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A partir da análise acima podemos expressar o comprimento de onda de duas formas:

l = velp .T e, sendo T = 1 / f obtemos:

f velp=lEquação 8

Se pudéssemos observar a tensão em cada ponto do cabo em um certo instante de tempo, t’, obteríamos o gráfico da FIG. 7. Note que o gráfico apresentado tem no eixo x a distância ao longo do cabo.

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Figura 7 – Tensão ao longo de um cabo cujo comprimento é igual ao l de um sinal de 300 Mhz, para um instante particular de tempo t = t’, sendo a amplitude do sinal aplicado a entrada do cabo 5 Vpp e a velocidade de propagação igual a 2.108 m/s.

1.5 Sinais não-senoidais.

Sinais não-senoidais são a forma natural em que se apresentam as informações e grandezas do mundo real quando convertidas em sinais elétricos, e pode- se ter uma noção disto analisando, por exemplo, as conversões de som e imagem em sinal elétrico, e sinais de diagnóstico cardíaco e cerebral. Na FIG. 2 você viu um exemplo de sinal não-senoidal sendo obtido na conversão das ondas sonoras de voz. Você nota que neste sinal aparentemente não é possível identificar as grandezas que usamos para caracterizar o sinal senoidal, ou seja, freqüência, amplitude, fase. Todavia, como será mostrado mais adiante, em um exemplo simples, pode-se montar um sinal não-senoidal a partir da soma de vários sinais senoidais de fre- qüências, amplitudes e fases diferentes. Colocando de outro modo, podemos dizer que sinais não-senoidais são constituídos de somas de sinais senoidais de diferentes freqüências e amplitudes. Inicialmente, precisamos estabelecer os conceitos de filtros passa-baixa e passa-faixa, pois tais conceitos são indispensáveis para a seguir compreender os testes apresentados no estudo da composição do sinal onda quadrada.

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1.5.1 Filtros passa-baixa e passa-faixa ideais

Considere um circuito que é capaz de bloquear totalmente os sinais se- noidais a partir de uma certa freqüência fc , onde fc é o símbolo para freqüência de corte. Abaixo desta freqüência fc o circuito não tem qualquer efeito sobre o sinal se- noidal, ou seja, se o sinal tem freqüência menor que fc e uma amplitude de, por exemplo, 1 Vpp, na saída do circuito o sinal obtido será uma reprodução fiel daquele da entrada, possuindo a mesma freqüência e amplitude. Por outro lado, se o sinal senoidal aplicado ao circuito possuir uma freqüência maior que fc, independente de sua amplitude, ele será totalmente bloqueado e a saída do circuito será uma tensão nula. Analisando a situação descrita em termos de ganho de tensão Av,

( )ENTSAÍDA EEA=, podemos dizer que até a freqüência fc o circuito tem ganho 1, e para freqüências acima de fc o ganho de tensão do circuito é 0 (zero). Toda descrição feita acima quanto ao comportamento do circuito pode ser resumida através de dância com seu comportamento o circuito é denominado filtro passa-baixas ideal. O termo ideal justifica-se pelo fato do resultado exato descrito pela FIG. 8a não poder ser obtido na prática, ou seja, não é possível construir um circuito real com o com- portamento da FIG. 8a, embora seja possível construir circuitos eletrônicos cujo comportamento aproximam-se bastante do resultado da FIG. 8a.

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Figura 8 - a) gráfico de resposta de freqüência de um filtro passa-baixas (FPB) ideal; b) exemplo do comportamento de um FPB quando o sinal de en- trada “cai” dentro de sua faixa de passagem (abaixo de fc ); c) exemplo do comportamento de um FPB quando o sinal de entrada “cai” fora de sua faixa de passagem (acima de fc ).

Um outro tipo de filtro é o passa-faixa, o qual é bastante utilizado em equipamentos de Telecomunicações. Trataremos aqui apenas do comportamento qüência 0 até uma certa freqüência fc1; i) o filtro bloqueia totalmente os sinais desde uma freqüência infinita até uma certa freqüência muito menor fc2, sendo que fc2 > fc1; i) entre as freqüências fc1 e fc2 o filtro passa a responder aos sinais, permitindo que eles apareçam na saída da mesma forma como se apresentavam na entrada

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(Av =1). Todo o comportamento descrito pode ser visualizado como no exemplo da FIG. 9. Novamente, como no caso do passa-baixas também para o passa-faixa é possível construir circuitos reais com comportamento próximo do ideal.

Figura 9 - Comportamento de um filtro passa-faixa ideal: a) sinal de entrada com freqüência abaixo da faixa de passagem; b) sinal de entrada com freqüência dentro da faixa de passagem; c) sinal de entrada com freqüência acima da faixa de passagem.

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1.5.2 Decomposição da onda quadrada do pelo valor da freqüência de corte de diversos filtros ideais, e para isto utilizaremos o exemplo de uma onda quadrada de 500 Hz, com amplitude de 1 Vpp sendo apli- cada a tais filtros. Serão vários filtros com diferentes fc. Faremos a análise do com- portamento do sinal de saída a medida em que variarmos o valor de fc apenas para uma situação bem particular, onde o sinal de entrada é a onda quadrada de 500 Hz, contudo os resultados obtidos serão bastante ilustrativos para que tenhamos uma percepção da decomposição de qualquer sinal não senoidal. A situação inicial está apresentada na FIG. 10.

Figura 10 - Onda quadrada de 500 Hz sendo aplicada a um filtro com corte em 250 Hz

O resultado obtido não deve surpreender o leitor, pois tendo o sinal uma onda quadrada de freqüência de 500 Hz e sendo o corte do filtro em 250 Hz, obvia- mente a saída é nula. Você já deve saber que se aumentarmos a fc até 500 Hz o mesmo resultado deve ocorrer, ou seja, a saída será nula para fc até 500 Hz. Mas, como deve ser a saída quando fc for igual a 501 Hz, ou mais alta? Uma resposta intuitiva talvez nos levasse a supor que a saída passaria a ser a onda quadrada da entrada. Contudo não é isto que ocorre, como apresenta a FIG. 1.

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Figura 1- Onda quadrada de 500 Hz sendo aplicada a um filtro com corte em 501 Hz

Por que a onda quadrada de entrada transformou-se em um sinal senoidal com exatamente a mesma freqüência, mas com uma amplitude um pouco maior?

A explicação exata para o resultado obtido na FIG. 12 envolve conhecimentos matemáticos que fogem do nível de nosso curso. Tais conhecimentos seriam relativos a tado podemos interpreta-lo qualitativamente. Assim, a explicação é que nossa onda quadrada contém o sinal senoidal apresentado na FIG. 12, ou seja, o sinal senoidal de 500 Hz entra na composição da onda quadrada de 500 Hz, e o filtro permitiu isolar esta componente da onda quadrada. O motivo pelo qual apenas o sinal senoi- qüências acima da fc do filtro, ou seja, acima de 501 Hz. Mesmo com esta explicação neste ponto talvez ainda exista dúvida sobre como pode ter ocorrido uma mu- dança tão grande, com a onda quadrada mudando para senoidal. O entendimento melhor disto só pode ser obtido se continuarmos nossa analise através do aumento da fc do filtro. Então, vamos continuar aumentando a fc do filtro acima de 501 Hz e observando a saída. O resultado é que a saída não mudará até que a fc do filtro seja maior do que 1500 Hz, ou seja, fc seja maior que 3 vezes a freqüência da onda quadrada. Esta nova situação aparece na FIG. 12, onde o filtro agora tem uma fc de 1501 Hz.

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Figura 12 - Onda quadrada de 500 Hz sendo aplicada a um filtro com corte em 1501 Hz

Comparando as FIG. 12 e FIG. 13 podemos notar que houve uma sensível melhoria na forma de onda de saída; ela agora aproxima-se da onda quadrada. A ra, nas partes que correspondem ao topo e base da onda quadrada, temos uma oscilação do valor em torno do que seria o valor desejado (0,5 no topo e -0,5 na base).

A conclusão que derivamos dos resultados, é que com o incremento da faixa de passagem do filtro de 501 até 1501 Hz adicionamos à componente senoidal da FIG. 1 outro(s) componente(s) de sinal tal que houve uma melhor aproximação ção da entrada, podemos dizer que o filtro até 1501 Hz ainda está bloqueando componentes de freqüência mais alta do nosso sinal de onda quadrada. Continuando a análise vamos tentar agora separar qual (ou quais) componente foi adicionado a onda senoidal da FIG. 1 de modo a resultar na onda de saída da FIG. 12. Para isto basta usar no lugar do filtro passa-baixas um filtro passa-faixa. Como queremos isolar os novos componentes adicionados desde a situação de saída FIG. 1, deve- mos eliminar tal sinal fazendo o inicio da faixa de corte inferior do filtro, fc1, igual a 501 Hz. A seguir, diminuiremos progressivamente a faixa de passagem do filtro, e para isto fc1 será aumentado até chegar ao limite de 1499 Hz. Neste processo pode-

Marcus Tadeu Pinheiro Silva33 remos identificar a contribuição de sinal dentro da faixa de freqüência de 501 a 1499 que resultou no novo sinal de saída da FIG. 12. Este novo teste está apresentado na FIG. 13.

Figura 13 - Identificando o componente de sinal da onda quadrada entre 501 e

1501 Hz através de um filtro passa-faixa onde varia-se fc1 entre os limites indicados. Obs.: O resultado acima ocorre para fc1 variando entre 501 e 1499 Hz. Se fc1 for 1500 ou 1501 Hz a saída será nula, pois o sinal identificado tem 1500 Hz.

O teste da FIG. 13 nos mostra que apenas um novo componente de sinal contribuiu para a melhoria na forma de onda de saída da FIG. 1 para a FIG.12. Isto pode ser visualizado através da FIG. 14 que mostra que somando ponto a ponto os sinais senoidais de 500 Hz da FIG. 1 e o de 1500 Hz da FIG. 13, obtemos exatamente a forma de onda da saída da FIG. 12. Ou seja, os sinais senoidais de 500

Hz e 1500 Hz são componentes da onda quadrada. Contudo, devem existir outros em freqüências mais altas, pois ainda há uma diferença razoável entre o sinal quadrado e a forma de onda resultante da soma na FIG. 14.

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Figura 14 - Soma ponto a ponto dos sinais senoidais de 500 e 1500 Hz das FIG. 1 e FIG. 13.

O resultado da FIG. 13, identificando a componente da onda quadrada entre 501 e 1499 Hz, permite-nos estabelecer novos e importantes conceitos. O sinal que contribuiu para a mudança da saída da FIG. 1 para a saída da FIG. 12 é nal é reduzida em relação à daquele identificado na FIG. 1. Assim, temos que a regra para a onda quadrada em questão é de que ela é constituída apenas de sinais sim por diante. Tais sinais senoidais de freqüência múltipla são denominados os harmônicos que constituem a onda quadrada. Assim, teríamos que o sinal de saída da FIG. 1 é o 1o harmônico da onda quadrada, o sinal da FIG. 13 é o 3o, e assim por diante. Quanto a amplitude dos harmônicos a regra é de que quanto maior

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a ordem do harmônico menor sua amplitude, ou seja, o 3o harmônico é de amplitude menor que o 1o, o 5o harmônico é de amplitude menor que o 3o, e assim por diante.

Para concluir a análise temos as FIG. 15 e FIG. 16 que mostram a identificação do próximo componente da onda quadrada, o 5o. harmônico.

Figura 15- Onda quadrada de 500 Hz sendo aplicada a um filtro com corte em

2501 Hz. Obs.: Compare o resultado para o filtro de 2501 Hz com aquele do filtro de 1501 Hz (FIG. 12).

Figura 16 - Teste para identificação do componente de sinal da onda quadrada entre 1501 e 2499 Hz através de um filtro passa-faixa onde varia-se fc1 entre os limites indicados.

Neste ponto, após todos os testes realizados nas figuras anteriores, e da interpretação dada para os resultados obtidos, podemos apresentar uma conclusão geral para a composição do sinal onda quadrada. Apesar não poder ser comprovado

TELECOMUNICAÇÕES I 36 neste texto, tais conclusões valem tanto para o sinal que usamos no exemplo visto como para qualquer onda quadrada, de qualquer freqüência e amplitude.

a) o sinal de onda quadrada, como apresentado nas FIG. 10 a FIG. 16, é composto apenas de sinais senoidais.

mônicos de ordem impar, ou seja, apenas senoides cuja freqüência é um múltiplo impar da taxa de repetição (freqüência) da onda quadrada.

c) a medida que a ordem do harmônico aumenta sua amplitude diminui.

Na realidade o que apresentamos nas FIG. 10 a FIG. 16 são testes que podemos realizar em laboratório. Como já foi dito, existe também a possibilidade de provar todos os resultados vistos através do uso de ferramentas matemáticas. Con- tudo, como tais ferramentas são muito avançadas não pudemos fazer esta prova matemática formal. Além disso, se prosseguíssemos nossos testes de laboratório, na mesma linha que a apresentada acima, para outros tipos de sinais periódicos não-senoidais também obteríamos resultados similares. Assim podemos reescrever as conclusões sob um enfoque mais geral da seguinte forma:

i) qualquer sinal periódico não-senoidal é constituído a partir de somas de sinais senoidais (e/ou cossenoidais) de diferentes freqüências e amplitudes.

i) nos casos mais gerais, na composição do sinal podem entrar tanto senoides (ou cossenoides) de freqüências múltiplas impares, quantos senoides (ou cossenoides) de freqüências múltiplas pares. Contudo, para vários tipos de sinais não existirão, ou os harmônicos impares, ou os harmônicos pares, sendo esta última possibilidade o caso em que se enquadra a onda quadrada.

i) a medida que a ordem do harmônico aumenta sua amplitude diminui.

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iv) teoricamente o sinal não-senoidal é constituído por um número infinito de componentes senoidais (e/ou cossenodais).

Duas observações finais cabem neste momento. A primeira, é de que as conclusões acima a rigor aplicam-se apenas aos sinais periódicos, ou seja o sinal deve repetir-se continuamente. Na realidade, se um sinal tem forma de onda não- senoidal, e não é periódico, as conclusões acima constituem uma aproximação que deveria ser um pouco modificada para valer para tais tipos de sinais. A outra obser- vação é quanto a afirmação “iv”. A implicação de “iv” é de que caso quiséssemos amplificar o sinal onda quadrada sem qualquer distorção o amplificador teria de ser capaz de amplificar todos harmônicos do sinal, sendo que o número de harmônicos é infinito. Isto significa um amplificador capaz de trabalhar com qualquer freqüência, desde as mais baixas, até as mais altas que tenderiam a valor infinito. Obviamente tal amplificador não existe na prática. Contudo, como vimos nos testes das FIG. 10 a

FIG. 16, a amplitude dos harmônicos reduz-se rapidamente com a ordem dos mesmos, e assim, se nosso amplificador responder apenas aos harmônicos de ordem mais baixa, por exemplo, somente até o 13o (6500 Hz) no caso que estudamos, existirá alguma distorção no sinal de saída do amplificador, mas tal distorção será muito pequena e na prática desprezível.

1.5.3 Equação da onda quadrada

Tendo obtido que uma onda quadrada é composta de sinais senoidais, conforme as conclusões “a”, “b” e “c” do item anterior, podemos escrever a equação geral da mesma como:

)( t5fsenA t3fsenA t1fsenA tq p

Equação 9

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Talvez a primeira vista a EQ. 9 pareça complexa. Mas, na realidade não é bem isto que ocorre. Tudo que temos na EQ. 9 é uma soma de vários sinais do tipo senoidal, e este tipo de sinal já foi visto detalhadamente no tópico 1.3, inclusive quanto a formulação matemática. Se inicialmente observamos a EQ. 9 isolando cada uma de suas partes constituintes e só depois visualizarmos ela como um todo, o entendimento da mesma será obtido.

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