014gravitação

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(Parte 7 de 9)

RddR cos2 coscos ++ e de maneira equivalente encontramos que θλα θλ d

RddR senRGmsenr dRmGdFY cos2222 ++

Integrando essas equações, encontramos:

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Cap 14 w.fisica.ufpb.br/~romero 26 cos θ θ θθθθ d RddR

RdmMGFX sen θ θ θθθθ d RddR mMGFY

A integral que define FY tem solução simples, fazendo-se as substituições:

Rd dud

RddRu

RddRu dRddu

RddRu S

2 sen sen2 como o limite inferior uI é igual ao limite superior uF essa integral é nula. e desse modo é nula a componente y da força de interação. esse resultado já poderia ser antecipado se tivéssemos considerado que cada elemento de massa acima do eixo x produz uma contribuição para FY que será anulada por um elemento simétrico a ele abaixo do eixo x .

Já a equação que define FX não tem solução exata nas condições que foi proposta.

cos θ θ θθθθ d RddR

RdmMGFX

Vamos considerar algumas situações típicas.

1. Inicialmente vamos analisar a situação em que a barra e a massa estão muito distantes uma da outra. Em outra palavras d >> R e a integral toma a forma:

1 d mMGFd mMGdd e esse resultado nos diz que a barra e a massa quando estão muito distante se atraem como se fossem massas pontuais. Em segundo lugar vamos analisar as diversas possibilidades que acontecem quando d = 0 .

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Cap 14 w.fisica.ufpb.br/~romero 27 sen2coscos 0 2

0 θθ θθθ θ θθθ θ R mMGdR mMGdR

RmMGFX

Se escolhermos θ0 = π , como no caso proposto neste problema:

2 R GmMFX π b)Qual seria a força gravitacional sobre m se a barra tivesse a forma de um círculo completo?

Usando o resultado do item anterior é fácil perceber que quando θ0 = 2π a força FX é nula.

Capítulo 14 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição

17A maior velocidade de rotação possível para um planeta é aquela em que a força gravitacional, exercida sobre a matéria em seu equador, é exatamente igual à força centrípeta necessária para manter essa matéria em rotação.

0) Porquê?

Podemos considerar um modelo para esse objeto como sendo composto de matéria fria e sólida como a Lua, Terra e etc. Mas por outro lado podemos considerando que o objeto estelar é composto de matéria não sólida, como as estrelas. O que mantém esse objeto coeso? É basicamente a interação gravitacional ou entra em questão outro tipo de interação entre a matéria.

Na situação mais simples, existe apenas a interação gravitacional. Desse modo, se a velocidade de revolução do objeto for maior que aquela possível de mantê-lo coeso através da atração gravitacional ele simplesmente irá perdendo matéria que será ejetada pois ele não consegue mantê-la coesa.

a)Mostre que o período de rotação mínimo, correspondente a tais condições, é dado por:

onde ρ é a densidade do planeta que supomos ser homogêneo.

Vamos considerar a interação entre uma pequena massa m que está na superfície da Terra com toda a massa da Terra:

vm R

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R v ou ainda:

b)Calcule o período de oscilação, considerando uma densidade igual a 3g/cm3 , que é típica de muitos planetas, satélites e asteróides. Nunca foi encontrado um objeto astronômico com período de rotação menor que o determinado pela análise feita neste problema.

Depois dos cálculos, encontramos que: T = 6,86x103s = 114,33min = 1,90h

Capítulo 14 - Halliday, Resnick e Walker - 6a. edição

22Duas cascas concêntricas de densidade uniforme, têm massa M1 (interna) e M2 (externa) e estão distribuídas como mostra a figura ao lado. Calcule a força gravita- cional sobre uma partícula de massa m quando ela estiver em:

a)r = a

O ponto a é externo às duas cascas esféricas e portanto a massa m sente o efeito da presença das duas cascas. Elas se comportam como se toda a massa de cada uma delas estivesse no seu centro geométrico. Desse modo a força que as cascas exercem tem a forma:

21 a mMMGa mMGa

c

b)r = b

O ponto b é externo à casca esférica de massa M1 e interno à casca esférica de massa M2 , e desse modo a massa m não sentirá o efeito da presença da casca M2 que a envolve. A força que a casca esférica de massa M1 exerce é:

c)r = c

O ponto c é interno às duas cascas e portanto não existirá força gravitacional atuando na massa m .

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