −2A = −1 Desse sistema de equações obtemos que A = 1/2, B = 1/6 e C = −2/3. Ou seja, podemos escrever x − 1 x3 − x2 − 2x = 1 2x + 1 6(x + 1) − 2 3(x − 2) . E agora, fica muito simples calcular a integral, pois ∫ x − 1 x3 − x2 − 2x dx = ∫ 1 2x dx − ∫ 2 3(x + 1) dx + ∫ 1 6(x − 2)dx = 1 2 ∫ 1 x dx − 2 3 ∫ 1 (x + 1) dx + 1 6 ∫ 1 (x − 2)dx = 1 2 ln(x) − 2 3 ln(x + 1) + 1 6 ln(x − 2) + C = 1 6 ln ∣ ∣ ∣ ∣ Cx3(x − 2) (x + 1)4 ∣ ∣ ∣ ∣ . 5.2.2 Exercícios 1. Resolva as integrais: (a) ∫ (5x2 + 1)4dx. (b) ∫ x2 √ 9 + x3dx. (c) ∫ 3x2 + 2x x3 + x2 dx; (d) ∫ e−x 2 xdx. (e) ∫ x2exdx. (f) ∫ ln(x)dx. (g) ∫ x3√ 1 − x2 dx. (h) ∫ xe3xdx. (i) ∫ sec3 xdx. (j) ∫ √ 9 − x2 x2 dx. (k) ∫ √ 9 + x2dx. 2. Mostre a igualdade x3 + x x − 1 = x 2 + x + 2 + 2 x − 1 , e a utilize para calcular a integral ∫ x3 + x x − 1 dx. 3. Usando frações parciais, resolva as integrais: (a) ∫ x2 x2 + x − 6 dx. (b) ∫ 5x − 2 x2 − 4 dx. (c) ∫ 4x − 2 x3 − x2 − 2x dx. 4. Uma partícula se move em linha reta de tal modo que sua velocidade v m/s é dada pela expressão v(t) = t + 3 t2 + 3t + 2 . Determine a função que expressa a distância percorrida pela partícula. 5. Resolva a integral ∫ x2 − 2x − 3 (x − 1)(x2 + 2x + 2)dx. ou ainda que A(b) = F(b) − F(a). que é a área total. Nesse caso, ou seja o do cálculo da área sob uma curva como dada acima, que é A(b) = F(b) − F(a), onde a função F é uma primitiva da função f dada, chamaremos de integral definida de f calculada de a até b e denotaremos por A(b) = ∫ b a f (x)dx =F(b) − F(a). Na verdade o conceito de integral definida é bem mais geral do este que aqui apresen- tamos, pois neste caso foi apenas para o cálculo de área. Vamos exercitar através de alguns exemplos. Exemplo 5.9. Calcular a área do trapézio dado pela delimitação do gráfico de y = 2x + 1, x ∈ [1, 3] e pelo eixo x. y = f (x) 1 3 Figura 5.3: Exemplo 5.9 – Cálculo da área delimitada pela função y = 2x + 1 e pelo intervalo [1, 3]. Resolução: Uma primitiva de y = 2x + 1 é F(x) = x2 + x. Portanto, a área é A = F(3)− F(1) = (32 + 3) − (12 + 1) = 10 Se calculássemos usando a fórmula da área do trapézio, teríamos A = (3 + 7) 2 2 = 10. Entretanto, o método utilizado com a aplicação do TFC é geral, não serve apenas para os casos em que existem fórmulas. Veja o exemplo a seguir. Exemplo 5.10. Calcular a área da figura delimitada pelo gráfico de y = x2, x ∈ [1, 3] e o eixo x. Uma primitiva de y = x2 é F(x) = x3 3 . Portanto, a área é A = F(3)− F(1) = 3 3 3 − 1 = 8. Exemplo 5.11. Calcular a área da figura dada pela delimitação do gráfico de y = √ r2 − x2, x ∈ [0, r] e o eixo x. Uma primitiva de y = √ r2 − x2 é F(x) = r2 2 (arcsen( x r )− x r √ r2 − x2). Portanto, a área é A = F(3)− F(1) = πr 2 4 . Que figura é essa? Faça o gráfico dela e compare com x2 + y2 = r2. Prosseguindo nosso raciocínio geométrico, vamos a uma segunda situação. Vamos retirar a hipótese de que a função f : [a, b] → R seja positiva, ou seja vamos considerar uma função "qualquer", mas que ainda seja contí- nua. Faça o gráfico que represente a função imaginada por você agora. Considere a função definida por Considere a função A : [a, b] → R x a soma das áreas (valor com sinal) delimitadas pelo gráfico de f e pelo intervalo [a, x] contido no eixo x. A área terá sinal positivo nos intervalos em que o gráfico de f estiver acima do eixo x e negativa naqueles intervalos onde o gráfico estiver abaixo do eixo x. A+ A+ A− y = f (x) a b Figura 5.4: Áreas com sinais, positivas se acima do eixo x (em verde) e negativas se abaixo do eixo x (em vermelho). Para essa função f não podemos afirmar que a função Ψ(x) é crescente nem decrescente em [a, b], pois à medida que x aumenta, a soma das áreas definidas acima tanto podem aumentar como diminuir, depende do comportamento da função f . Explique este fato!. A função Ψ(x) é contínua em [a, b], pois para "pequenas" variações de x têm-se va- riações "pequenas"para Ψ(x); ela tem mínimo e máximo absolutos em [a, b], pois essa fun- ção é contínua em intervalo fechado, mas não podemos dizer em quais pontos eles ocorrem, também não é possível dizer seus valores. Outro fato importante sobre a função é que Ψ(a) = 0 e Ψ(b) é a soma total das áreas, tomadas positivas e negativas conforme for a função f . As informações que temos sobre a função Ψ(x) são insuficientes para o esboço de seu gráfico. Entretanto, podemos falar de uma das mais importantes propriedades que ela tem. A função Ψ(x) é derivável em (a, b) e, a derivada de Ψ é a função f , isto é Ψ ′(x) = f (x), x ∈ (a, b). Justificativa: É a mesma feita para a função positiva f , pois a base da prova naquele caso foi a exis- tência de mínimo e máximo absolutos em cada intervalo fechado de seu domínio. Uma conseqüência importante desse resultado é que se uma função F for uma primitiva qualquer de f , então Ψ(b) = Ψ(b) − Ψ(a). Isto quer dizer que a área sob a o gráfico de f calculada de a até b é dada pela diferença dos valores F(b) e F(a) Justificativa: A mesma feita anteriormente, isto é, se F é outra primitiva de f, então Ψ(x)− F(x) = C, x ∈ [a, b]. Substituindo nesta igualdade os valores x = a e x = b, temos: Ψ(a) − F(a) = C, mas, Ψ(a) = 0 ⇒ C = −F(a) e Ψ(b) − F(b) = C ⇒ Ψ(b) = F(b) − F(a). O número Ψ(b) é a integral definida de f em [a, b] e a denotamos por Ψ(b) = ∫ b a f (x)dx =F(b) − F(a). Algumas propriedades da integral definida podem ser observadas imediatamente de modo intuitivo, são elas: • Se f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b], então ∫ b a f (x)dx ≥ 0 e esse número é a área abaixo do gráfico de f e acima do eixo x entre a e b. • Se f (x) ≤ 0, ∀ x ∈ [a, b], então ∫ b a f (x)dx ≤ 0 e esse número é o valor da área acima do gráfico de f e abaixo do eixo x entre a e b, porém, com sinal negativo. • Se f (x) ≥ g(x), ∀ x ∈ [a, b], então ∫ b a f (x)dx ≥ ∫ b a g(x)dx. • Se m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b], então m(b − a) ≤ ∫ b a f (x)dx ≤ M(b − a). (b) Se f for uma função ímpar, isto é, se satisfaz a condição − f (x) = f (−x), ∀x, então ∫ a −a f (x)dx = 0. 3. Use integral para calcular a área de um círculo de raio R. 4. O centro de massa de uma placa com densidade uniforme está localizado no ponto (x̄, ȳ), onde (x̄, ȳ) = ( 1 A ∫ b a x f (x)dx, 1 2A ∫ b a [ f (x)]2dx ) . Calcule o centro de massa para (a) uma placa coincidente com a região delimitada pelo gráfico da função y = 4, x ∈ [−2, 2] . Que figura é essa? O resultado é de fato coerente com sua intuição? (b) uma placa semicircular de raio R. O resultado é de fato coerente com sua intui- ção? 5. Escreva a equação da reta tangente e da reta perpendicular ao gráfico da função f (x) = √ 9 − x2, em x = 2. Esboce os gráficos da função e das duas retas em um mesmo sistema de coordenadas. 6. Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = √ 9 − x2 que seja perpendicular à reta y = 2x + 5. Esboce os gráficos no mesmo sistema. 7. Supondo que y seja uma função de x é dada pela equação abaixo, calcule dy/dx. (a) x2 + y2 = 9. (b) x + 2y − 1 = xy. 8. A derivada de uma função f é f ′(x) = 3x2 − 6x. Esboce o gráfico de f , sabendo-se que o ponto (1, 3) pertence a ele. 9. Para esboçar o gráfico de uma função é interessante observar os seguintes detalhes: • Qual é o domínio. • Se o gráfico intercepta os eixos coordenados e onde isto ocorre. • Determinar os pontos críticos, caso existam. • Determinar os intervalos em que a função é crescente e onde é decrescente. • Caracterizar os pontos críticos com relação a máximos e mínimos. • Estudar a concavidade do gráfico. • Calcular os limites quando a variável tende aos pontos extremos do domínio. • Indicar as assíntotas, caso existam. Utilize essas informações para esboçar o gráfico de cada uma das funções: (a) f (x) = x4 − 2x2 + 1. (b) f (x) = 2x x2 + 1 . (c) f (x) = x 3 − x . (d) f (x) = x2 + 3 x − 1 . (e) f (x) = x x2 − 4 . 10. Calcule as integrais indefinidas: (a) ∫ x2 √ 2x3 − 7dx (b) ∫ x 1 + x2 dx (c) ∫ 1 2 + x2 dx (d) ∫ xsen(x)dx (e) ∫ excosxdx (f) ∫ 1 1 − x2 dx (g) ∫ ln x dx. 11. Calcule a área delimitada pelo eixo x e o gráfico de (a) y = 3x + 1, 0 ≤ x ≤ 2. (b) y = x2 + 2, 0 ≤ x ≤ 2. 12. Uma função y = f (x) definida em (a, b) é diferenciável em um ponto x0 ∈ (a, b) se existir um número real m e uma função R, que dependa unicamente da variação ∆x = x − x0 , de modo que f (x0 + ∆x) = f (x0) + m∆x + R(∆x), com R(∆x) → 0, quando ∆x → 0. O termo m∆x é chamado de diferencial y = f (x) em x0 e é denotado por dy. Para exemplificar, mostre que y = x2 é diferenciável em x = 5 , ou melhor, em x = x0 qualquer. Calcule a diferencial de y = x, em x = x0 . 13. Dê uma interpretação geométrica da diferencial e calcule, usando diferencial, o valor aproximado de √ 8 e de sen(310). 14. Mostre que, para x próximo de zero, sen(x) ∼= x . Referências Bibliográficas [1] Camargo, M. A. e Medrado, J. C. R., Fundamentos de Matemática, in: Curso de licen- ciatura em física/Universidade Católica de Goiás, Universidade Estadual de Goiás, Universidade Federal de Goiás – Goiânia: UCG/UEG/UFG, Consórcio Setentrional: educação a distância, (2008). [2] Resnick, R. e Halliday, D., Física 1, Livros Técnicos e Científicos Editora, (1983). [3] Fleming, D. M. e Gonçalves, M. B., Cálculo A, Makron, São Paulo - SP, (1992). [4] Guidorizzi, H. L., Um Curso de Cálculo, Volume I, LTC, Rio de Janeiro - RJ, (2002). [5] Hugles-Hallett, D. et al, Cálculo Aplicado, LTC, Rio de Janeiro - RJ, (2005). [6] Leithold, L., O Cálculo com Geometria Analítica, Volume 1, Harbra, São Paulo - SP, (1994). [7] Leithold, L., Matemática Aplicada à Economia e Administração, Harbra, São Paulo - SP, (1988). [8] Machado, A. S., Matemática: Funções e Derivadas, Coleção Temas e Metas, Volume 6, Atual, Rio de Janeiro - RJ, (1988). [9] Urbano, R. M. et al, Cálculo Diferencial e Integral - funções de uma variável, Coleção Didá- tica N. 9 - CEGRAF, UFG - Goiânia, (1992). [10] Thomas, G. B., Cálculo - Volume 1, Pearson Education do Brasil, São Paulo - SP, (2002). [11] Stewart, J., Cálculo, Volume I, Thompson, São Paulo - SP, (2007). [12] Swokowski, E. W. Cálculo com Geometria Analítica, Makron, São Paulo - SP, (2004).