Manual de Analise Matematica I para 2010-2011

Manual de Analise Matematica I para 2010-2011

(Parte 4 de 11)

- Exponenciacao de sucessoes: (uv)n = (un)vn se un > 0 para todo o n.

Para muitos dos resultados que vamos ver nas seccoes seguintes, e util identificar estas operacoes. Por exemplo: a sucessao un = 3n + 2n pode ser vista como a soma da progressao aritmetica vn = 3n com a progressao geometrica wn = 2n. Mais adiante a utilidade deste tipo de raciocınio tornar-se-a clara.

(a) u + v (b) u−w (c) uv (d) uw (e) uv − w (f) u + 2w (g) u/w (h) v/2u (i) 3u + v/w (j) uw − uv (k) uvw (l) uw/v

Exercıcio 15. Escreva cada uma das seguintes sucessoes a custa de operacoes aritmeticas a partir de sucessoes mais simples.

Apontamentos de Analise Matematica I

1.2 Limites de sucessoes

1.2.1 Infinitamente grandes e infinitesimos

Em muitas situacoes, o objectivo de trabalhar com sucessoes nao passa tanto por calcular os seus valores, mas sim em estudar o seu comportamento a medida que o argumento n aumenta — aquilo a que normalmente se chama o seu comportamento assimptotico. Exemplos de propriedades que caem nesta categoria sao, por exemplo, a existencia de minorantes ou majorantes: uma sucessao ser minorada e uma propriedade global, de todos os seus termos, e que nao depende dos valores iniciais da sucessao (vimos que se ela for crescente a partir de alguma ordem entao e minorada, por exemplo, independentemente dos valores que tomar ate essa ordem).

Nesta seccao vamos discutir alguns tipos particulares de sucessoes que serao uteis para o estudo mais geral que vamos fazer a seguir: os infinitamente grandes e os infinitesimos.

Definicao. Uma sucessao u diz-se um infinitamente grande positivo se para cada natural N existe uma ordem a partir da qual un > N. Uma sucessao u diz-se um infinitamente grande negativo se para cada natural N existe uma ordem a partir da qual un < −N. Uma sucessao u diz-se um infinitamente grande em modulo se para cada natural N existe uma ordem a partir da qual |un| > N.

Por outras palavras, um infinitamente grande positivo e uma sucessao que cresce ilimitadamente e um infinitamente grande negativo e uma sucessao que decresce ilimitadamente. Um infinitamente grande em modulo e uma sucessao que, esquecendo o sinal dos seus termos, e um infinitamente grande positivo.

Exemplo.

1. A sucessao un = n e um infinitamente grande positivo, ja que se tem un > N sempre que n > N.

2. A sucessao vn = n − 2 tambem e um infinitamente grande positivo: para que vn > N tem de se ter n − 2 > N, ou seja, n > N + 2.

E costume — e sera esta a notacao que usaremos sempre a partir da proxima seccao — usar as seguintes notacoes para infinitamente grandes.

L. Cruz-Filipe e P. Engracia

1.2. LIMITES DE SUCESSOES 15

- Se u e um infinitamente grande positivo, escrevemos limu = +∞. - Se u e um infinitamente grande negativo, escrevemos limu = −∞.

Ha varias formas de definir o sımbolo lim (“limite”). No contexto das sucessoes, e particularmente simples ver o limite como uma abreviatura para os conceitos de infinitamente grande e infinitesimo (que discutiremos abaixo), com a vantagem de ser um conceito muito mais concreto que outras definicoes mais gerais. Observe-se que esta notacao nao se aplica a infinitamente grandes em modulo.

E simples ver que as seguintes relacoes se verificam sempre.

Proposicao. Seja u uma sucessao. - Se u e um infinitamente grande positivo, entao −u e um infinitamente grande negativo.

- Se u e um infinitamente grande negativo, entao −u e um infinitamente grande positivo.

- Se u e um infinitamente grande em modulo, entao |u| e um infinitamente grande positivo.

- Se u e um infinitamente grande positivo ou negativo, entao u e um infinitamente grande em modulo.

Recorrendo a notacao de limite, a primeira relacao afirma que se limu = +∞, entao lim(−u) = −∞; podemos escrever isto de forma simbolica como lim(−u) = −limu se definirmos −(+∞) = −∞. A segunda regra gera uma regra semelhante, mas assumindo agora que −(−∞) = +∞.

E importante perceber que estas regras operatorias sao convencoes, uteis porque simplificam grandemente o trabalho com limites; porem, e preciso ter sempre presente que os sımbolos +∞ e −∞ nao denotam numeros reais.

E facil ver que as progressoes aritmeticas sao sempre infinitamente grandes, sendo positivos se a diferenca k for positiva e negativos caso contrario. Ja no caso das progressoes geometricas temos tres possibilidades: se r > 1 e u0 > 0, entao a sucessao u e um infinitamente grande positivo; se r > 1 e u0 < 0, entao u e um infinitamente grande negativo; e se r < −1 entao u e um infinitamente grande em modulo.

Quando |r| < 1, a sucessao u nao e um infinitamente grande — antes pelo contrario, os seus termos aproximam-se cada vez mais de 0. Estas sucessoes dizem-se infinitesimos.

Definicao. Uma sucessao u diz-se um infinitesimo positivo se para cada natural N existe uma

Uma sucessao u diz-se um infinitesimo negativo se para cada natural N existe uma ordem

Uma sucessao u diz-se um infinitesimo se para cada natural N existe uma ordem a partir

Para denotar que uma sucessao u e um infinitesimo, escreve-se limu = 0. Em contextos em que e importante distinguir infinitesimos positivos e negativos, usamos as notacoes limu = 0+ e limu = 0−, respectivamente. E importante observar que a primeira notacao e de natureza diferente das duas ultimas, ja que 0+ e 0− nao denotam numeros reais. A notacao limu = 0 tem um significado mais preciso que discutiremos adiante.

Tal como atras, estes conceitos relacionam-se entre si.

Apontamentos de Analise Matematica I

Proposicao. Seja u uma sucessao. - Se u e um infinitesimo positivo, entao −u e um infinitesimo negativo.

- Se u e um infinitesimo negativo, entao −u e um infinitesimo positivo.

- Se u e um infinitesimo, entao |u| e um infinitesimo positivo.

- Se u e um infinitesimo positivo ou negativo, entao u e um infinitesimo.

Em termos de limites, temos novamente a relacao lim(−u) = −limu, se definirmos as regras operatorias −0+ = 0− e −0− = 0+. Tambem podemos estabelecer relacoes directas entre infinitesimos e infinitamente grandes.

Proposicao. Seja u uma sucessao tal que un 6= 0 para todos os valores de n.

- Se u e um infinitamente grande positivo, entao 1u e um infinitesimo positivo.

- Se u e um infinitamente grande negativo, entao 1u e um infinitesimo negativo.

- Se u e um infinitamente grande em modulo, entao 1u e um infinitesimo.

- Se u e um infinitesimo positivo, entao 1u e um infinitamente grande positivo.

- Se u e um infinitesimo negativo, entao 1u e um infinitamente grande negativo.

- Se u e um infinitesimo, entao 1u e um infinitamente grande em modulo.

Todas estas proposicoes devem ser vistas simplesmente como um resumo de propriedades cuja validade deve ser clara. Perante uma sucessao concreta, deve-se analisar a mesma para determinar se se trata dum infinitesimo ou dum infinitamente grande e nao procurar encontrar um resultado que se aplique. A notacao com limites e neste caso sugestiva: lim( 1 desde que aceitemos as relacoes seguintes.

Mais interessante — e uma ferramenta mais poderosa — e a relacao dos infinitamente grandes e infinitesimos com as operacoes aritmeticas.

Comecemos pela soma. Se as sucessoes u e v forem ambas infinitamente grandes positivos, entao a sua soma (a partir de certa ordem) sera maior que qualquer delas, donde u + v e um infinitamente grande positivo. De forma semelhante, se u e v forem infinitamente grandes negativos, entao a sua soma tambem o e. Se u e v forem infinitesimos positivos, a sua soma tambem e um infinitesimo positivo, enquanto se forem ambos infinitesimos negativos a sua soma tambem o sera. Se u for um infinitamente grande (positivo ou negativo) e v for um infinitesimo, a sua soma e ainda um infinitamente grande do mesmo tipo que u.

Exemplo.

(Parte 4 de 11)

Comentários