Baixe 09 sistema de particulas e outras Notas de aula em PDF para Engenharia Ambiental, somente na Docsity! Versão preliminar 10 de setembro de 2002 09. SISTEMA DE PARTÍCULAS ........................................................................................ 2 O CENTRO DE MASSA.......................................................................................................... 2 Sistema de partículas - Uma dimensão ........................................................................ 2 Sistema de partículas - Duas dimensões...................................................................... 3 Sistema de partículas - Três dimensões ....................................................................... 3 Corpos rígidos............................................................................................................... 4 MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA...................................................................................... 5 MOMENTO LINEAR DE UMA PARTÍCULA .................................................................................. 6 MOMENTO LINEAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS ................................................................ 6 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR................................................................................... 7 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8 2 .................................................................................................................................... 8 3 .................................................................................................................................... 8 3A.................................................................................................................................. 9 4 .................................................................................................................................. 10 7 .................................................................................................................................. 10 8 .................................................................................................................................. 12 15 ................................................................................................................................ 13 17 ................................................................................................................................ 13 18 ................................................................................................................................ 15 21 ................................................................................................................................ 15 22 ................................................................................................................................ 17 30 ................................................................................................................................ 18 34 ................................................................................................................................ 19 37 ................................................................................................................................ 20 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 09 romero@fisica.ufpb.br 2 09. Sistema de partículas O centro de massa Mesmo quando um corpo gira ou vibra, existe um ponto nesse corpo, chamado centro de massa, que se desloca da mesma maneira que se deslocaria uma única partí- cula, com a massa deste corpo e sujeita ao mesmo sistema de forças que ele. Ainda que o sistema não seja um corpo rígido mas um conjunto de partículas, pode ser definido para ele um centro de massa, como veremos adiante. Sistema de partículas - Uma dimensão Vamos definir inicialmente a posição xCM do centro de massa para um sistema composto de duas partículas de massas m1 e m2 e que ocupam as posições x1 e x2 . 21 2211 mm xmxm xCM + + = ou 2 21 2 1 21 1 x mm m x mm m xCM     + +    + = m1 m2 x1 x2 Podemos olhar a última equação como uma média ponderada da posição de cada partícula de massa mi onde o "peso" de cada termo é a fração da massa total contida na posição xi . Para um sistema de N corpos dispostos ao longo de uma linha reta, podemos fa- zer uma extensão da definição anterior: ∑ ∑ = == +++ +++ = N i i N i i N NN CM m xm mmm xmxmxm x 1 1 1 21 2211 ! ! Iremos definir a massa total do sistema como M , onde: ∑ = = N i imM 1 e desse modo teremos: ∑ = = N i iCM mMx 1 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 09 romero@fisica.ufpb.br 5 Movimento do centro de massa A partir da definição de centro de massa temos a seguinte equação: NNCM rmrmrmrM " ! """ +++= 2211 A variação dessas posições com o tempo é calculada como: dt rdm dt rdm dt rdm dt rd M NN CM " ! """ +++= 22 1 1 de modo que a velocidade do centro de massa tem a forma: ∑ = =+++= N i iiNNCM vmvmvmvmvM 1 2211 "" ! """ A variação dessas velocidades com o tempo é calculada como: dt vdm dt vdm dt vdm dt vd M NN CM " ! """ +++= 22 1 1 de modo que a aceleração do centro de massa tem a forma: ∑ = =+++= N i iiNNCM amamamamaM 1 2211 "" ! """ Cada termo da equação anterior refere-se a uma partícula específica, e é igual à força resultante que atua nessa partícula. ∑ = =+++= N i iNCM FFFFaM 1 21 "" ! """ Mas a força resultante que atua em uma partícula que faz parte desse sistema é composta de duas partes: as forças externas a esse sistema que atuam em cada partícula e as forças internas de interação mútua entre as partículas. ( ) ( ) ( ) ( ) INTEXTN i iINTiEXTNINTNEXTINTEXTINTEXTCM FFFFFFFFFFaM """""" ! """"" +=+=+++++= ∑ =1 2211 Mas quando considerarmos a soma das forças internas estaremos incluindo pares de forças que se anulam, segundo a Terceira Lei de Newton por serem ação e reação. Por exemplo: iremos incluir as forças que a partícula 2 exerce na partícula 3 como tam- bém as forças que a partícula 3 exerce na partícula 2 . E essas forças de interação se anulam. Isso acontece com todos os pares de partículas que considerarmos. Assim a soma total das forças internas que atuam em um sistema de partículas é nula, e desse modo: EXTCM FaM "" = Prof. Romero Tavares da Silva Cap 09 romero@fisica.ufpb.br 6 Essa equação diz que o centro de massa de um sistema de partículas se move como se toda a massa M desse sistema estivesse concentrada nesse ponto e essa massa estivesse sob a ação da força externa resultante. Momento linear de uma partícula Define-se o momentum (ou momento) linear de uma partícula como sendo o pro- duto de sua massa por sua velocidade: vmp "" = Conta-se que Newton na realidade formulou a sua Segunda Lei em termos do mo- mento, da seguinte maneira: A taxa de variação do momento de uma partícula é proporcional à resultante das forças que agem sobre essa partícula, e tem a mesma direção e o mesmo sentido que essa for- ça. ( )vm dt d dt pdFR " "" == Para os sistemas de massa constante: am dt vdm dt pdFR " """ === Momento linear de um sistema de partículas Para um sistema composto de N partículas, definimos o momento total como: ∑ = =+++= N i iN ppppP 1 21 "" ! """ ou ainda: CM N i iiNN vMvmvmvmvmP """ ! "" ==+++= ∑ =1 2211 Já foi mostrado que: EXT CM CM Fdt vd MaM """ == e quando M = constante , temos ( ) dt PdvM dt dF CMEXT " "" == Prof. Romero Tavares da Silva Cap 09 romero@fisica.ufpb.br 7 Conservação do momento linear Quando estivermos considerando um sistema isolado, onde a resultante das forças externas for nula, teremos: teconspppP dt PdF NEXT tan00 21 =+++=⇒=⇒= " ! """ " " indicando que o momento total do sistema é uma constante. Por exemplo, numa colisão entre duas bolas de bilhar, o momento total desse sistema isolado se conserva: o mo- mento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão. Prof. Romero Tavares da Silva Cap 09 romero@fisica.ufpb.br 10 Capítulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 4 Três barras finas de comprimento L são dispostas em forma de U invertido confor- me a figura a seguir. As duas barras laterais têm massa M e a barra central massa 3M. Qual a localização do centro de massa do conjunto? L 3M L M M L y m2 m1 m3 x Para o cálculo do centro de massa desse conjunto as barras se comportam como se as suas massas estivessem concentradas em seus respectivos centros de massa. Escolhendo um sistema de coordenadas, as massas estão nas posições: ( ) ( ) ( )        = ++ ++= = ++ ++= ⇒     = = = 5 4 3 2/32/ 23 2/30 2/; ;2/3 2/;0 3 2 1 L MMM MxLMxLMxLy L MMM MxLMxLMxx LLeMm LLeMm LeMm CM CM Capítulo 9 - Halliday, Resnick - Edição antiga 7 Calcule o centro de massa de um fio em forma de arco de raio R , ângulo θ0 e mas- sa M . Como definido anteriormente, temos: ∫= dmxM xCM 1 ∫= dmyM yCM 1 Considerando que a distribuição de mas- sa no fio é uniforme, podemos encontrar uma relação entre a quantidade infinite- simal de massa dm e o ângulo dθ que delimita essa massa, usando a proporção a seguir: y R θ0 dθ y θ x x    =⇒ → → θ θθ θ dMdm M ddm 00 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 09 romero@fisica.ufpb.br 11 A posição ( x , y ) de um elemento de massa genérico dm é pode ser expressa como: x = R cosθ y = R senθ Desse modo termos: ( ) 0 0 0 00000 sensencoscos11 0 00 θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θ θθ RRdRdMR M dmx M xCM ===    == ∫∫∫ e de modo equivalente: ( ) ( )0 0 0 00000 cos1cossensen11 0 00 θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θ θθ −=−==    == ∫∫∫ RRdRdMR M dmy M yCM A partir desses resultados podemos o centro de massa de outras figuras se- melhantes: i. Um quarto de círculo θ0 = π/2 . ( ) ( )( )       =−= == π π π π π π RRy RRx CM CM 22/cos1 2/ 22/sen 2/ ii. Um semicírculo θ0 = π. ( ) ( )( )       =−= == π π π π π RRy Rx CM CM 2cos1 0sen iii. Um círculo θ0 = 2π. ( ) ( )( )       =−= == 02cos1 2 02sen 2 π π π π Ry Rx CM CM Prof. Romero Tavares da Silva Cap 09 romero@fisica.ufpb.br 12 Capítulo 9 - Halliday, Resnick - Edição antiga 8 Calcule o centro de massa de um quarto de disco de raio R e massa M . O centro de massa é definido como: ∫= dmxM xCM 1 ∫= dmyM yCM 1 y R y dθ θ x x onde o elemento genérico de massa dm está contido em um elemento de área dA no interior do disco e essas grandezas estão relacionadas: dAdA A Mdm MA dmdA σ=     =∴ → → onde σ é a densidade superficial de massa do disco. Temos ainda que: ( )( )       == = θθ π ddrrdrdrdA RA 4 2    = = θ θ sen cos ry rx Temos então que: ( )( ) ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ==== 2/ 00 2 2/ 0 coscos11 ππ θθσθθσσ ddrr M ddrrr M dAx M dmx M x RR o CM { } 3 4 3 sen 3 3232/ 0 0 3 R M R MR M r M x R CM πσθσ π ==         = π3 4RxCM = De maneira equivalente ( )( ) ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ==== 2/ 00 2 2/ 0 sensen11 ππ θθσθθσσ ddrr M ddrrr M dAy M dmy M y RR o CM Prof. Romero Tavares da Silva Cap 09 romero@fisica.ufpb.br 15 Capítulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 18 Deixa-se cair uma pedra em t = 0 . Uma segunda pedra com massa duas vezes maior que a da primeira, é largada do mesmo ponto em t = 100ms . a) Onde estará o centro de massa das duas pedras em t = 300ms ? Suponha que nenhuma das pedras chegou ao chão. m1 = m m2 = 2m ∆t = 100ms = 0,1s T = 300ms = 0,3s As equações de movimento das partículas são: ( )        −=−= ∆+−=−= 22 22 22 2 2 22 1 1 tgtgy ttgtgy y t1 t2 O centro de massa desse sistema terá a forma: ( ) ( ) 662 2 2 2 )( 22 22 gtttg mm tgmttgm tyCM − ∆+−= +      −+      ∆+− = Para t = 0,3s yCM ( 0,3s) = - 0, 40 m b) Qual a velocidade do centro de massa desse sistema nesse momento? ( )ttg td yd tv CMCM ∆+−== 23 1)( vCM ( 0,3s ) = - 2,28m/s Capítulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 21 Dois sacos de açúcar idênticos são ligados por uma corda de massa desprezível, que passa por uma roldana sem atrito, de massa desprezível, com 50mm de diâmetro. Os dois sacos estão no mesmo nível e cada um possui originalmente uma massa de 500g . a) Determine a posição horizontal do centro de massa do sistema. Inicialmente os dois sacos estão no mesmo nível, logo 0 21 2211 = + + = MM yMyM yCM d = 50mm = 0,05m M1 = M2 = 500g = 0,5kg Prof. Romero Tavares da Silva Cap 09 romero@fisica.ufpb.br 16 e d MM M MM dMM MM xMxM xCM     + = + + = + + = 21 2 21 21 21 2211 0. xCM = 0,025m = 25mm b) Suponha que 20g de açúcar são transferidos de um saco para outro, mas os sacos são mantidos nas posições originais. Determine a nova posição horizontal do centro de massa. m1 = 0,48kg m2 = 0,52kg d mm m mm xmxm xCM     + = + + = 21 2 21 2211 = 0,026m M1 M2 x d y c) Os dois sacos são liberados. Em que direção se move o centro de massa? Já foi mostrado anteriormente que os sacos têm, em módulo, a mesma acelera- ção: g mm mma     + − = 12 12 e elas têm sentido contrários:      += −= aja aja ˆ ˆ 2 1 " " Como: 21 2211 mm amam aCM + + = "" " encontramos que: g mm mm jaCM 2 12 12ˆ     + − = " Como a aceleração é constante, a velocidade do centro de massa tem a forma: tatavv CMCMCMCM """" =+= 0 pois a velocidade inicial é nula. Desse modo teremos que: tg mm mm jvCM 2 12 12ˆ     + − = " e portanto o centro de massa se desloca para baixo. Prof. Romero Tavares da Silva Cap 09 romero@fisica.ufpb.br 17 d) Qual a sua aceleração? Já foi mostrado que g mm mm jaCM 2 12 12ˆ     + − = " e) Como varia a posição do centro de massa à medida que os sacos se movimen- tam? 2 ˆ 22 22 12 12 1 2 1 1 2 1 01011 gt mm mm jr ta r ta tvrr     + − −=∴=⇒++= " " " " """ 2 ˆˆ 2 ˆ 2 22 12 12 2 2 2 2 2 2 02022 gt mm mm jdir ta dir ta tvrr     + − +=∴+=⇒++= " " " " """ Relembrando que: 21 2211 mm rmrm rCM + + = "" " encontramos 2 ˆˆ 22 12 12 12 2 gt mm mm jd mm m irCM     + − +    + = " Capítulo 9 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 22 Um cachorro de 5kg está em um bote de 20kg que se encontra a 6m da margem. Ele anda 2,4m no barco em direção à margem, e depois pára. O atrito entre o bote e a água é desprezível. A que distância da margem está o cachorro depois da cami- nhada? Sugestão: O cachorro se move para a esquerda; o bote se desloca para a direita; e o centro de massa do sistema cachorro + bote ? Será que ele se move? MC = 5kg MB = 20kg d = 6m s = 2,4m Antes de começar a resolução vamos fazer algumas suposições: i. O cachorro está na extremidade do bote mais afastada da margem ii. O bote tem forma simétrica, tal que o centro de massa está localizado no seu centro geométrico. D x0 L-s s L d x