Manual de Analise Matematica I para 2010-2011

Manual de Analise Matematica I para 2010-2011

(Parte 2 de 11)

L. Cruz-Filipe e P. Engracia

1.1. SUCESSOES 5

Olhando para esta tabela, poderıamos ser tentados a concluir que a sucessao era monotona crescente. Porem, se tentarmos verificar este facto rigorosamente, descobrimos que a realidade e outra.

Pode verificar-se que este valor e positivo apenas se n < 48. De facto, tabelando uns valores de un mais a frente, obtemos

mostrando que a sucessao afinal nao e crescente. Pior: se calcularmos valores de un para n um pouco mais elevado verificamos que os valores nem sequer sao sempre positivos. Tem-se e daı em diante a sucessao e na realidade decrescente.

Outro facto que a primeira vista nao e de todo obvio e que uma sucessao pode ser monotona crescente (ou decrescente) sem tomar valores arbitrariamente grandes (ou pequenos). A sucessao das aproximacoes de pi e um bom exemplo: cada termo e maior que o anterior, mas nenhum deles excede pi.

Exercıcio 4. Verifique que as seguintes sucessoes sao monotonas crescentes.

Exercıcio 5. Verifique que as seguintes sucessoes sao monotonas decrescentes.

Exercıcio 6. Para cada uma das seguintes sucessoes, determine se se trata duma sucessao monotona crescente, monotona decrescente ou se nao e uma sucessao monotona.

Vamos agora explorar um pouco a ideia de enquadrar valores duma sucessao entre entre determinados limites.

Definicao. Um numero real m diz-se um minorante da sucessao u se se tiver m ≤ un para qualquer n; um numero M diz-se um majorante de u se se tiver un ≤ M para qualquer n. Uma sucessao diz-se minorada (ou majorada) se tiver algum minorante (ou majorante) e diz-se limitada se for simultaneamente majorada e minorada.

Apontamentos de Analise Matematica I

Exemplo.

1. A sucessao dos numeros naturais, de termo geral un = n, e uma sucessao que e minorada: todos os seus valores sao positivos, logo 0 e um minorante de u. Este nao e o unico minorante de u: qualquer numero negativo x satisfaz x ≤ un; por exemplo, −2 ≤ un e −5 ≤ un para qualquer n.

Em contrapartida, a sucessao u nao e majorada: dado qualquer numero real M, podemos sempre encontrar um numero natural maior do que M, logo M nao pode ser um majorante de u. Entao a sucessao u e uma sucessao minorada que nao e majorada.

2. A sucessao v de termos −1,1,−1,1,−1,1,tem termo geral vn = (−1)n. Uma vez que

sao minorantes de v, enquanto que 1, 2 e 25 (e outros) sao majorantes de v. A sucessao v e uma sucessao majorada e minorada, logo e uma sucessao limitada.

3. A sucessao w das aproximacoes decimais de pi e outra sucessao que e limitada. Por um lado, vimos ja que a sucessao e crescente, pelo que todos os seus valores sao maiores do que 3. O numero 3 e entao um minorante de w. Por outro lado, como wn < pi para qualquer n, temos que pi e um majorante de w.

−1,2,−3,4,−5,6,−7,Esta sucessao nao e majorada nem minorada. De facto, os ter-

4. A sucessao u de termo geral un = (−1)n × n e uma sucessao cujos primeiros termos sao mos pares da sucessao u atingem valores maiores que qualquer numero real, donde u nao pode ter majorantes; e os seus termosımpares atingem valores negativos arbitrariamente grandes, pelo que a sucessao tambem nao pode ter minorantes.

5. A sucessao u de que falamos atras, definida por un = 10n − ( 1 e majorada mas nao minorada. De facto, vimos que u e crescente ate ao termo u49, sendo decrescente a partir daı; uma vez que u49 < 384, esse valor e um majorante da sucessao. Para valores maiores de n, o termo un vai diminuindo de valor cada vez mais rapidamente, pelo que a sucessao nao tem minorantes.

Existem algumas relacoes entre monotonia e majoracao ou minoracao. Se uma sucessao for monotona crescente, por exemplo, significa que os seus termos estao ordenados por ordem crescente, pelo que o primeiro e o menor de todos. Entao essa sucessao e minorada (pelo seu primeiro termo). Um raciocınio analogo para o caso em que a sucessao e decrescente permite estabelecer o seguinte resultado.

Proposicao. Seja u uma sucessao. - Se u e monotona crescente, entao u e minorada.

- Se u e monotona decrescente, entao u e majorada.

Note-se contudo que estas condicoes sao em geral demasiado fortes. A ultima sucessao considerada no exemplo anterior mostra isto: tratava-se duma sucessao que era decrescente a partir do 49o termo, mas nao deixava por isso de ser majorada. Assim, podemos reforcar aquele resultado.

Proposicao. Seja u uma sucessao.

- Se existe um valor N tal que un+1 > un para n > N, entao u e minorada.

- Se existe um valor N tal que un+1 < un para n > N, entao u e majorada.

L. Cruz-Filipe e P. Engracia

1.1. SUCESSOES 7

1.1.2 Progressoes aritmeticas

Ha dois tipos de sucessoes que sao particularmente recorrentes em problemas praticos: as progressoes aritmeticas e as progressoes geometricas. Uma vez que esta apresentacao tem caracter introdutorio, nao pretendendo ser de forma alguma um estudo exaustivo de sucessoes, vamos aproveitar estas duas famılias de sucessoes para ilustrar os conceitos que ja desenvolvemos acima. Cada um destes tipos de sucessao vai ser definido com base num problema caracterıstico que ilustra o tipo de situacoes em que estas sucessoes surgem na pratica.

Problema. Uma fabrica produz por dia duzentas unidades de um dado produto, que sao postas a venda com uma margem de lucro (para a fabrica) de e10 por unidade. Se o investimento inicial na maquinaria necessaria para o fabrico desse produto tiver sido de e400.0, ao fim de quanto tempo e que a fabrica comeca a dar lucro?

Resolucao. Tal como esta formulado, este problema pode ser resolvido directamente. Porem, modela-lo recorrendo a sucessoes permite desenvolver um formalismo que tornara possıvel responder facilmente a muitas outras questoes no mesmo contexto. Comecemos por definir a sucessao u do numero total de unidades produzidas pela fabrica.

Ao fim de n dias de producao, este valor e de un = 200n. Podemos tambem considerar a sucessao r do lucro obtido com a venda das unidades pro- duzidas, excluindo o investimento inicial. Uma vez que cada unidade contribui com um lucro de e10, temos que rn = 10un = 2000n. Finalmente, o lucro total l corresponde ao lucro das vendas descontando o investimento inicial; ou seja, ln = rn − 400000 = 2000n − 400000. A fabrica comeca a dar lucro quando ln > 0, o que corresponde a ou seja, ao fim de 200 dias. As sucessoes u, r e l deste problema sao exemplos de progressoes aritmeticas.

Definicao. Uma progressao aritmetica e uma sucessao u tal que un+1 − un e constante.

E facil ver que o termo geral duma progressao aritmetica u e sempre da forma u0 + kn, onde k e a diferenca (constante) entre um termo e o seguinte. De facto, para obter un a partir de u1 temos de somar (n−1) vezes o valor de k; se escrevermos u1 = u0+k, obtemos a formula apresentada atras.

Ha outras formas de apresentar uma progressao aritmetica, nomeadamente recorrendo a diferenca entre termos consecutivos. A formula acima apresentada e especialmente util para obter o termo geral. Por exemplo, se u for uma progressao aritmetica com termo u1 = 2 e diferenca un+1−un = 3, entao sabemos que u1 = u0+3, donde u0 = −1, e o termo geral de u e un = 3n−1. Muitas vezes, a diferenca e apresentada sob a forma de recorrencia: un+1 = un+3, neste caso.

Exercıcio 7. Determine o termo geral de cada uma das seguintes progressoes aritmeticas.(a)

Apontamentos de Analise Matematica I

Todas as progressoes aritmeticas sao monotonas, sendo crescentes se k > 0 e decrescentes se k < 0. Consoante a sua monotonia, sao minoradas e nao majoradas se k > 0, e majoradas mas nao minoradas se k < 0.

Uma das caracterısticas particulares das progressoes aritmeticas e o facto de ser extremamente simples de somar termos consecutivos. Consideremos ainda o exemplo da sucessao

Temos 8 somas, todas elas com o mesmo valor. O valor 8 corresponde a metade do numero de

Os ındices 3 e 18 nao desempenham aqui qualquer papel especial: sao o primeiro e ultimo termos a somar. Assim, se pretendermos somar todos os termos de u de ordens entre a e b, podemos faze-lo aplicando a formula

O sımbolo ∑b i=a ui, lido somatorio de ui com i desde a ate b, e uma abreviatura para a soma a esquerda: representa a soma de todos os termos da forma ui, com i substituıdo por todos os valores entre a e b. A notacao de somatorio e uma abreviatura conveniente que e de todo o interesse conhecer e saber utilizar; a variavel usada como ındice dos somatorios e tipicamente i, j ou k, mas e possıvel usar qualquer outra letra.

Exercıcio 8. Calcule o valor das seguintes somas.

i=1 ui com un = n (b)

L. Cruz-Filipe e P. Engracia

1.1. SUCESSOES 9

Exercıcio 9. Um clube foi fundado com 25 socios, tendo-se juntado posteriormente dez novos socios a cada ano. Sendo a quotizacao anual de e5 por socio, qual e o valor total da receita de quotas do clube ao fim de 15 anos?

1.1.3 Progressoes geometricas

Outro tipo de sucessao que surge com extrema frequencia e a progressao geometrica. Vejamos um exemplo.

(Parte 2 de 11)

Comentários