Manual de Analise Matematica I para 2010-2011

Manual de Analise Matematica I para 2010-2011

(Parte 5 de 11)

1. A sucessao un = n2 + n e um infinitamente grande positivo, pois e a soma de dois infinitamente grandes positivos.

2. Ja a sucessao vn = −n2 − n e um infinitamente grande negativo, pois e a soma de dois infinitamente grandes negativos.

L. Cruz-Filipe e P. Engracia

1.2. LIMITES DE SUCESSOES 17

3. A sucessao wn = −3n + 1n e um infinitamente grande negativo, ja que 3n e um infinita- mente grande negativo e a soma com 1n nao altera este facto.

infinitesimo positivo.

Quando u e v sao infinitesimos de sinais contrarios, a sua soma ainda e um infinitesimo, mas nao podemos afirmar nada sobre o seu sinal a nao ser analisando-a directamente.

Exemplo.

1. A sucessao un = 1n − 1 n2 e a soma do infinitesimo positivo 1n com o infinitesimo negativo

infinitesimo positivo.

tambem e a soma do infinitesimo positivo 1 n2 com o infinitesimo negativo −1n ; uma vez que vn = −un, conclui-se que v e um infinitesimo negativo.

3. Sejam w e y as sucessoes definidas da seguinte forma.

1n n par

Entao w e um infinitesimo positivo, y e um infinitesimo negativo, e w+y e uma sucessao cujos termos pares sao positivos e cujos termos ımpares sao negativos, logo e um infinitesimo que nao e positivo nem negativo.

Exercıcio 16. Classifique cada uma das seguintes sucessoes relativamente ao seu comportamento assimptotico.

O primeiro caso que nao se pode resolver de forma sistematica surge quando u e v sao infinitamente grandes de sinais contrarios. Nesta situacao, designada por indeterminacao de tipo ∞ − ∞, e necessario analisar a sucessao em causa e determinar directamente de que tipo de sucessao se trata. Temos todas as possibilidades. Para simplificar, vamos trabalhar com diferencas de infinitamente grandes (que e equivalente, ja que u − v = u + (−v)).

Exemplo.

1. Tome-se a sucessao un = n. Uma vez que un−un e a sucessao constante de valor 0 (que e trivialmente um infinitesimo), temos um exemplo de dois infinitamente grandes positivos cuja diferenca e um infinitesimo.

2. Para as sucessoes un = n e vn = 2n, temos que vn−un e um infinitamente grande positivo

(o seu termo geral e n) e un − vn e um infinitamente grande negativo (o seu termo geral e −n).

3. Tomando un = n e vn = n+2, a diferenca vn −un e a sucessao constante de valor 2, que nao e um infinitesimo nem um infinitamente grande.

Apontamentos de Analise Matematica I

Estes casos sao simples; contudo, em geral, o levantamento de indeterminacoes do tipo ∞ − ∞ pode requerer alguma criatividade. Tambem e util ter a nocao das diferentes ordens de grandeza de infinitamente grandes.

O produto (e quociente) trazem problemas semelhantes. Se u e v sao infinitamente grandes, entao o seu produto uv e um infinitamente grande que e positivo se u e v forem do mesmo sinal e negativo se u e v forem de sinais contrarios; de forma semelhante, se u e v forem infinitesimos, entao uv e um infinitesimo com o sinal determinado de forma analoga pelos sinais de u e v.

Este resultado e util para levantar algumas das indeterminacoes de tipo ∞ − ∞. Por exemplo, reescrevendo n2 − n como n(n − 1), temos que o termo geral desta sucessao e um produto de dois infinitamente grandes positivos, pelo que a sucessao e um infinitamente grande positivo.

Exercıcio 17. Para cada par de sucessoes u e v, classifique a sua soma u+v e a sua diferenca u − v quanto ao seu comportamento assimptotico.

O problema surge quando multiplicamos um infinitamente grande por um infinitesimo ou, equivalentemente, quando tomamos o quociente de dois infinitamente grandes ou de dois infinitesimos: a sucessao resultante pode novamente ter qualquer comportamento. Esta indeter- minacao e designada por indeterminacao de tipo 0 × ∞, 0 ou ∞∞, consoante a expressao que lhe da origem; vamos considerar apenas o terceiro caso, ja que e o unico que encontraremos neste capıtulo.

Exemplo.

. A sucessao u e o quociente de dois infinitamente grandes positivos, constituindo portanto uma indeterminacao de tipo ∞∞. Para levantar esta indeterminacao, vamos reescrever o seu termo geral:

e a soma da sucessao constante de termo geral 1 com o infinitesimo 3 3n−2 .

3n−4 . Temos novamente uma indeterminacao de tipo ∞∞. A forma geral de levantar estas indeterminacoes, para quocientes de polinomios, e reduzir a fraccao dividindo o numerador e denominador pela potencia de maior expoente.

A primeira fraccao e o inverso dum infinitesimo positivo, logo trata-se dum infinitamente grande positivo; a segunda e um infinitesimo. A sua soma e novamente um infinitamente grande positivo, logo

L. Cruz-Filipe e P. Engracia

1.2. LIMITES DE SUCESSOES 19

Na proxima seccao veremos como podemos fazer estes calculos de forma sistematica e mais expedita.

Exercıcio 18. Para cada par de sucessoes u e v, classifique o seu quociente u/v quanto ao seu comportamento assimptotico.

1.2.2 Limites e convergencia

Nos exemplos da seccao anterior, encontramos sucessoes que nao eram infinitesimos, mas podiam ser escritas como a soma duma constante com um infinitesimo. Para caracterizar estas sucessoes, vamos introduzir um conceito fundamental: o conceito de limite.

Definicao. Seja u uma sucessao. Diz-se que u tende para a, denotado un → a, ou que o limite de u e a, denotado limu = a ou limnun = a, se a sucessao u − a for um infinitesimo. Se existir um numero real a tal que limu = a, a sucessao u diz-se convergente.

A nocao de limite foi uma invencao do seculo XIX que revolucionou completamente a

Matematica. Em particular, foi este conceito que permitiu o desenvolvimento da Analise Matematica como uma disciplina formal e que fez avancar substancialmente o Calculo Diferencial, o Calculo Integral e todas as areas dependentes destas. E por isso essencial — e e o principal objectivo de todo este capıtulo — ganhar intuicao sobre limites e como se calculam.

Comecemos por observar que esta notacao e coerente com a notacao que atras usamos para denotar que uma sucessao era um infinitesimo. De facto, se u e um infinitesimo, entao u − 0 tambem o e, donde un → 0. Reciprocamente, se un → 0, entao u−0 e um infinitesimo, donde u tambem o sera. Assim, ao escrevermos limu = 0, nao e importante distinguir se estamos a referir-nos ao limite de u segundo esta definicao ou a propriedade de u ser um infinitesimo, conforme definido atras.

As notacoes limu = ±∞ e limu = 0±, contudo, sao de natureza diferente: o limite duma sucessao e, por definicao, um numero real, enquanto os sımbolos ±∞ e 0± nao denotam numeros reais. E importante manter esta distincao presente, ja que tem algumas consequencias praticas que veremos adiante.

e um infinitesimo,

a sucessao u tem limite 5. Podemos entao escrever lim5 + 2n = 5.

Antes de apresentar mais exemplos, vamos ver um conjunto de propriedades que simplificam (em muito) o calculo de limites.

Em primeiro lugar, observemos que se limu = a e limu = b, entao as sucessoes u−a e u−b sao ambas infinitesimos; sabemos daqui que a sua diferenca tambem e entao um infinitesimo. Mas (u − a) − (u − b) = b − a e uma sucessao constante; ora a unica sucessao constante que e um infinitesimo e a sucessao de termo geral 0, logo a = b. Obtemos assim o seguinte resultado.

Proposicao. Se un e uma sucessao convergente, entao o seu limite e unico. Apontamentos de Analise Matematica I

Podemos generalizar este resultado observando que um infinitamente grande nunca e uma sucessao convergente: se u e um infinitamente grande, entao u−a tambem e um infinitamente grande para qualquer valor de a, logo limu 6= a. Assim, podemos usar o resultado acima tambem quando limu = ±∞. Tambem deve ser claro que se retirarmos termos a uma sucessao o seu limite nao se altera.

Proposicao. Se lim(u) = a e v e uma subsucessao de u, entao lim(v) = a.

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