014gravitação

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(Parte 3 de 9)

Cap 14 w.fisica.ufpb.br/~romero 9

A força elementarFd! tem componentes x e s , onde a componente s está no plano perpendicular ao eixo x . Ou seja:

e portanto:

dFdFF FsFiF

SX ααsen

Por simetria FS = 0 pois cada uma das contribuições infinitesimais tem um equivalente de sinal contrário, que na integração tornará nula essa componente.

O módulo da força elementar dF , tem a forma:

2R dMmGdF = onde dM é a massa elementar do anel e R é a distância de um ponto desse anel até a posição da partícula de massa m . Iremos usar o conceito de densidade volumétrica de massa, que é reprentada pela letra grega ρ , e é definida como a razão entre a massa e o volume ocupado por essa massa, ou seja:

dV dM=ρ e quando a distribuição de massa for uniforme, podemos também dizer que:

O volume elementar do anel será: dV = 2π (raio) (largura) (espessura) dV = 2π (r senθ ) (r dθ) ( t ) e portanto:

dM = ρ dV = 2π ρ t (r senθ ) (r dθ) = 2π ρ t r2 senθ dθ

O ângulo α definido como aquele que a reta que une a partícula ao anel genérico, faz com o eixo x , e é tal que:

ra θα coscos − = onde R é a distância entre a partícula de massa m até o anel genérico. Desse modo drtmGdFdFX θθθρπα cossen2cos 2 ou ainda:

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 14 w.fisica.ufpb.br/~romero 10 drarGmtdFX onde arra drarmGtdFX −+ e então:

sencos2 arra drarmGtFX

Em termos da física envolvida o problema está encerrado, mas essa integral não tem uma aparência muito simpática. Talvez fosse mais adequado fazer uma mudança de

variável e usar a distância R ao invés do ângulo θÀ partir da definição de R

podemos diferenciar e encontrar que:

e também que:

a Rara e podemos colocar como:

RaraadRR rGmtR

RaraarRdRR rGmtdFX 2 dRR raa rGmtdRR raRa

X dRR raa rGmtF 2 raX R raRa rara rararaa rGmtFX

Mas o volume V da esfera é o produto de sua área 4πr2 por sua espessura t , ou seja:

Prof. Romero Tavares da Silva

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VmGFX ρ = e como foi definido anteriormente, M = ρ V , logo:

2a MmGFX =

A força de atração entre uma casca esférica de massa M , cujo centro está a uma

distância a de uma partícula de massa m tem o mesmo valor da atração entre duas partículas que distam de a > r e têm massas M e m respectivamente. Em outras palavras: a casca esférica se comporta com se toda a sua massa estivesse concentrada no seu centro.

Campo produzido por uma distribuição esférica de massa em seu interior

Seja uma casca esférica de raio r , espessura infinitesimal t e massa M . Qual a força de interação gravitacional entre essa casca e uma partícula de massa m , localizada internamente a uma distância a de seu centro?

Para calcular essa força, vamos considerar inicialmente a interação gravitacional entre a partícula de massa m e um anel que faz parte da casca esférica.

A reta que liga um ponto desse anel e a origem das coordenadas faz um ângulo θ com o eixo x , e o ângulo enfeixado por ele é dθ . Desse modo esse anel terá raio r.senθ e largura r.dθ , e Fd! será essa força a ser calculada.

A reta que une a massa m até um ponto do anel tem um comprimento R e faz um ângulo α com o eixo x .

A força elementarFd! tem compo- nentes x e s , onde a componente s está no plano perpendicular ao eixo x . Ou seja:

e portanto:

dFdFF

S X ααsen cos

r senθ

Por simetria FS = 0 pois cada uma das contribuições infinitesimais tem um equivalente de sinal contrário, que na integração tornará nula essa componente.

O módulo da força elementar dF , tem a forma:

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 14 w.fisica.ufpb.br/~romero 12

2R dMmGdF = onde dM é a massa elementar do anel e R é a distância de um ponto desse anel até a posição da partícula de massa m . Iremos usar o conceito de densidade volumétrica, que é reprentada pela letra graga ρ , e é definida como a razão entre a massa e o volume ocupado por essa massa, ou seja:

dV dM=ρ e quando a distribuição de massa for uniforme, podemos também dizer que:

O volume elementar do anel será:

dV = 2π (raio) (largura) (espessura) dV = 2π (r senθ ) (r dθ) t e portanto:

dM = ρ dV = 2π ρ t (r senθ ) (r dθ) = 2π ρ t r2 senθ dθ

O ângulo α definido como aquele que a reta que a massa da partícula ao anel faz com o eixo x é de tal modo que:

ra θα coscos + = ou ainda:

drarGmtdFX onde arra drarmGtdFX ++ e então:

sencos2 arra drarmGtFX

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