014gravitação

014gravitação

(Parte 6 de 9)

Igualando as duas forças encontramos que:

MMhM hRM T

A física do problema está equacionada e resta agora resolver esta equação do segundo grau. Definindo a equação toma a forma:

M RRhhRh +

Capítulo 14 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição

09Na figura ao lado, duas esferas de massa m (m2 e m3) e uma terceira de massa M

(m1) estão nos vértices de um triângulo equilátero, e uma quarta esfera de massa m4 está no baricentro do triângulo. Se a força gravitacional resultante sobre esta quarta esfera é nula, exprima a massa M em termos da massa m .

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Cap 14 w.fisica.ufpb.br/~romero 2

Cada um dos ângulos internos de um triângulo equilátero tem o valor de 600 , e portanto o ângulo entre a bissetriz deste ângulo e um dos lados vale 300. Quando dividido pelas bissetrizes, o triângulo equilátero dá origem a seis triângulos

y
m3 m2

retângulos como mostrados ao lado. O ângulo α = 300 por ser a metade da bissetriz e β = 600 por ser complementar a α . Vale lembrar que a esfera central está equidistante ( a ) das outras três esferas. Com essas considerações, as forças têm a forma:

FX = F2 senβ - F3 senβ = 0⇒ F2 = F3
FY = F1 - F2 cosβ - F3 cosβ = 0⇒ F1 = 2 F2 cosβ = 2 F2 (0,5) ∴ F1 = F2

mMa mmGa

Capítulo 14 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição

10Na figura à seguir, quatro esferas estão nos vértices de um quadrado de lado 2,0cm.

Qual o módulo e a direção da força gravitacional resultante sobre uma esfera colocada no centro do quadrado com massa m5 = 250kg ? m1 = 500kg m2 = 300kg m3 = 500kg m4 = 100kg m5 = 250kg a = 2cm = 0,02m

500kg300kg

100kg 500kg

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A distância r entre cada vértice e o centro tem a forma:

y

m GF m G m GF m G m GF m a m GF m G m GF m G m GF

Capítulo 14 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição

13Fazemos uma cavidade esférica em uma bola de chumbo de raio R , de tal modo que sua superfície toca o exterior da esfera de chumbo, passando também pelo seu centro. A massa da esfera, antes de ser feita a cavidade, era M . Qual a intensidade da força gravitacional com que a esfera côncava atrairá uma pequena esfera de massa m , que está a uma distância d do seu centro, medida ao longo

Vamos lançar mão do seguinte artifício para resolver: vamos considerar que a esfera com uma cavidade é resultado da composição de uma esfera maciça de raio R e de uma esfera de massa negativa e raio R/2 colocada exatamente no local da cavidade.

A força de interação da esfera com cavidade e a pequena esfera de massa m , d R m

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Cap 14 w.fisica.ufpb.br/~romero 24 será simulada pela interação das esfera maciça e a de massa negativa com a pequena esfera.

Vamos considerar que as esferas têm mesma densidade. Seja V o volume da esfe- ra maciça e VB o volume do buraco que foi feito numa esfera maciça para construir a esfera côncava. A massa da esfera maciça é:

Por outro lado, a massa retirada para fazer o buraco vale:

e portanto a massa MR que restou depois de ter sido feito o buraco, foi:

A força da esfera restante de massa 7M/8 sobre a pequena esfera será:

Rd d mMG

MmGd mMGFFF B BR e finalmente:

Rd mMGFR

Capítulo 14 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

14Uma barra fina de massa M é deformada até adquirir a forma de um semicírculo de raio R , como na figura à seguir.

a)Qual é a força gravitacional (em módulo e direção) sobre uma partícula de massa m e colocada no centro de curvatura da barra?

Vamos resolver este problema para uma situação genérica, onde a barra foi deformada de modo a adquirir a forma de um arco de círculo de raio R

R

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Cap 14 w.fisica.ufpb.br/~romero 25 mas com um ângulo θ0 ao invés de π. Vamos colocar a massa m no eixo de simetria do arco, mas a uma distância d do seu centro de curvatura.

Para realizar esse cálculo vamos considerar a força de atração entre a massa m e uma elemento de massa dM que pertence à barra deformada e está localizada a um ângulo θ do centro de curvatura e tem a largura angular de dθ .

rθ

x

O elemento de massa dM está a uma distância r da massa m e a reta que os une faz um ângulo α com o eixo x . A força entre m e dM está na direção da reta que une essas duas massas e tem a forma:

cos

2 dFdF dFdF r dMmGdF

A distância r tem a forma:

r2 = R2 + d2 + 2 R d cosθ e por outro lado:

sensensensen coscoscoscos r RddRr

Considerando que a massa da barra tem uma distribuição uniforme, podemos dizer que:

M = λ ( Rθ0 )∴ dM = λ R dθ

e finalmente:

θλα θλ d

(Parte 6 de 9)

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