Exame 2 Resolução

Exame 2 Resolução

ALGEBRA LINEAR Licenciatura em EMM (pos laboral)

Exame — 9 de Julho de 2010, 18h Duracao: 3 horas

Pelos mesmos metodos, obtemos

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c) Ja vimos na alınea anterior que v3 e combinacao linear de v1 e v2. Por outro lado, v1 e v2 sao ortogonais (logo, linearmente independentes). Assim {v1,v2} e uma base ortogonal. Para obter uma base ortonormada, basta normalizar v1 e v2.

Logo { e uma base ortonormada para S. 2

e) A transformacao T e a soma de duas projeccoes (transformacoes lineares). Como a soma de transformacoes lineares e uma transformacao linear, entao T e uma transformacao linear.

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Logo, os vectores proprios de T sao os vectores do nucleo. λ = 1 :

Os vectores proprios associados a λ = 1 sao os vectores cuja projeccao no plano S e igual ao proprio vector. Portanto, sao todos os vectores paralelos a S, ou seja, os vectores que i) Uma possıvel representacao de T numa base de vectores proprios e dada por 0 0 0 0 1 0

e subespeco vectorial de P3 se e so se for fechado para a soma e para o produto por escalares.

∗ fecho para a soma:

Como S e fechado para a soma e para o produto por escalares e subespaco vectorial de P3. b)

c d

c d

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