Fundamentos da Matemática

Fundamentos da Matemática

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Disciplina: Fundamentos da Matemática

Prof. Dr. Antônio de Andrade e Silva UFPB – Tutor de EAD

Curso de Matemática – UFPBVIRTUAL andrade@mat.ufpb.br

Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle w.ead.ufpb.br

Site do Curso: w.mat.ufpb.br/ead

Site da UFPBVIRTUAL: w.virtual.ufpb.br Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257

Carga horária: 60 horasCréditos: 04

Ementa

O Método Axiomático, Conjuntos, Conjuntos Parcialmente Ordenados, Axioma da Escolha e Aplicações, Números Naturais, Números Cardinais.

Descrição

Esta disciplina tem como objetivo levar o aluno a compreender os axiomas da Teoria dos Conjuntos, segundo “Zermelo-Fraenkel,” a ponto de aplicá-los em diferentes contextos tais como o axioma da escolha, modelagem de situações-problema envolvendo o princípio do máximo de Hausdorff, Lema de Zorn, conjuntos bem ordenados, construção dos números naturais, números cardinais.

O programa da disciplina divide-se em seis unidades, das quais a primeira é responsável pela introdução do método axiomático e resultados utilizados em todo o texto. Em cada estudo específico, buscase a caracterização do objeto por meio de propriedades que possibilitem ao estudante estabelecer correspondências entre determinadas situações-problema da vida real e a espécie de função focalizada, objetivando sua utilização na construção de uma tradução matemática da respectiva situação.

Objetivos

Uniformizar o conhecimento da Teoria dos Conjuntos via métodos axiomáticos e aplicar os mesmos ao estudo dos conjuntos, axioma da escolha e números. Assim, servir como ferramenta importante em outras disciplinas tais como Álgebra, Análise e Equações Diferenciais. Além disso, tem como finalidade desenvolver habilidades e atitudes no aluno que lhe permitam acompanhar e se adaptar ao desenvolvimento no âmbito da educação, ciência e tecnologia.

Objetivos Específicos

Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja apto a:

Construir os axiomas da Teoria dos Conjuntos, compreender as suas diferentes representações e aplicá-los a problemas relacionados; Construir o conceito de relação de ordem, ter ideia clara das suas diferentes representações e aplicá-lo a problemas relacionados; Interpretar o Axioma da Escolha e utilizá-lo nas aplicações; Compreender o conceito de números naturais; Construir via o método axiomático o conjunto dos números naturais; Ler, interpretar e comunicar ideias matemáticas.

Conhecimentos Prévios Noções Básicas de Conjuntos, Relações e Funções, Conjuntos Enumeráveis e Não-Enumeráveis.

Unidade I O Método Axiomático

Introdução Histórica O Método Axiomático Características de um Sistema de Axiomas Independência de um Sistema de Axiomas

Unidade I Conjuntos

Introdução Histórica Conjunto Gráfico e Famílias Funções

Unidade I Conjuntos Parcialmente Ordenados

Ordem Isomorfismos Elementos Notáveis e Dualidade Conjuntos Bem Ordenados

Unidade IV Axioma da Escolha e Aplicações

Axioma da Escolha Aplicações, Princípio do Máximo de Hausdorff e Lema de Zorn Princípio da Boa Ordenação

Unidade V Números Naturais

Números Naturais Aritméticas dos Números Naturais

Unidade VI Números Cardinais

Conjuntos Equipotentes Números Cardinais Aritméticas dos Números Cardinais

Unidade IO Método Axiomático

1. Situando a Temática

Quando falamos que um objeto pertence a outro objeto, queremos dizer, simplesmente, que o primeiro deles depende do segundo. Situações de pertinência fazem-se presentes constantemente em nossa vida. Por exemplo, um ponto pertence a uma reta.

A partir de agora, você está convidado a nos acompanhar neste passeio pelo mundo dos axiomas e postulados. Juntos analisaremos detalhadamente as caracterizações de um sistema de axiomas e a independência de um axioma.

2. Problematizando a Temática

No nosso dia-a-dia, os axiomas e postulados aparecem com mais frequência na Geometria Plana.

Considere, por exemplo,

“Se uma linha reta intercepta duas outras linhas retas formando ângulos interiores no mesmo lado menor do que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente se interceptarão no lado em que a soma é menor que dois ângulos retos.” Este e outros axiomas da Geometria Plana serão tratados nesta unidade.

3. Conhecendo a Temática

3.1 Introdução Histórica

Nesta seção apresentaremos um pouco da história do surgimento do método axiomático na matemática. O leitor interessado em mais detalhes pode consultar Wilder, R. L., [6].

Nos textos de Geometria Plana, visto no ensino fundamental, encontramos dois grupos fundamentais de afirmações, um chamado de axiomas e outro chamado de postulados. Formalmente:

Um axioma é uma afirmação que dispensa explicação, ou seja, é uma verdade universal.

Exemplo 1.1. 1. O todo é maior do que cada uma de suas partes. 2. O todo é a soma de suas partes. 3. Coisas iguais a uma outra coisa são iguais entre si.

Um postulado é um fato geométrico simples e óbvio que podemos supor sua validade.

Exemplo 1.2. 1. Dois pontos distintos determinam uma e somente uma reta. 2. Uma reta pode ser estendida indefinidamente. 3. Se r é uma reta e P é um ponto fora de r, então existe uma única reta s paralela à reta r e passando por P.

Um teorema é uma verdade que não se torna evidente senão por meio de uma prova.

Observação 1.3. Um teorema é composto de duas partes:

Hipótese - É o conjunto de suposições. Tese - É a consequência que o raciocínio deduz da hipótese, por meio de verdades já conhecidas.

Exemplo 1.4. A soma dos ângulos internos de um triângulo vale dois ângulos retos. Um corolário é uma proposição que é uma consequência de um teorema previamante provado.

Esses agrupamentos de axiomas e postulados já eram conhecidos em Aristóteles (384-321, a. C.) e em Euclides (330-260, a. C.) como noções comuns e postulados. A partir dessas afirmações e de um certo número de definições, Euclides demonstrou 465 teoremas em uma sequência lógica. Por exemplo, o quinto postulado de Euclides, em sua forma original, foi enunciado como:

5E - Se uma linha reta intercepta duas outras linhas retas formando ângulos interiores no mesmo lado menor do que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente se interceptarão no lado em que a soma é menor que dois ângulos retos.

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