014gravitação

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2 rGMmrGMmr drGMmdrrr

MmGrrU e finalmente:

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Por outro lado:

r MmGrrFdr

Leis de Kepler

A humanidade sempre foi fascinada pelo céu noturno, com a infinidade de estrelas e com os brilhantes planetas. No final do século XVI, o astrônomo Tycho Brahe estudou os movimentos dos planetas e conseguiu fazer observações muito mais exatas que as feitas anteriormente por outros observadores.

Com os dados de Tycho Brahe, Johannes Kepler descobriu que as trajetórias dos planetas em torno do Sol eram elipses. Mostrou também que tinham velocidades maiores quando orbitavam nas proximidades do Sol e menores quando estavam muito afastados. Kepler estabeleceu, por fim, uma relação matemática precisa entre o período de um planeta e a sua distância média ao Sol, e enunciou os resultados da sua investigação em três leis empíricas do movimento dos planetas. Física Paul A Tipler Vol 1 - Cap 1 - pag300 LTC - Editora - 2000

As Leis empíricas de Kepler vieram a ser comprovadas posteriormente pela Mecânica Newtoniana.

Primeira - Lei das Órbitas: Todos os planetas se movem em órbitas elípticas, com o Sol em um dos focos.

A Mecânica Newtoniana deduziu uma conclusão ainda mais geral. Quando um corpo está sob a ação de uma força que varia com o inverso do quadrado da distância (como a força gravitacional) ele descreve uma órbita que é uma cônica (elipse, parábola ou hipérbole). A órbita a ser descrita pelo corpo depende da sua Energia Mecânica. No caso dos planetas temos órbitas fechadas - elipse e no caso dos cometas temos uma trajetória aberta - hipérbole.

Para maiores detalhes da análise das Leis de Kepler o interessado deve consultar :

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Classical Machanics Herbert Goldstein Cap 3 - Sec 3-7 Addison Wesley - 1980

Segunda - Lei das Áreas: Uma linha que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. Vamos considerar a área

∆A varrida pelo planeta num in- tervalo de tempo ∆t . Quando o intervalo de tempo for muito pequeno, a área do triângulo pontilhado em vermelho vale aproximadamente:

∆A ≈ r . (r . ∆θ )/2 onde r mede aproximadamente a distância entre o Sol e o planeta e ∆θ mede o ângulo varrido pela linha quando o planeta se movimenta da posição inicial até a final. A taxa com que essa área varia com o tempo é dada por:

trtA ∆ e quando o intervalo de tempo tender a zero:

onde w é a velocidade angular do planeta. Por outro lado, o vetor momento linear p! do planeta tem a direção tangente à curva descritas por esse objeto. Iremos decompor esse vetor segundo uma componente radial e outra componente perpendicular. A componente radial tem a direção ao longo da linha que une o planeta ao Sol e componente perpendicular é per- pendicular a essa linha. Desse modo, o vetor momento angular L! do planeta num dado instante é dado por:

Considerando a variação da área varrida pela linha, encontramos que:

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Se dA/dt é constante como Kepler afirmou, isso significa que L também deve ser

constante - o momento angular deve ser conservado. Assim, a segunda Lei de Kepler é equivalente á lei de conservação do momento angular

Terceira - Lei dos Períodos: O quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior de sua órbita.

Por simplicidade, vamos considerar que a órbita do planeta de massa m é circular de raio R , e o movimento tem um período T . A única força que atua no planeta é a força gravitacional e portanto ela é a força centrípeta:

MGvR vmR

Mas, por outro lado:

ou seja tecons

Órbitas de satélites e energia

Vamos considerar o movimento de dois objetos estelares de massas M e m respectivamente, com interação dada pela Lei de Gravitação Universal, que num dado momento estão distantes entre si uma distância r . Vamos supor ainda que a origem do referencial esteja localizada em M , e para simplificar, que a órbita de m ao redor de M seja uma circunferência - ao invés do caso mais geral que seria uma elipse.

Esse sistema é conservativo, e a Energia Mecânica E é a soma das Energias Cinética K e Potencial U .

r MmGU mvK

A única força que está atuando é a gravitacional, portanto ela é a força centrípeta, e desse modo:

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() ()rUrKr e desse modo:

Quando a Energia Mecânica é negativa (como neste caso) temos um sistema fechado pois a partícula não é livre para se libertar do potencial e se afastar para uma distância infinitamente grande. Isso é decorrência do fato da energia potencial (que é negativa) ter um módulo maior que a energia cinética e como consequência a partícula estará presa a este potencial. Em contraposição, a partícula será livre quando a energia mecânica for positiva.

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Solução de alguns problemas

Capítulo 14 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição

07A que distância da Terra, medida ao longo da linha que une os centros da Terra e do

Sol, deve estar uma sonda espacial para que a atração gravitacional deste anule a da Terra?

MS = 1,99x1030kg MT = 5,98x1024kg

Vamos considerar m a massa da sonda. A uma certa altura h da Terra as duas forças sobre a sonda serão iguais.

R - hh
Solp!
Terra

Sonda R

As forças que o Sol e a Terra exercem sobre a sonda têm a forma:

mMGF hR mMGF

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