(Parte 5 de 5)

gular também só possui harmônicos impares (no exemplo 1500 Hz, 2500 Hz,).

pico-a-pico. A EQ. 1 mostra que, de forma similar a onda quadrada, a onda trian- Traçando o espectro de amplitudes com base na EQ. 1 obtemos o resultado da FIG. 2.

Figura 2- Espectro de amplitudes para a onda triangular do exemplo 1.2.

Se compararmos o espectro resultante do exemplo 1.3 com aquele que tinha sido obtido anteriormente para a onda quadrada (FIG. 20b), vemos imediata- mente que eles têm alguma semelhança, pois as raias do espectro estão nas mesmas freqüências. Por outro lado, obviamente as amplitudes de tais componentes de

Marcus Tadeu Pinheiro Silva49

ção de cossenos, o espectro da FIG. 20b foi obtido de uma equação de senos. Ou seja, a apresentação no espectro apenas das amplitudes de freqüência do sinal, não permite caracteriza-lo completamente, pois fica faltando indicar se tais componentes de freqüências referem-se a senos ou cossenos (ou ambos tipos) que entram na constituição do sinal. O que falta em nossa representação do sinal no domínio da freqüência é o espectro de fase; é este espectro, junto com o de amplitude, que permite caracterizar completamente o sinal. Temos a seguir um outro exemplo onde fica ainda mais clara a necessidade do espectro de fases. Neste exemplo, veremos então como obter a representação completa (fase e amplitude) do sinal no domínio da freqüência.

Exemplo 1.4 qüência.

Figura 23 – Forma de onda do exemplo 1.4.

h t t t t t t t

( ) cos cos cos sen sen sen

2p p p p p p p L L

Equação 12

TELECOMUNICAÇÕES I 50

Solução

Observando a equação vemos que para cada freqüência (500, 1500,

2500, etc.) ela possui um termos em seno e um termo em cosseno, sendo as freqüências harmônicos impares da taxa de repetição do sinal (500 Hz), ou seja, o sinal da FIG. 23 não contem harmônicos pares. As amplitudes destes harmônicos impares diferem no caso dos senos e dos cossenos de mesma freqüência. Assim, como poderemos ao traçar apenas o espectro de amplitudes indicar a composição do sinal em termos de senos e cossenos? A questão é que o espectro só será uma representação completa do sinal se permitir que a partir do mesmo obtenhamos nova- mente a equação da análise de Fourier. A idéia simples de somar as amplitudes de senos e cossenos de mesma freqüência, e assim traçar a raia do espectro de cada freqüência presente no sinal, falha pelo fato de que uma vez traçado tal espectro não poderemos fazer a operação reversa, ou seja, escrever a equação do sinal a partir do espectro obtido desta forma.

A solução para obter um espectro que descreve completamente o sinal é dividi-lo em duas partes, uma relativa as amplitudes puras e outra relativa as fases.

O procedimento pode ser entendido da seguinte forma. Seno e cosseno, de uma mesma freqüência, são funções defasadas no tempo por 90°, assim, consideramos um sistema de dois eixos defasados de 90°, onde o seno refere-se ao eixo vertical e o cosseno ao eixo horizontal, veja isto na FIG. 24. Desta forma a amplitude pura, a distancia Cn, refere-se a composição de An e Bn, segundo o teorema de Pitágoras, ou seja:

(Parte 5 de 5)

Comentários