Manual de Analise Matematica I para 2010-2011

Manual de Analise Matematica I para 2010-2011

(Parte 1 de 11)

Conteudo

1.1 Sucessoes1
1.1.1 Conceitos gerais1
1.1.2 Progressoes aritmeticas7
1.1.3 Progressoes geometricas9
1.1.4 Operacoes aritmeticas13
1.2 Limites de sucessoes14
1.2.1 Infinitamente grandes e infinitesimos14
1.2.2 Limites e convergencia19
1.2.3 Teoremas de convergencia23
1.3 Series25
1.3.1 Convergencia e soma25
1.3.2 Criterios de convergencia31
1.3.3 Series de termos nao negativos3
1.3.4 Series de sinal variavel36
1.3.5 Series de potencias37
1.4 Exercıcios40
2.1 Generalidades43
2.2 Representacao de funcoes45
2.3 Introducao ao estudo de funcoes61
2.3.1 Domınio e contradomınio61
2.3.2 Monotonia, extremos e assımptotas65
2.3.3 Analise de graficos de funcoes68
2.4 Funcao exponencial e funcoes trigonometricas70
2.4.1 Funcao exponencial71
2.4.2 Funcoes trigonometricas72
2.5 Operacoes com funcoes79
2.5.1 Operacoes aritmeticas79
2.5.2 Composicao83
2.5.3 Funcao inversa87
2.6 Limites e continuidade96
2.6.1 Nocoes basicas de topologia96
2.6.2 Limite duma funcao num ponto9
2.6.3 Continuidade e calculo de limites102
2.6.4 Funcoes definidas por ramos110
2.6.5 Determinacao de assımptotas de graficos de funcoes114

2 Funcoes reais de variavel real 43 i

2.7 Exercıcios119

i CONTEUDO

3.1 Nocao de derivada123
3.2 Calculo de derivadas de funcoes elementares132
3.2.1 Funcoes polinomiais132
3.2.2 Funcoes trigonometricas138
3.2.3 Regra da cadeia139
3.2.4 Funcao exponencial141
3.2.5 Operacoes com funcoes143
3.2.6 Derivadas de ordem superior148
3.3 Formula de Taylor150
3.3.1 Definicao e primeiros exemplos150
3.3.2 Formula de erro158
3.3.3 Determinacao de coeficientes de polinomios163
3.4 Estudo de funcoes165
3.4.1 Extremos e monotonia165
3.4.2 Pontos de inflexao e concavidade169
3.4.3 Construcao do grafico de funcoes171
3.5 Propriedades das funcoes diferenciaveis184
3.6 Exercıcios190
4.1 Introducao195
4.2 Primitivas imediatas197
4.3 Determinacao das constantes de primitivacao203
4.4 Primitivacao de funcoes racionais206
4.4.1 Divisao de polinomios209
4.4.2 Factorizacao de polinomios210
4.4.3 Decomposicao de fraccoes proprias210
4.5 Primitivacao por substituicao215
4.6 Primitivacao por partes2
4.6.1 Produtos por polinomios2
4.6.2 Logaritmos e funcoes trigonometricas inversas226
4.6.3 Produtos de exponenciais por funcoes trigonometricas228
4.6.4 Miscelanea231
4.7 Exercıcios232
5.1 Areas de figuras planas237
5.2 Definicao analıtica do integral definido240
5.3 Integral indefinido e o Teorema Fundamental do Calculo248
5.4 Calculo de integrais252
5.5 Aplicacoes255
5.5.1 Calculo de areas255
5.5.2 Comprimentos de curvas260
5.5.3 Volumes de solidos de revolucao264
5.6.1 Integrais improprios de 1a especie271
5.6.2 Criterios de convergencia274
5.6.3 Relacao com as series277
5.6.4 Integrais improprios de 2a especie280
5.6.5 Integrais improprios mistos285
5.6.6 Valor principal de Cauchy286

iv CONTEUDO iv CONTEUDO

Introducao

Estes apontamentos foram escritos para servir de apoio a disciplina de Analise Matematica I dos cursos de licenciatura da Escola Superior Nautica Infante D. Henrique.

Para alem da preocupacao de abordar todos os aspectos no programa da disciplina, foram incluıdos diversos paragrafos destinados a desenvolver a intuicao a volta das varias questoes que vao sendo discutidas. Os exemplos incluıdos focam situacoes de aplicacao pratica em diversas areas de interesse para os alunos, incluindo algums assuntos que serao desenvolvidos posteriormente noutras disciplinas.

Teve-se ainda especial cuidado nas seccoes introdutorias por forma a garantir que o conteudo dos apontamentos e acessıvel mesmo aos alunos com menor preparacao a Matematica. Assim, reveem-se diversos conceitos que fazem parte dos programas do Ensino Secundario e que sao relevantes para esta disciplina.

Paco d’Arcos, Setembro de 2010

Luıs Cruz-Filipe e Patrıcia Engracia

Capıtulo 1 Sucessoes e series reais

O primeiro capıtulo destes apontamentos e dedicado as sucessoes e series de numeros reais. A inclusao deste topico num texto de Analise Matematica deve-se nao so ao facto de sucessoes e series serem ferramentas de trabalho extremamente uteis no estudo de funcoes, mas tambem ao seu interesse intrınseco em diversas outras areas de aplicacao, nomeadamente na Estatıstica e na area de metodos computacionais — nomeadamente a nıvel da Analise Numerica e da Simulacao Computacional. Finalmente, o estudo de sucessoes e series permite introduzir num contexto mais simples varios conceitos fundamentais da Analise Matematica, que serao posteriormente generalizados ao contexto das funcoes reais de variavel real.

1.1 Sucessoes

1.1.1 Conceitos gerais

Uma sucessao de numeros reais e simplesmente uma sequencia infinita de numeros. Tipicamente, usamos letras minusculas para designar sucessoes (u, v, w, e assim sucessivamente) e referimo-nos ao n-esimo termo da sucessao u como un. Por exemplo, u2 designa o segundo termo da sucessao u, enquanto w4 se refere ao quarto termo da sucessao w.

Exemplo. As seguintes sequencias sao exemplos de sucessoes reais.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . .
0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1,3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592, . . .

Todas estas sucessoes tem uma regularidade bastante clara. A primeira e a sucessao dos numeros naturais; a segunda e a sucessao dos quadrados perfeitos; a terceira alterna os valores 0 e 1; a quarta e a sucessao das aproximacoes decimais de pi; e a quinta alterna o valor 1 com os numeros pares negativos.

Contudo, nao e necessario que uma sucessao tenha qualquer regularidade. As seguintes sucessoes tambem sao perfeitamente legıtimas.

0.12, 0.25, 0.01, 0.04, 0.26, 0.69, 0.09, 0.9, 0.01,
, 0.27, 3000, pi,

Este tipo de sucessoes corresponde muitas vezes a dados experimentais; por exemplo, a ultima sucessao acima apresentada poderia corresponder ao numero de automoveis que passam uma cabine de portagem durante perıodos consecutivos de 120 minutos.

Na maioria das situacoes que vamos considerar, estaremos interessados em sucessoes que exibem um comportamento regular, a semelhanca do primeiro grupo do exemplo anterior. Nestes casos, ha interesse em escrever a sucessao nao como a sequencia dos seus elementos, mas como uma regra que nos permite obter qualquer termo de forma sistematica. Por exemplo, seja u a sucessao dos numeros naturais.

u = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

Usando a notacao que referimos acima, podemos dizer que u1 = 1, u2 = 2, u3 = 3, e assim por diante. Assim, o elemento que ocupa a posicao n naquela sequencia e precisamente n — o que podemos escrever como a regra un = n. Esta expressao diz-se o termo geral desta sucessao. A maneira de usar esta informacao e ver o sımbolo n como um espaco para inserir o valor em que estamos interessados. Assim, se quisermos saber o termo 100 da sucessao, substituımos

Exemplo.

1. Seja u a sucessao cujos termos sao

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,

O termo de ordem n de u e o n-esimo quadrado perfeito, ou seja, e precisamente n2. Entao, podemos definir esta sucessao pela expressao un = n2.

2. Seja v a sucessao cujos termos sao

0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1,

Esta sucessao alterna entre os valores 0 e 1, consoante o ındice do termo e par ou ımpar; ou seja, se n e ımpar, entao vn = 0; se n e par, entao vn = 1. Podemos representar esta condicao por meio da seguinte expressao.

Para avaliar vn, temos de comecar por decidir em qual dos casos estamos, para depois obter o valor correspondente.

3. Seja w a sucessao cujos termos sao

3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592,

Esta sucessao contem aproximacoes de pi com precisoes cada vez maiores. Nao e simples escrever uma formula que gere o termo wn, mas podemos explicita-lo por palavras: wn e uma aproximacao de pi com precisamente n algarismos significativos (ou seja, com (n−1) casas decimais).

L. Cruz-Filipe e P. Engracia

1.1. SUCESSOES 3

Temos novamente uma alternancia entre os termos de ordemımpar e os termos de ordem par. Os primeiros sao sempre iguais a 1; ja os termos de ordem par tem os simetricos dos numeros pares. O segundo termo da sucessao vale −2, o quarto vale −4, e assim sucessivamente. Podemos entao definir esta sucessao da seguinte forma.

−n n par

(a) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,

Exercıcio 1. Determine o termo geral de cada uma das seguintes sucessoes.

,
(c) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,
,
(f) 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1,
(h) 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,
(i) 2, 5, 8, 1, 14, 17, 20,
,

Exercıcio 2. Considere as sucessoes com o seguinte termo geral.

Determine os termos representados por cada uma das seguintes expressoes.

, verifique que:

(a) 2918 e um termo da sucessao;

(b) 85 nao e termo da sucessao;

(c) todos os termos da sucessao estao entre 14 e 2.

Consoante as aplicacoes, a numeracao dos termos duma sucessao pode comecar em 0 ou em 1; na realidade, ha mesmo situacoes em que e mais comodo comecar noutros valores, como −1 ou 2. Veremos mais adiante que estas diferencas nao sao relevantes. Ao longo desta seccao, comecaremos em geral por 1 para obter uma correspondencia mais directa entre oındice

Apontamentos de Analise Matematica I dum termo e a sua posicao na sequencia; posteriormente, passaremos a trabalhar contando a partir de 0.

Se retirarmos um numero (finito ou infinito) de termos a uma sucessao, mantendo a ordem, por forma a que o numero de termos restante seja infinito, obtemos uma sua subsucessao. Neste texto nao vamos insistir muito neste conceito, mas precisaremos dele mais adiante para algumas aplicacoes concretas.

Uma sucessao diz-se monotona crescente se os seus termos vao tomando valores cada vez maiores. Podemos definir esta propriedade de forma equivalente dizendo que uma sucessao u e monotona crescente se a diferenca un+1 −un for positiva, para qualquer valor de n. Da mesma forma, uma sucessao u diz-se monotona decrescente se un+1−un < 0 para qualquer valor de n. Vimos ja bastantes exemplos de sucessoes crescentes. As sucessoes de termo geral n, n2,

1 + n2, −1n ou a sucessao das aproximacoes de pi sao todas sucessoes monotonas crescentes.

Dispondo do termo geral, e normalmente simples verificar este facto de forma perfeitamente rigorosa.

Exemplo.

Observe-se a forma de calcular un+1: na expressao de un substituımos o sımbolo n pela expressao (n + 1). Recorde-se que un se le “o termo de ordem n de u”; o sımbolo n e apenas um marcador para um numero natural, que neste caso vamos preencher com o valor (n + 1).

A questao que se pode colocar nesta altura e a seguinte: qual e o interesse de verificar formalmente que uma sucessao e monotona? A resposta e geral para todas as areas da Matematica: a vantagem de fazer uma deducao formal, ou demonstracao, e garantir com certeza total que um facto se verifica. Muitas das aplicacoes da Matematica, mesmo de conceitos simples como sucessoes, sao em areas em que nao pode haver qualquer risco de erro: controle de rotas (pilotos automaticos), nomeadamente de voos; sistemas medicos (estilo pacemakers implantados); construcao de pontes; e muitos outros. Quando se pretende garantir que um desses sistemas esta correcto, nao basta olhar para ele e ter uma intuicao; e necessario verificar rigorosamente que assim se passa. Da mesma forma, e preciso ter cuidado com o comportamento de sucessoes, que pode nao ser intuitivo. Consideremos a sucessao u de termo geral un = 10n−( 1

)n . Os primeiros termos desta sucessao sao aproximadamente os seguintes.

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