Baixe História da Álgebra na Pesrpectiva árabe, chinesa e hindu e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! 1 FUNDAÇÃO DE ENSINO SUPERIOR DE OLINDA – FUNESO UNIÃO DE ESCOLAS SUPERIORES DA FUNESO – UNESF CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EDUCAÇÃO E MATEMÁTICA A HISTÓRIA DA ÁLGEBRA NA PERSPECTIVA: ÁRABE, CHINESA E HINDU MAGNALLY ADAKUY GONÇALVES BARBOSA OLINDA-PE 2010 2 FUNDAÇÃO DE ENSINO SUPERIOR DE OLINDA – FUNESO UNIÃO DE ESCOLAS SUPERIORES DA FUNESO – UNESF CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EDUCAÇÃO E MATEMÁTICA A HISTÓRIA DA ÁLGEBRA NA PERSPECTIVA: ÁRABE, CHINESA E HINDU OLINDA-PE 2010 Trabalho apresentado ao curso de Pós- Graduação em Matemática e Educação da Fundação de Ensino Superior de Olinda – FUNESO, como requisito da Disciplina de História da Matemática. 5 APRESENTAÇÃO A Matemática como a concebemos nos dias atuais foi fruto de uma demorada e profícua evolução, desde os homens das cavernas, passando por todas as grandes civilizações do passado até chegar à complexidade do mundo mercantilista e globalizado atual. A finalidade desse trabalho é mostrar, em forma de evidenciação, que a matemática desenvolvida pelos povos Árabes, Chineses e Hindus deu suportes lógicos e consistentes aos anseios de todas as culturas posteriores, demonstrando, assim, sua grande relevância histórica. 6 INTRODUÇÃO Considerada como um sistema para resolver problemas matemáticos que envolvam números desconhecidos, a álgebra remonta à Antigüidade. Os egípcios já lidam com este tipo de problema no século XVII a.C., mas seus enunciados mais parecem enigmas ou adivinhações do que equações matemáticas. Chineses e indianos também trabalham com equações algébricas. Os gregos e, depois, os árabes simplificam e aperfeiçoam os métodos de cálculo. A história da matemática afirma que os Árabes deram inicio a uma ciência chamada álgebra e começaram a resolver problemas matemáticos por meio de equações. Equação é uma maneira de resolver situações nas quais surgem valores desconhecidos quando se tem uma igualdade. Por isso na língua portuguesa existe uma expressão muito usada: “o x da questão”. Ela é utilizada quando temos um problema dentro de uma determinada situação. Matematicamente, dizemos que esse x é o valor que não se conhece. Os Árabes chamavam o valor desconhecido de uma situação matemática de “coisa”. Em árabe, a palavra coisa era pronunciada como xay. Daí surge o x como tradução simplificada da palavra “coisa” em árabe. 7 ORIGEM DA PALAVRA ÁLGEBRA A palavra álgebra deriva da expressão árabe al-jabr (reunir), usada no título do livro al-jabr e al-muqabala, ou A arte de reunir desconhecidos para igualar uma quantidade conhecida, escrito no século IX por al-Khwarizmi, o mesmo matemático árabe que introduz o sistema decimal e os algarismos indianos no Ocidente. Começa a ser usada na Europa para designar os sistemas de equações com uma ou mais incógnitas a partir do século XI, quando a obra de al-Khwarizmi é traduzida para o latim. Os problemas algébricos mais antigos hoje conhecidos datam do século XVII a.C. Estão registrados em um papiro descoberto em 1858 na cidade de Luxor, no Egito, por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Seus enunciados têm a seguinte forma: "Ah, seu inteiro, seu sétimo, fazem 19". Em álgebra moderna, a expressão pode ser traduzida por: x + x/7 = 19. O número desconhecido, ou incógnita, é representado por um símbolo, neste caso o x, manipulado até seu valor ser determinado. O intervalo de tempo transcorrido entre a escrita do Papiro de Rhind e a elaboração desta forma de apresentar as equações algébricas (x + x/7 = 19) é de 34 séculos. Página da álgebra de al-Khwarizmi (Hisab al-jabr w'al-muqabala), (J. L. Espositio (ed) (1999).Oxford History of Islam, Oxford University Press, Oxford) 10 no Uzbequistão, e que viveu em Bagdá na corte do califa Al Mamum. Abū ‘Abd Allāh Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī é considerado o fundador da álgebra como a conhecemos hoje. Seu trabalho intitulado: Al-Jabr wa al-Muqabala, este é O livro sumário sobre cálculos por transposição e redução era um trabalho extremamente didático e com o objetivo de ensinar soluções para os problemas matemáticos cotidianos de então. A palavra Al-jabr da qual álgebra foi derivada significa "reunião", "conexão" ou "complementação". A palavra Al-jabr significa, ao pé da letra, a reunião de partes quebradas. Foi traduzida para o latim quase quatro séculos depois, com o título Ludus Algebrae et Almucgrabalaeque. Na data de 1140, Robert de Chester traduziu o título árabe para o latim, como Liber Algebrae et almucabala. No século XVI é encontrado em inglês como Algiebar and Almachabel, e em várias outras formas, mas foi finalmente encurtado para Álgebra. As palavras significam "restauração e oposição". Este livro escrito por Al Khwarizmi é considerado o livro fundador da Álgebra, o seu livro é composto por três partes: A primeira sobre a álgebra, que precede um grande capitulo sobre as transações comerciais; nesta parte Al Khwarizmi distingue seis tipos de equações do 1º e 2º grau:  Os quadrados iguais a raízes [ax² = bx]  Os quadrados iguais a um número [ax² = c]  As raízes são iguais a um número [ax = c]  Os quadrados e as raízes são iguais a um número [ax² + bx = c]  As raízes e os números são a quadrados [bx + c = ax²] Esta tipificação das equações, que deriva de não trabalhar com os números negativos, foi utilizadas por maior parte dos autores de “álgebras” durante a idade média e de parte da renascença. Todas as outras equações deveriam ser reduzidas a uma dessas duas formas pelos métodos da al-jabr e al-muqabala. 11 Al-jabr (complementação) é a operação que consiste em adicionar termos iguais a ambos os membros da equação de forma a eliminar os termos com coeficiente negativo. Al-muqabala (redução) é a operação que se faz de seguida e que consiste em adicionar os termos semelhantes. A segunda parte do livro e sobre Geometria e a terceira sobre as questões de Heranças. 12 A ÁLGEBRA NA PERSPECTIVA CHINESA A civilização chinesa desenvolveu-se, desde o 3º milênio a.C., ao longo das margens do rio Amarelo e do Azul, na dinastia Hsia, iniciada pelo imperador Yu. Continuou com a dinastia Shang, por volta de 1500 a.C., que ocupou a região de Xangai. São destas dinastias os primeiros numerais Chineses inscritos sobre carapaças de tartarugas e ossos de animais – os ossos oraculares – que usavam para adivinhações. O sistema de ensino oficial da antiga China torna-se institucionalizado em cerca de 2000 a.C., e assim continuou na dinastia Shang, que dominou até cerca de 1066 a.C., e durante a dinastia Zhou (1166 a.C. a 771 a.C.). O grande império desintegra-se, por volta do 700 a.C., e até aproximadamente, 400 a.C. coexistem estados independentes em permanente guerra uns com os outros, a China torna-se um Estado feudal. Por volta de 221 a.C. a China foi reunificada pelo imperador Shih Huang Ti. Este mandou queimar todos os livros, centralizou o poder, constituiu cidades palácios e estradas, e iniciou a construção da “Grande Muralha” para deter as invasões das tribos mongólicas. Na dinastia a seguir, a dinastia Han (200 a.C. a 220 d.C.), estava estabelecido o confucionismo como a filosofia do estado. Nesta dinastia muitos dedicaram o seu tempo a transcrever, de memória, textos literários e científicos e a procurar manuscritos que tivessem escapado à destruição. Portanto, todos os livros de matemática chinesa datam desta altura. Os primeiros numerais chineses estão inscritos em carapaças de tartaruga 15 ÁLGEBRA NA PERSPECTIVA HINDU Os sucessores dos gregos na História da matemática foram os Hindus. A civilização remonta a pelo menos 2000 a.C. Seu primeiro registro em matemática data de 800 a.C., mas só se tornaram importantes depois de influenciado pelas realizações gregas. A maioria dos matemáticos hindu foram motivados pela astronomia e astrologia. Foram eles que começaram trataram zero como um número e foram os pioneiros a discutir as operações envolvendo este número. Os hindus introduziram os números negativos para representar débitos. O primeiro uso conhecido desta pratica foi de Brahmagupta (628). Bhaskara (1114) reconheceu que um número positivo possui duas raízes quadradas. Os hindus também desenvolveram procedimentos para operar com números irracionais. Eles fizeram progresso na álgebra, bem como na aritmética. Eles desenvolveram alguns simbolismo que, embora não seja extensa, foi suficiente para classificar álgebra hindu como quase simbólica e certamente muito mais do que a álgebra sincopada de Diofante, pois trazia apenas os passos na solução dos problemas, sem o acompanhamento de motivos e provas. Foram os hindus que reconheceram que as equações podem possuir duas raízes, inclusive as negativas, bem como as raízes irracionais. Eles não poderiam, no entanto resolverem todas as equações quadráticas, uma vez que não reconhece raízes quadradas de um número negativo como número. Nas equações indeterminadas os hindus avançaram além de Diofante. Bhaskara Akaria 16 Aryabhata(476) na álgebra fornece uma regra para a resolução das equações do tipo ax - by = c, pelo método designado por Kuttaka,.resolve equações do 2.º grau.,conhece a soma dos termos de progressões aritméticas e das seqüências de números triangulares, quadrados e cubos. Na aritmética e na geometria descreve e utiliza um complicado sistema de numeração posicional e decimal com letras para os dígitos; fornece uma regra para o cálculo da raiz quadrada e cúbica, e regras para o cálculo de áreas de figuras planas e de volumes de sólidos. Aryabhata é conhecido por ter determinado a aproximação de π = 3,1416 = 62832/20000, ou seja, considerava que num círculo cujo diâmetro mede 20.000 o perímetro é 62832, para fazê-lo, deverá ter estudado um polígono com 384 lados. Contudo, Aryabhata também fornecia como valor de π como Ö10. Na trigonometria plana e esférica, fornece e utiliza uma tabela de senos e fornece algumas regras regras envolvendo senos, sombras e círculos. Aryabhata não forneceu quaisquer exemplos numéricos, ou problemas das regras que forneceu no seu livro, isso foi feito por comentadores do seu texto, tal como Bhaskara em 629. Aryabhata (476 - 550) 17 CONCLUSÃO A contribuição significativa de vários povos, desde o período de 3000 a. C. até o presente, não só dos Árabes, Chineses e Hindus, como vimos mais também dos povos Egípcios, Babilônicos e Gregos, foram fundamentais ao aprimoramento e entendimento da matemática de um modo geral. A álgebra foi aos poucos ganhando espaço e aplicações em diversas atividades do ser humano, e o seu desenvolvimento se deu de forma gradual. Diversos homens dedicaram suas vidas ao estudo da Matemática e de várias partes do mundo surgiram novos conceitos, fórmulas e problemas de difícil resolução, de modo que os responsáveis por tais feitos entraram para a história devido aos mais variados tipos de contribuição. Os matemáticos são pessoas como as outras: têm problemas, defeitos, qualidades, estão sujeitos a doenças e a morte, mas também são pessoas determinadas a alcançar os seus objetivos; são pacientes, investigadores, capazes de tentar muitas vezes, embora nem sempre consigam êxito. O matemático é uma pessoa que aceita desafios e não se deixa vencer facilmente pelos fracassos e esta característica sua é talvez mais importante que a sua inteligência. Graças a essas pessoas a humanidade hoje dispõe de um alto poder tecnológico e um alto conhecimento matemático que são o resultado de milênios de estudos e construções.