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2sen2 sen

Como a tensão da esquerda TE é igual à tensão da direita TD , ou seja: TE = TD = T temos que:

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Considerando que o ângulo é muito pequeno, temos que:

e por outro lado:

logo:

µ TvT

Energia e potência numa onda progressiva

Quando consideramos a propagação de uma onda progressiva em uma corda o movimento oscilatório de um elemento de corda será no sentido perpendicular à sua propagação. Levando em conta que o deslocamento de um elemento de corda que se encontra na posição x no instante t é dado por y(x,y) y(x,t) = yM sen(kx - wt) esse elemento de corda deslocar-se-á transversalmente com uma velocidade dada por u(x,t) :

Num dado instante a porção da corda à esquerda deste elemento de corda, exerce nele uma força transversal à direção de propagação dada por θsenTFY −=

Considerando que os ângulos envolvidos serão muito pequenos, podemos aproximar x yTTFY ∂

y
x

Portanto, a potência transmitida a um elemento de corda específico por seu vizinho da esquerda é dada pelo produto da força exercida pela velocidade desse elemento:

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Para uma análise global da propagação da onda na corda é interessante que saibamos qual o valor médio da potência comunicada por um elemento ao seu vizinho, e esse resultado é o fluxo de energia na corda por unidade de tempo.

Considerando que:

onde usamos que τ é o período da função, e desse modo:

onde usamos que T = µ v2 e w = k v .

O Princípio da Superposição

Quando estamos ouvindo uma orquestra chegam simultaneamente aos nossos ouvidos os sons de todos os instrumentos que estão sendo tocados num dado instante. Isto significa que uma o mais ondas sonoras podem se propagar ao mesmo tempo numa dada região do espaço. O efeito global que percebemos será a soma dos efeitos que cada uma das ondas produziria se estivesse se propagando isoladamente.

Chamamos de princípio da superposição ao efeito global ser a soma dos efeitos isolados, como se depreende da figura ao lado que represente a interação entre duas ondas progressivas em uma corda.

Num dado instante as ondas viajam uma na direção da outra, produzem um efeito cumulativo ao se encontrar, e depois disso se afastam com o formato original.

Interferência - ondas no mesmo sentido

Vamos considerar o efeito da interação entre duas ondas que viajam no mesmo sentido. Para simplificar a análise, sem perder muito em generalidade, vamos considerar que essas ondas tenham mesma frequência, mesmo comprimento de onda, mesma amplitude, mas tenham uma defasagem. A primeira onda tem constante de fase nula e a se- gunda onda tem constante de fase ϕ . Elas têm a forma:

y1(x,t) = yM sen(kx - wt) y2(x,t) = yM sen(kx - wt + ϕ)

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Vamos usar a identidade trigonométrica:

A onda resultante será a soma das duas ondas, ou seja:

y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) logo:

cos2),( ϕϕ wtkxytxy M

A onda resultante tem uma amplitude modificada de acordo com o valor da diferença de fase entre as ondas formadoras. Alguns casos simples podem ser analisados facilmente:

a. ϕ = 0 y(x,t) = 2 yM sen(kx - wt)

Esse é um exemplo de uma interferência construtiva, as ondas se somam de modo a alcançar a maior amplitude possível.

b. ϕ = π y(x,t) = 0

Esse é um exemplo de uma interferência destrutiva, as ondas interagem e o resultado é a anulação de uma pela outra.

Interferência - ondas em sentido contrário

Vamos analisar o resultado da interação entre duas ondas que se propagam em sentidos contrários y1(x,t) = yM sen(kx - wt) y2(x,t) = yM sen(kx + wt)

Para simplificar a análise, sem perder muito em generalidade, vamos considerar que essas ondas tenham mesma frequência, mesmo comprimento de onda, mesma amplitude, e mesma constante de fase.

Novamente vamos usar a identidade trigonométrica:

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A onda resultante será a soma das duas ondas, ou seja:

y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) logo:

y(x,t) = [ 2 yM sen(kx) ] cos(wt)

Esta não é uma onda progressiva, porque não depende de x e t na forma (kx -wt) mas no entanto a corda oscila para cima e para baixo.

Existem alguns pontos na corda onde a amplitude é máxima, e eles são localizados quando kx assumem valores múltiplos ímpares de π/2 . Ou seja:

A partir do resultado anterior podemos encontrar os valores de x para os quais a amplitude é máxima. Esse pontos são chamados antinodos. Temos que k = 2π/λ , logo

Por outro lado existem pontos onde a amplitude de oscilação é sempre nula, ou seja: a corda não se move. Esses pontos são localizados quando kx assume valores múltiplos de π .

A partir do resultado anterior podemos encontrar os valore de x para os quais a amplitude é nula. Esse pontos são chamados nós. Temos que k = 2π/λ , logo

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Reflexão de ondas na extremidade de uma corda

Uma corda pode ter a sua extremidade presa a um ponto fixo ou a uma presilha móvel.

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