resolução alguns exercícios cap 6 halliday 4 edição em português

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LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 23 de Outubro de 2003, as 10:09 a.m.

Exercıcios Resolvidos de Dinamica Classica

Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fısica teorica, Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fısica

Materia para a QUARTA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro “Fundamentos de Fısica”, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conteudo

6.1 Questoes2
6.2 Problemas e Exercıcios2
6.2.1 Propriedades do Atrito2
cidade Limite4
6.2.4 Problemas Adicionais6

6 Forcas e Movimento – I 2 6.2.2 Forca de Viscosidade e a Velo- 6.2.3 Movimento Circular Uniforme . 4

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LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 23 de Outubro de 2003, as 10:09 a.m. 6 Forcas e Movimento – I

6.1 Questoes

Q 6-10 Cite bla-bla-bla...

6.2 Problemas e Exercıcios 6.2.1 Propriedades do Atrito

Um armario de quarto com massa de kg, incluindo gavetas e roupas, esta em repouso sobre o assoalho. (a) Se o coeficiente de atrito estatico entre o movel e o chao for , qual a menor forca horizontal que uma pessoa devera aplicar sobre o armario para coloca-lo em movimento? (b) Se as gavetas e as roupas, que tem kg de massa, forem removidas antes do armario ser empurra- do, qual a nova forca mınima?(a) O diagrama de corpo livre deste problema tem quatro forcas. Na horizontal: apontando para a direita esta a forca aplicada , para a esquerda a forca de atri- to . Na vertical, apontando para cima temos a forca normal do piso, para baixo a forca da gravidade. Escolhando o eixo na horizontal e o eixo na vertical. Como o armario esta em equilıbrio (nao se move), a segunda lei de Newton fornece-nos como componentes e as seguintes equacoes

Donde vemos que e . Quando aumenta, aumenta tambem, ate que

. Neste instante o armario comeca a mover-se. A forca mınima que deve ser aplicada para o armario comecar a mover-se e N

(b) A equacao para continua a mesma, mas a massa e agora kg. Portanto N

Um jogador de massa kg escorrega no cam- po e seu movimento e retardado por uma forca de atritoN. Qual e o coeficiente de atrito cinetico entre o jogador e o campo?Neste problema, o diagrama de corpo livre tem apenas tres forcas: Na horizontal, apontando para a esquer- da, a forca de atrito. Na vertical, apontando para cima temos a forca normal do solo sobre o jogador, e para baixo a forca da gravidade.

A forca de atrito esta relacionada com a forca normal atraves da relacao tida considerando-se a segunda lei de Newton. Como a componete vertical da acelerac cao e zero, tambem o e a componente vertical da segunda lei de Newton, que nos diz que ou seja, que . Portanto

Uma pessoa empurra horizontalmente uma caixa de kg, para move-la sobre o chao, com uma forca de N. O coeficiente de atrito cinetico e . (a) Qual o modulo da forca de atrito? (b) Qual a acelelracao da caixa?(a) O diagrama de corpo livre tem quatro forcas. Na horizontal, apontando para a direita temos a forca que a pessoa faz sobre a caixa, e apontando para a esquerda a forca de atrito . Na vertical, para cima a forca normaldo piso, e para baixo a forca da gravidade.

A magnitude da forca da gravidade e dada por, onde e o coeficiente de atrito cinetico. Como a componente vertical da aceleracao e zero, a segunda lei de Newton diz-nos que, igualmente, a soma das compo- nentes verticais da forca deve ser zero: , ou seja, que . Portanto

(b) A aceleracao e obtida da componente horizontal da segunda lei de Newton. Como

, temosm/s http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 2

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Uma forca horizontal de N comprime um bloco pesando N contra uma parede vertical (Fig. 6-18). O coeficiente de atrito estatico entre a parede e o bloco e, e o coeficiente de atrito cinetico e . Suponha que inicialmente o bloco nao esteja em movimento. (a) O bloco se movera? (b) Qual a forca exercida pela parede sobre o bloco, em notacao de vetores unitarios?(a) O diagrama de corpo isolado consiste aqui de quatro vetores. Na horizontal, apontando para a direita, temos a forca e apontando para a esquerda a forca nor- mal . Na vertical, apontando verticalmente para baixo temos o peso , e apontando para cima a forca de atri- to .

Para determinar se o bloco cai, precisamos encontrar a magnitude da forca de friccao nevessaria para mantelo sem acelerar bem como encontrar a forca da parede sobre o bloco. Se o bloco nao desliza pela parede mas se o bloco ira deslizar.

A componente horizontal da segunda lei de Newton re- quer que , de modo que N e, portanto, N. A componente vertical diz que , de modo que N.

Como , vemos que o bloco nao desliza.

(b) Como o bloco nao se move,

N e N.

A forca da parede no bloco e N

Uma caixa de kg e puxada pelo chaao por uma corda que faz um angulo de acima da horizontal. (a) Se o coeficiente de atrito estatico e , qual a tensao mınima necessaria para iniciar o movimento da caixa? (b) SE

, qual a sua aceleracao inicial?(a) O diagrama de corpo isolado tem quatro forcas.

Apontando para a direita e fazendo um angulo de com a horizontal temos a tensao na corda. Hori- zontalmente para a esquerda aponta a forca de atrito .

Na vertical, para cima aponta a forca normal do chao sobre a caixa, e para baixo a forca da gravidade. Quando a caixa ainda nao se move as aceleracoes sao zero e, consequentemente, tambe o sao as respectivas componentes da forca resultante. Portanto, a segunda lei de Newton nos fornece para as componente horizontal e vertical as equacoes, respectivamente, sen

Esta equacoes nos dizem que e que sen .

Para a caixa permanecer em repouso tem que ser me- nor do que , ou seja, sen

Desta expressao vemos que a caixa comecara a mover- se quando a tensao for tal que os dois lados da equacao acima compemsem-se:

sen donde tiramos facilmente quesen sen N

(b) Quando a caixa se move, a segunda lei de Newton nos diz que sen

Agora, porem temos sen onde tiramos da segunda equacao acima. Substituin- do este na primeira das equacoes acima temos sen de onde tiramos facilmente quesen senm/s

Perceba bem onde se usa e onde entra .

Na Fig. 6-24, A e B sao blocos com pesos de N e

N, respectivamente. (a) Determine o menor peso (bloco C) que deve ser colocado sobre o bloco A para impedilo de deslizar, sabendo que o coeficiente entre A e a http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 3

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mesa e . (b) Se o bloco C for repentinamente retirado, qual sera a aceleracao do bloco A, sabendo que entre A e a mesa e

?(a) Aqui temos DOIS diagramas de corpo isolado. O diagrama para o corpo B tem apenas duas forcas: para cima, a magnitude da tensao na corda, e para baixo a magnitude do peso do bloco B. O diagrama para o corpo composto por A+C tem quatro forcas. Na horizontal, apontando para a direita temos a tensao na corda, e apontando para a esquerda a magnitude da forca de atrito. Na vertical, para cima temos a normal exercida pela mesa sobre os blocos A+C, e para baixo o peso , peso total de A+C.

Vamos supor que os blocos estao parados (nao acelera- dos), e escolher o eixo apontando para a direita e o eixo apontando para cima. As componentes e da segunda lei de Newton sao, respectivamente,

Para o bloco B tomamos o sentido para baixo como sendo positivo, obtendo que

Portanto temos que e, consequentemente, que. Temos tambem que .

Para que nao ocorra deslizamento, e necessario que seja menor que , isto e que . O me- nor valor que pode ter com os blocos ainda parados

Como o peso do bloco A e N, vemos que o menor peso do bloco C e N

(b) Quando existe movimento, a segunda lei de Newton aplicada aos dois diagramas de corpo isolado nos fornece as equacoes

Alem destas, temos , onde (da segunda equacao acima). Da terceira acima tiramos

. Substituindo as duas ultimas expressoes na primeira equacao acima obtemos

Isolando encontramos, finalmente,m/s

Perceba bem onde entra e onde se usa .

6.2.2 Forca de Viscosidade e a Velocidade Limite

Calcule a forca da viscosidade sobre um mıssil de cm de diametro, viajando na velocidade de cruzeiro de m/s, a baixa altitude, onde a densidade do ar e kg/m . Suponha

.Use a Eq. 6-18 do livro texto:

do mıssil, e a velocidade do mıssil, e e o coeficien- te de viscosidade. A area ea dada por

, ondem e o raio do mıssil. Portanto, N

6.2.3 Movimento Circular Uniforme

Se o coeficiente de atrito estatico dos pneus numa rodovia e , com que velocidade maxima um carro pode fazer uma curva plana de m de raio, sem derrapar?A aceleracao do carro quando faz a curva e , onde e a velocidade do carro e e o raio da curva.

Como a estrada e plana (horizontal), a unica forca que evita com que ele derrape e a forca de atrito da estrada com os pneus. A componente horizontal da segunda lei de Newton e . Sendo a forca normal da estrada sobre o carro e a massa do carro, a compo- nente vertical da segunda lei nos diz que .

Portanto, e . Se o carro nao http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 4

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derrapa,

. Isto significa que , ou seja, que .

A velocidade maxima com a qual o carro pode fazer a curva sem deslizar e, portanto, quando a velocidade coincidir com o valor a direita na desigualdade acima, ou seja, quandomax m/s

No modelo de Bohr do atomo de hidrogenio, o eletron descreve uma orbita circular em torno do nucleo. Se o raio e m e o eletron circula vezes por segundo, determine (a) a velocidade do eletron, (b) a aceleracao do eletron (modulo e sentido) e (c) a forca centrıpeta que atua sobre ele. (Esta forca e resultante da atracao entre o nucleo, positivamente carregado, e o eletron, negativamente carregado.) A massa do eletron e kg.(a) (b) (c)

A massa esta sobre uma mesa, sem atrito, presa a um peso de massa , pendurado por uma corda que passa atraves de um furo no centro da mesa (veja Fig. 6-39). Determine a velocidade escalar com que deve se mo- ver para permanecer em repouso.Para permanecer em repouso a tensao na cor- da tem que igualar a forca gravitacional sobre .

A tensao e fornecida pela forca centrıpeta que mantemem sua orbita circular: , onde e o raio da orbita. Portanto, , donde tiramos sem problemas que

Um estudante de kg, numa roda-gigante com velocidade constante, tem um peso aparente de N no ponto mais alto. (a) Qual o seu peso aparente no ponto mais baixo? (b) E no ponto mais alto, se a velocidade da roda-gigante dobrar?

Atencao: observe que o enunciado deste problema na quarta edicao do livro fala em “peso apa- rente de kg”, fazendo exatamente aquilo que nao se deve fazer: confundir entre si, peso e massa.

A origem do problema esta na traducao do livro.

O livro original diz que “um estudante de li-

bras”“tem um peso aparente de libras”.

O tradutor nao percebeu que, como se pode facilemente ver no Apendice F, “libra” e tanto uma unidade de massa, quanto de peso. E e preciso prestar atencao para nao confundir as coisas.

Assim, enquanto que as libras referem-se a uma massa de kg, as libras referem-se a um peso de N.(a) No topo o acento empurra o estudante para cima com uma forca de magnitude , igual a N. A Terra puxa-o para baixo com uma forca de magnitude , igual a N. A forca lıquida apontando para o centro da orbita circular e e, de acordo com a segunda lei de Newton, deve ser igual a , onde e a velocidade do etudante e e o raio da orbita.

Portanto N

Chamemos de a magnitude da forca do acento sobre o estudante quando ele estiver no ponto mais baixo. Tal forca aponta para cima, de modo que a forca lıquida que aponta para o centro do cırculo e . Assim sendo, temos , donde tiramos

N que correspondem a uma massa aparente de

(b) No topo temos , de modo que

Se a velocidade dobra, aumenta por um fator de, passando a ser N. Entao correspondendo a uma massa efetiva dekg http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 5

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Um aviao esta voando num cırculo horizontal com uma velocidade de km/h. Se as asas do aviao estao inclinadas sobre a horizontal, qual o raio do cırculo que o aviao faz? Veja a Fig. 6-41. Suponha que a forca necessaria seja obtida da “sustentacao aerodinamica”, que e perpendicular a superfıcie das asas.O diagrama de corpo isolado do aviao contem duas forcas: a forca da gravidade, para baixo, e a forca, apontando para a direita e fazendo um angulo de com a horizontal. Como as asas estao inclinadas com a horizontal, a forca de sutentacao e perpendicular as asas e, portanto, . Como o centro da orbita esta para a direita do aviao, escolhemos o eixo para a direita e o eixo para cima. A componente e da segunda lei de Newton sao, respectivamente, sen onde e o raio da orbita. Eliminando entre as duas equacoes e rearranjando o resultado, obtemos tan

Para km/h m/s, encontramos tan m

A Fig. 6-42 mostra uma bola de kg presa a um eixo girante vertical por duas cordas de massa desprezıvel. As cordas estao esticadas e formam os lados de um triangulo equilatero. A tensao na corda superior e deN. (a) Desenhe o diagrama de corpo isolado para a bola. (b) Qual a tensao na corda inferior? (c) Qual a forca resultante sobre a bola, no instante mostrado na figura? (d) Qual a velocidade da bola?(a) Chame de e as tensoes nas cordas de cima e de baixo respectivamente. Entao o diagrama de corpo isolado para a bola contem tres forcas: para baixo atua o peso da bola. Para a esquerda, fazendo um angulo para cima, temos . Tambempara a esquerda, porem fazendo um angulo para baixo, temos a forca . Como o triagulo e equilatero, perceba que o angulo entre e tem que ser de sendo , como mostra a figura, a metade deste valor. Observe ainda que a relacao entre as magnitudes de e e , pois deve contrabalancar nao ape- nas o peso da bola mas tambem a componente vertical

(para baixo) de , devida a corda de baixo.

(b) Escolhendo o eixo horizontal apontando para a es- querda, no sentido do centro da orbita circular, e o eixopara cima temos, para a componente da segunda lei de Newton onde e a velocidade da bola e e o raio da sua orbita.

A componente esen sen

Esta ultima equacao fornece a tensao na corda de baixo:sen . Portanto sen N (c) A forca lıquida e para a esquerda e tem magnitude observando-se que o raio da orbita e ( tan , veja a figura do livro):

tan m

Portanto m/s

6.2.4 Problemas Adicionais

Uma forca , paralela a uma superfıcie inclinada acima da horizontal, age sobre um bloco de N, como mostra a Fig. 6-43. Os coeficientes de atrito entre o bloco e a superfıcie sao e . Se o bloco inicialmente esta em repouso, determine o modulo e o sentido da forca de atrito que atua nele, para as seguinte intensidades de P: (a)

N, (b)

N, (c) N.

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