014gravitação

014gravitação

(Parte 4 de 9)

Em termos da física envolvida o problema está encerrado, mas essa integral não tem uma aparência muito simpática. Talvez fosse mais adequado fazer uma mudança de

variável e usar a distância R ao invés do ângulo θÀ partir da definição de R

podemos diferenciar e encontrar que:

e também que:

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 14 w.fisica.ufpb.br/~romero 13 a raRa raRr 2 cos e podemos colocar como:

[] () aR raRaadRR rGmtR raRaarRdRR rGmtdFX 2 dRR raa rGmtdRR raRa

X dRR raa rGmtF 2 arX R raRa arar raarara ar araaa rGmtFX

Encontramos então, que é nula a força de atração entre uma casca esférica de

massa M e uma partícula de massa m colocada no seu interior.

Cálculo alternativo - partícula no interior

Uma maneira alternativa de calcular a interação entre uma casca esférica de massa

M , raio r e espessura h , e uma partícula de massa m pode ser depreendida da figura à seguir.

Construímos dois cones complementares, cujos vértices coincidem com a posição da partícula de massa m . Cada cone delimita um mesmo ângulo sólido dΩ e a interseção de cada cone com a casca esférica define uma área elementar dA nesta casca.

Usando a definição de ângulo sólido, temos que:

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 14 w.fisica.ufpb.br/~romero 14 e também onde deve ficar claro que as áreas que delimitadas por ambos os cones dependem da sua distância (r1 ou r2 ) à partícula.

Como a casca esférica tem espessura h os volumes elementares delimitados por cada cone na esfera, têm a forma:

r2
r1

dΩ dhrdAhdV dhrdAhdV

A massa elementar de cada um desses volumes é:

dhrdVdM dhrdVdM

A força que cada uma dessas massas elementares exercerá na partícula, tem a forma: ()

() dFdFdF dhmG dhrm G dMm GdF dhmG r dhrm G dMm GdF

Toda a superfície será varrida por cones complementares, de modo que a contribuição de uma região de uma região para a força gravitacional total, anulará a contribuição da região complementar e desse modo a força de interação total é nula.

Podemos chegar a essa conclusão considerando a soma de dF por todos os ângulos sólidos da esfera, ou seja:

Ω== dhmGdFF ρ mas dΩ = senθ dθ dϕ logo:

π ϕθθρ ddhmGF

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 14 w.fisica.ufpb.br/~romero 15

Energia potencial gravitacional

Para toda força conservativa ()rF !! podemos associar uma energia potencial ()rV! .

Essa energia potencial é definida em termos do trabalho executado pela força correspondente, da seguinte forma:

partícula do ponto A até o ponto BA

ou seja: a variação de energia potencial de uma partícula entre dois pontos A e B é igual ao trabalho executado (com sinal negativo) pela força considerada para levar essa B

Outro modo de colocar essa questão é dizer que:

A energia potencial é definida em termos de uma variação ∆U , ou seja: ela é definida a menos de uma constante arbitrária. Em outra palavras: definimos variações de energia potencial; o quanto diminuiu ( ou aumentou) a energia de um corpo que foi de uma posição inicial até uma final. Escolhemos a origem da energia potencial de maneira arbitrária, como já foi mencionado.

Vamos detalhar o cálculo da energia potencial em duas situações típicas: muito próximo da superfície da Terra e muito longe da superfície.

Energia potencial gravitacional próximo à superfície da Terra

Próximo à superfície da Terra podemos considerar a força de interação entre a Terra e uma partícula de massa m constante e com módulo mg .

Vamos calcular a variação de energia potencial gravitacional entre o ponto inicial A localizado na superfície da Terra e o ponto final B localizado numa altura y .

O vetor ld! é definido como um vetor infinitesimal dirigido ao longo da curva de integração e apontando da posição inicial para a posição final.

y
y

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 14 w.fisica.ufpb.br/~romero 16

A AABAB ldFUWUU onde escolhemos UA como a origem da energia potencial e portanto com o valor zero. Usando essas considerações, podemos dizer que:

dyjld mgjgmF !

U(y) = m g y

Energia potencial gravitacional distante da superfície da Terra

No caso mais geral, quando quisermos calcular a diferença de energia potencial gravitacional entre dois pontos distantes devemos usar a equação de gravitação sem aproximações.

Vamos calcular a diferença de energia potencial entre duas posições ocupadas por uma partícula. Inicialmente ela está numa posição muito distante (no infinito) e ela então é trazida até uma posição finita r . Ou seja:

Vamos considerar a origem da energia potencial num ponto muito distante, de modo que:

U(∞) = 0

Devemos considerar que:

FrF er MmGF e então:

(Parte 4 de 9)

Comentários