Manual de Analise Matematica I para 2010-2011

Manual de Analise Matematica I para 2010-2011

(Parte 7 de 11)

convergente.

Se u for monotona decrescente, o raciocınio e semelhante usando o maior dos minorantes do conjunto dos seus termos.

Claramente o recıproco nao e valido: ha sucessoes convergentes que nao sao monotonas, como por exemplo a sucessao un = (−1)n n

. Porem, e facil ver que toda a sucessao convergente

Um resultado que por vezes e util e que deixaremos sem demonstracao e o seguinte.

Teorema (Bolzano–Weierstrass). Toda a sucessao limitada tem subsucessoes convergentes.

Outra caracterizacao por vezes util e recorrendo a uma outra propriedade.

Definicao. Uma sucessao u diz-se uma sucessao de Cauchy se para todo o natural N existir uma ordem a partir da qual a distancia entre quaisquer dois termos de u e inferior a 1N , ou

Historicamente, esta definicao surgiu independentemente da definicao de convergencia; ela e bastante importante quando se trabalha com sucessoes de outros objectos que nao numeros reais, onde a nocao de limite pode nao ser a adequada. No caso das sucessoes reais, contudo, tem-se o seguinte resultado.

Proposicao. As sucessoes convergentes sao precisamente as sucessoes de Cauchy.

Assim, o conceito de sucessao de Cauchy pode ser usado como criterio de convergencia duma sucessao.

Nao vamos insistir nesta fase em provas de convergencia que nao sejam atraves do calculo de limites; porem, nos capıtulos seguintes teremos oportunidade de aplicar estes resultados para mostrar convergencia de sucessoes que serao importantes nesses contextos. Assim, e importante conhecer e compreender estes criterios.

L. Cruz-Filipe e P. Engracia

A proposito de progressoes aritmeticas e progressoes geometricas, falamos atras do problema de determinar a soma dum numero de termos consecutivos duma sucessao. Nesta seccao, vamos discutir um problema semelhante: como somar todos os termos duma sucessao. Embora possa parecer contra-intuitivo a princıpio, ha muitas situacoes em que faz sentido associar um valor finito a soma dum numero infinito de parcelas; e as aplicacoes deste conceito sao inumeras, nao apenas em Analise Matematica, mas tambem noutras areas como a Fısica e a Economia.

1.3.1 Convergencia e soma

Definicao. Seja a uma sucessao. Chama-se sucessao das somas parciais de a a sucessao S(a) tal que

Chama-se serie a expressao formal que denota a soma de todos os termos de a, ∞∑ n=0 an e se limS(a)n existir e for finito, dizemos que a serie e somavel ou convergente e que o seu valor e esse limite. Caso contrario, a serie diz-se divergente.

Tal como a definimos, o valor duma serie (tambem chamado a soma da serie) e simplesmente um limite duma sucessao — a sucessao das somas parciais doutra sucessao. E precisamente esta definicao que justifica a definicao intuitiva de serie como a soma de todos os termos da sucessao: se ao somarmos mais e mais termos o valor da soma se aproxima dum limite, entao faz sentido dizer que esse limite e a soma de todos esses valores. Mais uma vez, estamos a dizer que podemos aproximar essa soma tanto quanto queiramos somando um numero suficientemente grande de termos.

Determinar o valor exacto da soma duma serie e em geral um problema complexo. Ao longo deste texto teremos oportunidade de ver varios metodos para o fazer; como consequencia, encontraremos formas extremamente eficientes de determinar valores aproximados de constantes como pi, e ou √ 2 com uma precisao muito maior do que a fornecida por uma maquina de calcular. Neste capıtulo, focar-nos-emos nalguns tipos particulares de series cujas somas se calculam com bastante simplicidade. Uma vez que uma serie e definida como a soma de todos os termos duma sucessao a, e habitual chamar ao valor de an o termo geral da serie, por analogia com as sucessoes. E preciso algum cuidado para garantir que e claro se se esta a falar da sucessao an ou da serie an, ja que sao conceitos bastante diferentes; mas em geral o contexto torna claro qual destes e o caso.

Exercıcio 23. Para cada uma das seguintes sucessoes, escreva a expressao da serie que lhe corresponde.

Apontamentos de Analise Matematica I

Exercıcio 24. Para cada uma das seguintes series, escreva o termo geral da sucessao que lhe esta subjacente.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo. 1. Consideremos a serie de termo geral 0. Uma vez que a sucessao das suas somas parciais

donde a serie e convergente e a sua soma e 0.

2. Tomemos agora uma serie de termo geral constante, com valor k 6= 0. A sucesao das suas somas parciais e agora

donde esta serie e divergente.

= lim

Uma serie cujo termo geral e uma progressao aritmetica diz-se uma serie aritmetica. Estas series sao muito pouco interessantes, ja que sao sempre divergentes; de facto, se a for uma progressao aritmetica de razao k, temos que

|S(a)n| = |a0 + (a0 + k) + (a0 + 2k) + (a0 + 3k) ++ (a0 + nk)| > (n + 1)|a0 + k|

caso de convergencia e o caso extremamente desinteressante em que a0 = k = 0; nesse caso, o termo geral vale 0 e a soma da serie tambem.

Ja as series cujo termo geral e uma progressao geometrica sao de grande importancia, quer teorica, quer pratica. Estas series, ditas series geometricas, tem uma soma muito facil de calcular: se a for uma progressao geometrica de razao r, temos que∞∑

L. Cruz-Filipe e P. Engracia

entao rn e um infinitamente grande, pelo que a serie e divergente. No caso em que r = 1, a serie e constante e portanto diverge desde que a0 6= 0; no caso em que r = −1, o termo geral da serie alterna entre a0 e −a0, pelo que a sucessao das somas parciais e a sucessao

a0, 0, a0, 0, a0, 0, a0, 0,

Exercıcio 25. Indique quais destas series sao convergentes, calculando a sua soma.

1000 (d)

Uma das aplicacoes das series geometricas e a transformacao de numeros racionais em fraccoes. Todos os numeros que podem ser escritos sob a forma de uma dızima infinita periodica

(os algarismos a seguir a vırgula repetem-se) podem ser escritos na forma pq , onde p e q sao dois numeros inteiros.

Pensemos por exemplo no numero 0.3..., em que o algarismo 3 se repete infinitas vezes. Podemos escrever este numero como

0.3= 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + 0.00003 + ·

Se se repetir mais do que um algarismo, o processo e semelhante. Tomemos por exemplo o numero 0.024242424...; temos que

0.024242424= 0.024 + 0.00024 + 0.0000024 + 0.000000024 + ·
(a) 0.5(b) 1.234234234234... (c) −0.0025025025025...

Exercıcio 26. Escreva os seguintes numeros sob a forma de fraccao. Apontamentos de Analise Matematica I

Se uma serie e convergente, entao a medida que somamos mais parcelas aproximamo-nos tanto quanto desejarmos da sua soma. Isto significa que as quantidades que vamos somando se vao tornando cada vez mais pequenas em valor absoluto, ou seja, que o termo geral da serie e necessariamente um infinitesimo.

Outra forma de ver isto e observar que o termo geral da serie e a diferenca entre Sn e Sn−1, donde se limS for finito se tem lim(Sn − Sn−1) = limSn − limSn−1 = 0. Obtemos assim um resultado extremamente util para determinar divergencia de series.

Proposicao. Se ∑∞ n=0 an e uma serie convergente, entao a e um infinitesimo.

Vejamos como aplicar este criterio para mostrar que uma serie e divergente.

Exemplo.

entao esta serie e divergente.

que nao tem limite; logo esta serie e divergente.

; entao esta serie e divergente.

Exercıcio 27. Recorrendo a este criterio, mostre que as seguintes series sao divergentes.

logn (d)

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