Manual de Analise Matematica I para 2010-2011

Manual de Analise Matematica I para 2010-2011

(Parte 3 de 11)

Problema. Um deposito a prazo rende uma taxa de juro lıquida de 3% ao ano. Para um deposito inicial de e1000, qual o valor disponıvel ao fim de cinco anos?

Resolucao. Se a taxa de juro lıquida e de 3% ao ano, entao o valor vn do deposito no final do ano n e obtido a partir do valor vn−1 no final do ano (n − 1) somando-lhe 3% do seu valor; ou seja,

O deposito inicial corresponde a um valor que podemos chamar v0. Temos entao que

Este tipo de sucessao, em que cada termo e obtido do anterior multiplicando por uma constante, diz-se uma progressao geometrica. As progressoes geometricas tem muita aplicacao na area financeira, uma vez que surgem naturalmente em problemas envolvendo calculo de juros compostos, como o exemplo acima, na area da Biologia, devido a sua ligacao com modelos de crescimento de populacoes, e em algoritmia.

Definicao. Uma progressao geometrica e uma sucessao u tal que a razao un+1 un e constante.

E facil ver que o termo geral duma progressao geometrica u e sempre da forma u0rn, onde r e a razao (constante) entre cada termo e o anterior. Trata-se do raciocınio seguido no exemplo acima: para obter un a partir de u0 temos de multiplicar n vezes por r.

Apontamentos de Analise Matematica I

A outra forma comum de apresentar uma progressao geometrica, que e muitas vezes a forma natural de modelar problemas, e outra vez por recorrencia: dando o valor de u0 e a relacao un+1 = run.

Exercıcio 10. Determine o termo geral de cada uma das seguintes progressoes geometricas.(a)

(c)

O comportamento das progressoes geometricas e bastante mais variado do que o das progressoes aritmeticas, conforme os exemplos acima ilustram, e dependem do sinal e valor absoluto da razao r e do sinal do valor inicial u0. Para perceber os diferentes comportamentos possıveis, e mais facil comecar por considerar apenas o caso de progressoes geometricas com todos os termos positivos, ou seja, u0 > 0 e r > 0. Neste caso, e simples perceber o que se passa: se r > 1, entao cada termo e maior que o anterior e a sucessao e monotona crescente, minorada por u0 mas nao majorada; se r < 1, a sucessao e monotona decrescente, majorada por u0 e minorada por 0 (uma vez que todos os seus termos sao positivos). Ou seja, se r < 1, a sucessao e limitada.

Se u0 < 0 e r > 0, todos os termos da sucessao sao negativos e os seus comportamentos possıveis sao simetricos dos anteriores: para r > 1 a sucessao e majorada (por u0) mas nao minorada; para r < 1 a sucessao e minorada por u0 e majorada por 0, uma vez que agora todos os seus termos sao negativos.

Quando a razao toma valores negativos, os termos da sucessao u vao alternando de sinal, independentemente do sinal de u0. Se −1 < r < 0, os valores vao-se aproximando de 0, pelo que a sucessao e limitada (u0 e u1 sao um majorante e um minorante dos termos da sucessao, de acordo com os seus sinais). Se r < −1, a sucessao toma valores cada vez maiores de sinal alternado, pelo que nao e majorada nem minorada. Excluımos da analise acima tres casos. Se r = 1, a sucessao e constante. Se r = −1, a sucessao alterna entre os valores u0 e u1 = −u0. Finalmente, se r = 0 a sucessao tem todos os termos iguais a zero excluindo eventualmente o primeiro. Em todos os casos trata-se duma sucessao limitada. A Tabela 1.1 resume estes comportamentos.

u0 > 0 nao monotona nao limitada nao monotonalimitada decrescentelimitada crescente minorada u0 < 0 nao monotona nao limitada nao monotonalimitada crescentelimitada decrescente majorada

Tabela 1.1: Possıveis comportamentos duma progressao geometrica, excluindo os casos limite (r = −1,0,1).

Exercıcio 1. Verifique que o comportamento das sucessoes do exercıcio anterior esta de acordo com a Tabela 1.1.

L. Cruz-Filipe e P. Engracia

1.1. SUCESSOES 1

Tal como sucedia com as progressoes aritmeticas, podemos determinar uma formula para somar termos consecutivos duma progressao geometrica. Aqui o raciocınio e um pouco diferente; suponhamos que queremos somar os termos da progressao geometrica u, de razao r, entre ua e ub. Temos que

donde so temos que determinar o valor da soma entre parentesis na ultima expressao. Observe- -se contudo que multiplicando esse valor por (1 − r) obtemos

donde (

Entao a formula de calculo para a soma de termos consecutivos uma progressao geometrica e b∑

Note-se que u0ra = ua e o primeiro termo a somar e (b−a+1) e o numero de termos a somar; assim, esta formula surge muitas vezes como

onde n e o numero de termos (consecutivos) a somar.

Exercıcio 12. Calcule cada uma das seguintes somas directamente e recorrendo a formula acima apresentada. Verifique os resultados.

5 (d)

Exercıcio 13. Conta-se que o inventor do xadrez pediu como recompensa ao seu soberano uma quantidade de trigo calculada da seguinte forma: um grao pela primeira casa, dois graos pela segunda, quatro pela terceira, oito pela quarta, e assim sucessivamente, sendo o numero de graos por cada casa o dobro do anterior.

(a) Escreva o termo geral da sucessao gn que indica o numero de graos a pagar pela casa n do tabuleiro.

Apontamentos de Analise Matematica I

(b) Escreva o termo geral da sucessao sn que indica o numero de graos toal a pagar pelas primeiras n casas do tabuleiro.

(c) Sabendo que 210 ≈ 1000, qual a ordem de grandeza da recompensa pedida pelo inventor do xadrez? Recorde que um tabuleiro de xadrez tem 64 casas.

Para terminar esta seccao, vamos ver um exemplo da vida real que aplica estes conceitos duma forma que demonstra claramente a utilidade de trabalhar com progressoes geometricas.

Problema. Um casal pretende contrair um emprestimo de e150.0 a 30 anos para comprar uma casa. Sendo a taxa de juro anual oferecida pelo banco de 1.8%, qual o valor da prestacao mensal a pagar?

Resolucao. Vamos comecar por fixar alguma notacao. Designaremos por P o valor (desco- nhecido) da prestacao mensal a pagar ao banco, por Jn o valor do juro a pagar no mes n e por Dn a dıvida restante no final do mes n. Os dados do problema podem ser expressos em termos destas variaveis da seguinte forma.

- A dıvida inicial, que sabemos ser de e150.0, corresponde ao valor de D0. Entao D0 = 150.0.

- O emprestimo estara pago ao fim de 30 anos, ou seja, 360 meses. Entao D360 = 0.

- O juro a pagar ao final de cada mes e calculado dividindo a taxa de juro anual por 12 (obtendo-se uma taxa de juro mensal) e multiplicando pela dıvida no final do mes anterior.

- A dıvida no final do mes n + 1 obtem-se a partir da dıvida no final do mes anterior somando o juro e subtraindo a prestacao; ou seja, Dn+1 = Dn + Jn+1 − P.

Podemos simplificar um pouco a expressao de Dn+1.

A definicao de Dn tal como se apresenta nao corresponde a nenhum tipo de sucessao conhecido. Porem, vamos usar esta informacao para raciocinar em sentido inverso. Reescrevendo a ultima equacao, obtemos

Uma vez que D360 = 0, podemos usar esta relacao para calcular os valores anteriores de D.

L. Cruz-Filipe e P. Engracia

1.1. SUCESSOES 13

Entao podemos escrever D360−n como a soma de n termos duma progressao geometrica de razao T, a partir do termo inicial TP.

Uma vez que D0 = 150.0, podemos obter daqui o valor de P.

A prestacao mensal a pagar sera portanto e539.82.

1.1.4 Operacoes aritmeticas

As operacoes aritmeticas sobre numeros reais podem ser transferidas para operacoes sobre sucessoes, definindo-as ponto a ponto. Por exemplo: dadas duas sucessoes u e v, podemos soma-las, obtendo uma nova sucessao u + v tal que (u + v)n = un + vn. Podemos proceder de forma semelhante para as restantes operacoes aritmeticas, tendo apenas de ter algum cuidado com os quocientes e potencias.

- Produto de sucessoes: (uv)n = unvn

- Quociente de sucessoes: (u/v)n = un vn se vn 6= 0 para todo o n.

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