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Uma onda quando incide na extremidade de uma corda será refletida de um modo quando tem-se a extremidade fixa e de modo diverso quando a extremidade é móvel.

As duas situações podem ser vistas nas figuras vizinhas, e uma dedução desses resultados pode ser encontrada no Vol 2 do Curso de Física Básica de H Moysés Nussenzveig .

Ondas estacionárias e ressonância

Quando uma presa por ambas as extremidades é posta para vibrar em certa frequência as ondas se propagam nos dois sentidos formando um padrão de interferência, como já foi analisado anteriormente.

Para algumas frequências específicas a corda entra em ressonância, e acontecem as ondas estacionárias

Na primeira figura à direita

temos uma onda estacionária com três nós intermediários. O nó é um ponto onde a corda não se movimenta. Obviamente, as extremidades são dois nós. Numa onda estacionária, essa situação define o primeiro padrão de oscilação, ou seja:

L = λ /2

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É um padrão de oscilação onde a onda estacionária tem meio comprimento de onda.

Num segundo padrão de oscilação temos um nó intermediário e desse modo:

É um padrão de oscilação onde a onda estacionária tem um comprimento de onda.

Num terceiro padrão de oscilação temos dois nós intermediário e desse modo:

É um padrão de oscilação onde a onda estacionária tem três meios comprimentos de onda.

L = 3 λ /2

Podemos generalizar dizendo que a condição para existir um padrão de oscilação para uma onda estacionária é que:

Já mostramos anteriormente que:

λ λ vff

Mas para uma corda presa pelas extremidades, apenas algumas frequências específicas podem desenvolver uma onda estacionária, portanto:

µTL nfvL nf N 2

Essas frequências específicas são chamadas frequências de ressonância, e como pode-se notar elas são múltiplas de uma certa frequência mais baixa (n=1) . Chama-se a frequência mais baixa (n=1) de fundamental ou primeiro harmônico. O segundo harmônico corresponde a (n=2) . Chama-se série harmônica o conjunto dos possíveis modos de oscilação, enquanto n é chamado de número harmônico.

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Solução de alguns problemas

Capítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição

05Mostre que y(x,t) = yM sen(k x - w t) pode ser reescrito nas seguintes formas alternativas:

a)y(x,t) = yM sen[k (x - v t)] b)y(x,t) = yM sen[2π (x / λ - f t)] c)y(x,t) = yM sen[w (x / v - t) ] wwtkx d)y(x,t) = yM sen[2π [x / λ - t / T)]

T txtT xwtkx λ

Capítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

“09”Um pulso isolado, cuja forma de onda é dado pela função h(x - 5 t) é mostrado na figura à seguir para t = 0 , onde x é dado em centímetros e t é dado em segundos.

a)Qual a velocidade de propagação deste pulso?

Um ponto com fase constante na onda é definido por:

ϕ(x,t) = x - 5 t = cte

A velocidade desse ponto é a velocidade da onda, logo:

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Prof. Romero Tavares da Silva b)Qual o sentido de propagação deste pulso?

O sentido positivo do eixo x . c)Trace o gráfico h(x - 5 t) como uma função de x para t = 2s .

Como é uma onda progressiva em um meio não dispersivo e sem atenuação, a forma da onda manter-se-á a mesma. Assim, basta calcular onde um ponto do pulso vai estar. Vamos escolher o ponto mais à esquerda da onda que se encontra na posição inicial LI = 1cm. t = 5s

No intervalo de tempo ∆t = 2s esse ponto move-se de ∆L, onde ∆L = v ∆t = 5 . 2 = 10cm

A posição final LF desse ponto será:

LF = LI + ∆L = 1 + 10 = 11cm d)Trace o gráfico h(x - 5 t) como uma função de t para x = 10cm .

Seja tE o tempo necessário para que a parte da esquerda do pulso alcance o ponto x = 10cm . O máximo do pulso já passou por esse ponto um tempo ∆tM anterior e a parte da direita do pul- so já passou um tempo

∆tD . Temos três tempos ca- racterísticos tE ; x = 10cm tM = tE + ∆tM e tD = tE +∆tD .

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Capítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

“1”A equação de uma onda transversal se propagando em uma corda é dada por: y(x,t) = (2,0mm) sen[(20m-1)x - (600s-1)t] a)Ache a amplitude, frequência, velocidade e comprimento de onda.

w = 600rad/s⇒ f = w/2π = 95,5Hz
k = 20rad/m⇒ λ = 2π/k = 0,31m

yM = 2,0mm v = w/k = 30m/s b)Ache a velocidade escalar máxima de uma partícula da corda.

uM = 1200mm/s = 1,2m/s

Capítulo 17 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição

12A tensão num fio preso em ambos os extremos é duplicada sem que haja qualquer mudança considerável em seu comprimento. Qual é a razão entre as velocidades das ondas transversais nesse fio, antes e depois do aumento de tensão?

TF = 2 TI

A velocidade de propagação de uma onda numa fio é dada por:

µ Tv =

IFFIFI Tv µ

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