014gravitação

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(Parte 2 de 9)

dMFd
xL + s - x

sobre a partícula será a soma de todas as contribuições das massas elementares que compõe a haste. Por outro lado existe uma relação entre o elemento de massa dM e o espaço dx que ele ocupa na haste. Como a haste tem a massa distribuída uniformemente, temos a proporção:

dxL MdM dxdM =⇒

Desse modo, a força total tem a forma:

o xsL dxL mMGF 2

Fazendo a mudança de variáveis u = L + d - x , encontramos:

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() sLs L mMG sLsL mMG uL mMGuduL mMGF sLs ou seja

() sLs mMGF +

Força entre uma haste e uma massa pontual – Caso 2

Vamos considerar uma haste de largura desprezível e massa M distribuída uniformemente ao longo do seu comprimento L . Uma partícula de massa m está colocada a uma distância s da haste, como mostra a figura ao lado.

Devemos calcular o elemento de força Fd! que um elemento de massa dM da haste exerce sobre a partícula de massa m . Vamos considerar a haste no eixo y e a partícula no eixo x. Essa força é dirigida ao longo da reta que une o elemento de massa dM e a partícula. A reta faz um ângulo θ com o eixo x .

Lx

m s

Supondo que o elemento de massa dM está a uma distância y do ponto médio da haste, o módulo do elento de força tem a forma:

2r dMmGdF =

As componentes cartesianas dFX e dFy são escritas como:

y Fd

dM !

θm

22cos cos ys yr ysen ys sr s onde dFsendF dFdFYX θθ

Como a haste tem a massa distribuída uniformemente, temos a proporção:

dyL MdM dydM =⇒

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Podemos então dizer que:

32 rdyL mMsGr sdyLMr

LX ys dyL mMsGF

E de maneira equivalente:

32 rydyL mMGr ydyLMr

LY ys ydyL mMGF

Para calcular FX vamos fazer a substituição:

s LLy s LLy sdy s y sectan 2 βββ

Logo:

dLs mMGs dsL mMsGs dsL mMsGFX βββ βββ ββ cossecsec tan1sec

() ISX sensenLs mMGF ββ −=

Mas

S sen s L e de modo equivalente:

e portanto:

mMG sL L sL LLs mMGFX

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Para o cálculo da componente y podemos observar que a simetria nos conduz a um re- sultado nulo. Para cada contribuição para a componente FY oriunda de um elemento de massa acima do ponto médio temos uma contribuição equivalente de um elemento de massa simétrico abaixo do ponto médio. Podemos mostrar esse resultado calculando explicitamente a integral:

LY ys ydyL mMGF

Usando a substituição:

2cos2tan 2sec tan sL s LLy sL s LLy sdy s y dsenLs mMGd sL mMGs dssL mMGFY βββ βββ βββ sec tan1 tan1

Campo produzido por uma distribuição esférica de massa em seu exterior

Seja uma casca esférica de raio r , espessura infinitesimal t e massa M . Qual a força de interação gravitacional entre essa casca e uma partícula de massa m , localizada externamente a uma distância a de seu centro?

Para calcular essa força, vamos considerar inicialmente a interação gravitacional entre a partícula de massa m e um anel que faz parte da casca esférica.

A reta que liga um ponto desse anel e a origem das coordenadas faz um ângulo θ com o eixo x , e o ângulo enfeixado por ele é dθ . Desse modo esse anel terá raio r.senθ e largura r.dθ , e Fd! será essa força a ser calculada.

A reta que une a massa m até um ponto do anel tem um comprimento R e faz um ângulo α com o eixo x .

r senθθ Fd
m x

α t

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