(Parte 4 de 5)

Primeiro, temos que cada seno tem um fator de amplitude comum, o valor 2/p, que multiplica todos os senos entre colchetes. Dentro do colchete vemos que cada sinal seno tem uma representação “padronizada”. O argumento de cada seno é da forma (2.p.f.n.t) , ou seja, da forma (w.n.t), pois 2.p.f = w. O n vale 1, 3, 5,..., con- forme a ordem do seno na equação, e será comentado mais adiante.

O “t ” é o tempo pois estamos descrevendo a forma de onda do sinal, o que constitui uma função do tempo.

“f” corresponde a freqüência da onda quadrada, e assim corresponde a uma constante relativa a onda quadrada sendo descrita. Por exemplo, se a EQ. 9 descrever a onda quadrada vista nas FIG 10 e FIG. 1, a constante f assume o valor 500.

Para cada seno, multiplicando f temos um diferente índice n, um número que cresce conforme a ordem do harmônico representado. Assim, no seno mais a esquerda o índice é 1, significando que temos o 1o harmônico (f. 1), a seguir temos o índice 3, significando que temos o 3o harmônico, mais a direita temos o índice 5, si- gnificando que temos o 5o harmônico, e assim por diante. Isto condiz com as observações já feitas de que a onda quadrada só tem harmônicos impares.

Para finalizar, como vimos nos testes apresentados nas FIG. 10 a FIG. 16, conforme o índice do harmônico cresce, a amplitude do mesmo diminui. Isto é facilmente visto na EQ. 9, onde além do termo de amplitude comum (2/p), para cada harmônico temos um fator de amplitude. Para o 1o harmônico este fator vale

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A/1, para o 3o vale A/3, para o 5o valor A/5, e assim por diante. O valor A corresponde ao valor de pico-a-pico da onda quadrada original, o que no caso da onda quadrada vista nas FIG. 10 a FIG. 16 significa que A vale 1.

Da discussão acima podemos reescrever a EQ. 9 para o caso particular da onda quadrada das FIG. 10 a FIG.16, obtendo:

p p psen sen sen K Equação 10

Se o leitor possuir uma calculadora com capacidade para exibir gráficos (uma HP-X, por exemplo), ou um computador pessoal, poderá usando um pro- grama específico “programar” a EQ. 10 de modo a exibir na tela a forma de onda quadrada construída a partir de senoides, obtendo resultados similares a aqueles das FIG. 1 a FIG. 16.

1.5.4 Determinação das freqüências presentes nos sinais informação (exemplo do sinal de voz) car no mesmo os sinais senoidais que devem ser somados, tal como fizemos no mente ao caso da onda quadrada . Na realidade, para o sinal de voz a resposta para estas perguntas seria sim apenas sob condições extremamente controladas. Ou seja, em geral não é possível escrever uma equação descrevendo um sinal de voz ao longo do tempo, nem é possível identificar a qualquer tempo todas as freqüências (sinais senoidais) que o constituem. Pensando agora apenas no caso da equa- ção, as condições controladas seriam, por exemplo, que a equação valeria apenas para uma pessoa especifica, falando uma determinada palavra, sempre usando o

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ríamos um sinal um pouco diferente do outro, ou seja, na melhor das hipóteses nossa equação será apenas uma aproximação para a média de diversas pronúncias da palavra escolhida para aquela pessoa em particular. Se mudarmos a palavra escolhida a equação será outra, e, certamente muito diferente da anterior. E, finalmente, remos a conclusão que é inviável tentar caracterizar com equações exatas os sinais de voz.

Embora não seja possível escrever equações para sinais de voz, descrevendo exatamente as freqüências que fazem parte do mesmos, pode-se trabalhar esta questão das freqüências de forma estatística. A idéia é identificar “na média” quais as freqüências importantes nos sinais de voz. O procedimento para tal identificação é basicamente o seguinte. Primeiro escolhe-se um grupo representativo de pessoas. Cada uma destas pessoas, em ambiente de estúdio, geram amostras de sinais de voz, sendo que tais amostras correspondem a pronúncia dos diferentes fo- cessada por equipamento eletrônico4 capaz de identificar as freqüências presentes bem como suas amplitudes. No fim dos testes têm-se uma coleção de dados, que são as freqüências e suas amplitudes para os diferentes fonemas pronunciados por diferentes indivíduos. Faz então, uma média dos dados, média que pode inclusive levar em conta a maior ou menor ocorrência de cada um dos fonemas naquela língua. No fim de tudo obtêm-se um gráfico tal como aquele da FIG. 17.

rar as senoides que constituem o sinal analisado. Sintonizável significa que fc1 e fc2 do filtro vão crescendo simultaneamente e continuamente, desde um limite inferior até um superior, conforme o sinal sob analise. Tal processo é similar a aquele nas FIG 13 e FIG. 16, onde foram separados os componentes senoidais de 1500 e 2500 Hz, respectivamente, da onda quadrada.

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O que o gráfico da FIG. 17 mostra é que na média a maior parte da energia no sinal de voz concentra-se nas baixas freqüências, entre 100 Hz e 1500 Hz, muito embora os testes indicados acima também mostrem que certos fonemas contém sinais reduzidos, mas ainda significativos, em freqüências tão altas como em

12 kHz.

O exemplo da determinação do gráfico da FIG. 17 é representativo, pois existem várias outras situações em Telecomunicações, onde apesar de ser impossí- vel descrever o sinal de informação por uma equação, é importante determinar na média qual (ou quais) a faixa de freqüências de tal sinal contém a principal parte da energia. Por exemplo, para a televisão foi este tipo de conhecimento em relação ao sinal de imagem que permitiu a evolução para um sistema colorido compatível com o sistema preto e branco já existente.

Figura 17 - Gráfico da energia distribuída no sinal de voz em função da freqüência (resultado estatístico).

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1.6 Canal de Voz ções em que foi necessário determinar qual a faixa de freqüências5 seria aceita para os sinais de voz nos sistemas telefônicos de longa distância (popularmente conheci- do como chamadas interurbanas). A questão que estava em jogo neste momento era de que sendo as faixas de freqüências recursos preciosos, se deveria transmitir nos sistemas telefônicos de longa distância apenas os componentes de freqüência da voz que fossem importantes para a inteligibilidade do sinal.

de dos sinais de voz quando eles são limitados pelo sistema de comunicação a uma certa faixa, eles incluem além de uma seleção de locutores, também uma seleção de ouvintes representativos. Tais ouvintes escutavam os sinais de voz de palavras pronunciadas por diversas pessoas, após tais sinais de voz terem passado por filtros que limitavam as freqüências em sua saída (filtros passa-faixa). Se um sinal de voz passa por um filtro que elimina várias de suas freqüências ele se torna em alguma medida distorcido, ficando mais difícil para o ouvinte identificar a palavra pronuncia- da. O objetivo era encontrar, na média destes ouvintes, qual seria a menor faixa de freqüência possível, e que ainda permitiria que os ouvintes identificassem correta- mente as palavras, dentro de uma margem de erro muito baixa. No caso da telefonia, a margem de erro escolhida foi de 1%. Ou seja, se, estatisticamente, em uma

5 Para entender no contexto acima o significado de “faixa de freqüências”, considere o exemplo de um amplificador para áudio. Se este amplificador responde a sinais senoidais até 18 kHz ele é um amplificador de áudio de alta qualidade para a amplificação do sinal originário de um acionador de CD de música, pois a faixa de freqüências que o ouvido humano é capaz de responder vai até aproximadamente 18 kHz e os instrumentos musicais geram freqüências de onda sonora desde poucos Hz a até mais do que 18 kHz. Por outro lado se este amplificador responde a sinais senoidais de freqüências até 10 kHz, ele já não será de alta qualidade para musica mas para amplificação da voz captada por um microfone ele será plenamente adequado pois os sinais de voz só possuem componentes senoidais “significativas” em freqüências até os 10 kHz.

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conversação telefônica onde os componentes senoidais da voz são limitados em uma faixa de “X” até “Y” Hz, e ainda assim na média 9% das palavras pronunciadas são entendidas pelo ouvinte, considera-se que têm-se uma inteligibilidade aceitável. A partir dos testes determinou-se que o valor para entendimento imediato de 9% das palavras seria a faixa de 300 a 3400 Hz.

Na realidade, nos sistemas telefônicos deixou-se uma margem de segurança tanto baixo do limite inferior quanto acima do limite superior. Isto foi feito por razões tecnológicas que serão esclarecidas quando estudarmos a multiplexação em uma outra unidade do curso. Assim, reserva-se nos sistemas telefônicos uma faixa de 4 kHz para cada sentido da conversação telefônica, onde nos 300 Hz inferiores da faixa e nos 600 Hz superiores da faixa os sinais de voz são bloqueados (veja a

FIG. 18).

Figura 18 - Canal de voz para telefonia. A área marcada com corresponde a faixa efetiva para o sinal de voz. As áreas marcadas com correspondem às margens de segurança onde não existe o sinal de voz.

Observe que embora, o gráfico da FIG. 17 indique que as freqüências de

100 a 1500 Hz contem a maior parte da energia do sinal de voz, isto não foi fundamental quando surgiu a necessidade determinar o canal de voz para telefonia, pois o que era principal era a inteligibilidade, critério este que levou a escolha de uma faixa que descarta boa parte da energia do sinal de voz.

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Por último, consideremos a economia em termos de ocupação de freqüências que é feita quando utilizamos canais de voz com 4 kHz e não com 10 kHz, que é a componente senoidal de mais alta freqüência que na média ainda é relevante no sinal de voz. Se forem 10 conversações telefônicas necessitaremos de 40 kHz para a limitação em 4 kHz, e de 100 kHz para a limitação em 10 kHz, ou seja uma economia de 60 kHz. Tal economia em termos de uso de freqüências se justifi- ca plenamente quando consideramos que a limitação em 4 kHz representará uma redução muito pequena na inteligibilidade (1%) em relação ao caso de 10 kHz.

1.7 Representação do sinal no domínio da freqüência: O Espectro

A expressão no domínio da(o) “x” indica qual é a variável em função da qual estamos representando uma certa grandeza. Assim, quando traçamos um gráfico de tensão em função do tempo, tal como aquele da FIG. 19a, podemos dizer que estamos fazendo uma representação de um sinal no domínio do tempo. Em nossa disciplina tal representação será normalmente denominada forma de onda

(F.O.) do sinal. Por outro lado, como será a descrição deste sinal senoidal da

FIG. 19a em função (no domínio) da freqüência? Primeiro temos que o sinal senoidal da FIG. 19a contém um única freqüência, que no caso é 100 kHz. Assim tal sinal não contém qualquer outra freqüência que não seja 100 kHz, e assim para descreve-lo em um gráfico de freqüência devemos simplesmente traçar um eixo horizontal graduado em Hertz e no ponto correspondente a 100 kHz, marcar uma linha vertical com altura igual a amplitude do sinal. Isto resulta no gráfico da FIG. 19b.

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Este resultado da FIG. 19b é a representação no domínio da freqüência do sinal da FIG. 19a, e tal representação é denominada espectro do sinal6.

Figura 19 - a) Forma de onda de um sinal senoidal; b) Espectro de amplitudes do sinal da FIG 19a

6 Em alguns casos pode ser conveniente ser mais especifico em relação ao gráfico de forma de onda ou de espectro, indicando exatamente que grandeza esta sendo avaliada no eixo vertical. Por exemplo, podemos ter forma de onda de tensão, ou forma de onda de potencia, ou forma de onda de energia, da mesma forma que podemos ter espectro de amplitudes da tensão, ou espectro de potência, ou ainda espectro de energia. Normalmente, em nossa disciplina trataremos apenas de sinais de forma de onda de tensão e assim fica subentendido daqui por diante que se nos referirmos simplesmente a forma de onda está implícito que trata-se de forma de onda de tensão. O mesmo vale para a representação em freqüência, onde se nos referirmos apenas a espectro trata-se do espectro de tensão.

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Na realidade, a representação de espectro já havia sido apresentada anteriormente nesta unidade. O gráfico da FIG. 17 é uma representação de espectro.

No caso da FIG. 17 trata-se de um espectro de energia para sinais de voz. Como foi discutido no item 1.5 o gráfico da FIG. 17 foi obtido por um processo de média de uma enorme quantidade de sinais de voz. O resultado foi um espectro contínuo, ou seja, um sinal de voz qualquer pode conter todas as freqüências dentro de uma fai- xa que vai de 60 Hz até 12 kHz. Para contrastar com o espectro contínuo da FIG.

17, podemos agora traçar o espectro para o sinal onda quadrada apresentado nos testes do item 1.5. O resultado obtido aparece na FIG. 20. Observe que o espectro para a onda quadrada é do tipo discreto, ou seja, a onda quadrada só contém componentes senoidais em pontos específicos do eixo da freqüência, sendo nula em to- dos demais pontos do eixo da freqüência.

Figura 20- Forma de onda da onda quadrada analisada no item 1.5 e seu espectro de amplitudes.

A obtenção do gráfico da FIG. 20 é simples. Basta observar a equação da onda quadrada decomposta em sinais senoidais (EQ. 10). Para cada senoide, ano- ta-se no ponto do eixo horizontal correspondente a sua freqüência uma linha vertical. Esta linha vertical tem a altura proporcional a sua amplitude. Por exemplo, o 1o ter- mo da equação é 1/1[sen(2.p.500.t)], logo no ponto 500 Hz do eixo horizontal, traçamos uma linha vertical de altura correspondente a (2/p).(1/1). O termo (2/p) é co-

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mum a todas as amplitudes das senoides e assim aparece na amplitude de todas a linhas apresentadas. Quando o espectro é discreto, tal como na figura acima, deno- minamos cada uma das linhas verticais de “raia de freqüência” do espectro, ou simplesmente de “raia” do espectro. Por outro lado, para espectros contínuos, tal como aquele da FIG. 17, denominamos de “faixa de freqüências” do espectro, ou simplesmente “faixa” do espectro, qualquer extensão continua do espectro de freqüên- cias.

1.7.1. Espectro de amplitudes e de fases

Na realidade, o conceito de espectro de amplitudes já foi apresentado no item anterior quando traçamos o espectro do sinal onda quadrada descrito na

EQ. 10. Neste item o que vamos fazer é completar a análise da representação de um sinal de tensão (ou de corrente) no domínio da freqüência indicando a necessi- dade e como é obtido o espectro de fases para um sinal. Para chegar nesta novo espectro vamos antes fazer dois exemplos que justificarão sua necessidade.

Exemplo 1.3

Para a forma de onda apresentada na FIG. 21, foi obtida através da análise de Fourier a EQ. 1. Trace o espectro de amplitudes para o sinal.

Figura 21 – Forma de onda triangular do exemplo 1.3

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2p pppLEquação 1

Solução

Para traçar o espectro de amplitudes basta observar a EQ. 1 e a FIG. 21. O sinal da FIG. 21 tem freqüência de 500 Hz com amplitude de 1 volt de

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