Relatório - resposta do circuito RLC - CC transitório

Relatório - resposta do circuito RLC - CC transitório

Universidade Federal do Piauí - UFPI

Centro de Tecnologia – CT

Departamento de Engenharia Elétrica Professor Msc. Aryfrance Rocha Almeida

Laboratório de circuitos elétricos (Prática 12: circuito RLC – C transitório)

Suan S. T. Cantanhede Matrícula: 09T12983

Teresina, 13 de novembro de 2010

Teoria

Os circuitos RLC são também chamados de circuitos de segunda ordem, porque as equações que descrevem o circuito são equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem do tipo:

Onde: x(t) = Resposta do circuito (pode ser tensão ou corrente);

α = Coeficiente de amortecimento (unidade = neper/s);

ωo = Freqüência angular natural de ressonância (unidade = rad/s);

A respostapara estes tipos de circuito é formada pela soma de duas

K = Uma constante qualquer. parcelas, a saber, resposta natural e resposta forçada:

= resposta natural = resposta forçada.

Onde: A resposta forçada é obtida quando se considera o estado do circuito quando t→+∞ e, a resposta natural é obtida considerando-se três possíveis situações:

a) Resposta Natural Superamortecida –
e e são constantes a serem determinadas pelas

Onde: condições particulares do circuito.

b) Resposta Natural Criticamente Amortecida –
e são constantes a serem determinadas pelas condições particulares do

Onde: circuito.

c) Resposta Natural Subamortecida –
é a freqüência angular natural de ressonância amortecida (unidade = rad/s);
, e são constantes a serem determinadas pelas condições

onde: particulares do circuito.

Para circuitos RLC série tem-se que:

e

Objetivos

Esta experiência tem por objetivo verificar as características de resposta transitória de sistemas de 2ª. Ordem para a entrada degrau.

Materiais

Gerador de sinais (onda quadrada); Capacitor de 18nF;

Indutor de 820µH;

Potenciômetro de 1KΩ;

Osciloscópio;

Software Multisim.

Procedimento experimental

Resolver teoricamente os circuitos propostos no decorrer da experiência, para poder comparar valores teóricos com experimentais;

Monte o circuito da seguinte forma:

Circuito RLC – série. Onde: Vo é a tensão sobre o capacitor (canal B do osciloscópio).

O programa não apresenta bem os gráficos para uma tensão constante, logo se optou por uma tensão quadrada com período suficiente para carregar o capacitor, assim sendo, o processo que queremos analisar se repetirá para cada pulso de tensão;

Calcule ; Ajuste o gerador de sinais para onda quadrada com freqüência de 5KHz e 10

Vpp; 1. RLC – série superamortecido:

Ajuste R para que α = 2 ; Capture a forma de onda da tensão na saída Vo;

Faça as seguintes medidas:

Vs – valor de regime permanente alcançado pela saída. Ts – tempo de acomodação (critério de 10%).

Preencha a tabela 1 para valor medido. Calcule e escreva a função Vo(t) e através dela preencha a tabela para valor calculado.

Valor calculado

Valor medido Tabela 1: superamortecido.

2. RLC – série criticamente amortecido:

Ajuste R para que α = ; Capture a forma de onda da tensão na saída Vo;

Faça as seguintes medidas:

Vs – valor de regime permanente alcançado pela saída. Ts – tempo de acomodação (critério de 10%).

Preencha a tabela 2 para valor medido. Calcule e escreva a função Vo(t) e através dela preencha a tabela para valor calculado.

Valor calculado

Valor medido Tabela 2: criticamente amortecido.

 Ajuste R para que α =;

3. RLC – série subamortecido: Capture a forma de onda da tensão na saída Vo;

Faça as seguintes medidas: - primeiro valor máximo alcançado pela saída. – tempo necessário para alcançar o primeiro valor máximo de tensão. - tempo do primeiro cruzamento pelo valor de regime permanente.

- segundo valor máximo alcançado pela saída. – tempo necessário para alcançar o segundo valor máximo de tensão. - tempo do segundo cruzamento pelo valor de regime permanente.

- terceiro valor máximo alcançado pela saída. – tempo necessário para alcançar o terceiro valor máximo de tensão. - tempo do terceiro cruzamento pelo valor de regime permanente.

Preencha a tabela 3 para valor medido. Calcule e escreva a função Vo(t) e através dela preencha a tabela para valor calculado.

--------(V) (µs) (µs) (V) (µs) (µs) (V) (µs) (µs)

Valor calculado

Valor medido Tabela 3: subamortecido.

Resultados e discussão

Os circuitos apresentados durante o experimento foram calculados. Os cálculos estão manuscritos em anexo ao relatório, juntamente com as fórmulas obtidas implementadas no software Matlab, para verificação do professor.

do capacitor e não da resistência, a saber:
Para o caso superamortecido, o valor da resistência éresultando
em

O valor de é o mesmo durante todo o experimento, pois depende do indutor e .

A partir desses valores, foi possível encontrar

Obteve-se o seguinte gráfico:

Gráfico para superamortecido.

Os marcadores estão posicionados no tempo zero e no valor de regime permanente. Usou-se o intervalo de tempo T2-T1 na fórmula de Vo, e encontrou-se o valor de tensão teórico.

Incorporando os dados à tabela, temos:

Valor calculado 9,9578 79,478

Valor medido 9,958 79,478 tabela 1: superamortecido.

Note que os valores realmente se aproximam muito, confirmando a precisão dos cálculos e o sucesso do experimento.

Na segunda parte do experimento, o valor da resistência foi ajustado para que fosse obtido um circuito criticamente amortecido.

O valor da resistência foi
Para esse valor, obteve-se

A partir desses valores foi possível encontrar

Observe o gráfico obtido:

Gráfico para criticamente amortecido.

Os marcadores estão posicionados no tempo zero e no valor de regime permanente. Usou-se o intervalo de tempo T2-T1 na fórmula de Vo, e encontrou-se o valor de tensão teórico.

Incorporando os dados à tabela, temos:

Valor medido 9,956 29,104 tabela 2: criticamente amortecido.

Note que os valores são praticamente iguais com uma precisão muito maior do que os 10% exigidos pelo professor.

A fórmula rege precisamente os parâmetros e o experimento foi feito com sucesso.

Na terceira parte do experimento o valor da resistência foi ajustado para que pudesse ser obtido um sistema subamortecido.

Como será verificado nos cálculos, essa solução resulta em equações mais complicadas, contudo consegui-se resolvê-las.

A resistência foi ajustadas para
Para esse valor, obteve-se

A partir desses valores foi possível encontrar

. Obteve-se o seguinte gráfico:

Gráfico para subamortecido.

Note que, diferente das outras duas respostas, a tensão oscila em torno do valor de regime e que há um amortecimento na oscilação. Quão maior é a resistência, mais rápido o regime permanente será alcançado.

A partir da fórmula obtida é praticamente impossível calcular todas as raízes para saber em que pontos o gráfico cruza o regime permanente, como é pedido no procedimento. Entretanto, usando os valores dos intervalos de tempo experimentais, é possível chegar a valores de tensão que podem ser comparados a fim de verificar se a fórmula rege o circuito de forma correta. Isso foi feito e obteve-se a tabela a seguir:

--------(V) (µs) (µs) (V) (µs) (µs) (V) (µs) (µs)

Valor

Valor

Tabela 3: subamortecido.

Note que para esta solução os dados previstos se afastam um pouco dos experimentais. Isso pode ser explicado pelas aproximações feitas pelo programa Matlab para funções como seno e cosseno.

Apesar de diferirem um pouco, os dados comprovam que a fórmula de Vo é válida, pois rege uma onda que vai de encontro ao obtido.

Conclusão

Um circuito RLC - série pode ter três tipos de resposta. A solução para o circuito depende de seus componentes e do estado inicial do circuito e sempre descreve curvas diferentes para cada resposta.

Nos três casos analisados no experimento, foi possível notar que o capacitor carrega, fazendo com que a corrente seja igual a zero.

O indutor controla a corrente que passa no circuito, não deixando que sua variação seja grande. O resistor controla a intensidade da corrente máxima que tende a passa no indutor e capacitor. O capacitor, por sua vez, tende a carregar.

Parece fácil descrever o funcionamento do circuito, contudo é bem complexa a explicação.

Quando a resistência é grande, a variação de corrente no circuito é pequena, fazendo com que a tensão no indutor seja praticamente nula. A partir do momento que a resistência começa a diminuir, as variações de corrente no circuito ficam maiores e fazem com que a tensão no indutor comece a ser levada em conta. Chega um ponto em que a corrente fica alternando de um lado pro outro no circuito e a tensão no indutor também, fazendo com que o capacitor perceba essa variação de tensão entre suas placas também. Enquanto isso ocorre, o resistor vai diminuindo essas variações de corrente até zerar esse efeito.

Um caso extremo seria um indutor em série comum capacitor. Para esse circuito, a solução é uma oscilação sem amortecimento, como sabemos.

A experiência foi bem interessante, pois mostrou como esse fenômeno acontece e as fórmulas matemáticas que o regem.

Anexos

(Programas implementados pelo Matlab)

Superamortecido:

a=(r/(2*l)) wo=(l*c)(-1/2) wd=((a2)-(wo2))(1/2) s1=-a+wd s2=-a-wd

A1=((V/l)*(1/(s1-s2))) A2=-A1 f=(1/c)*A1/s1 f2=(1/c)*A2/s2 vc=(1/c)*((A1/s1)*e(s1*t)+((A2/s2)*e(s2*t))-(A1/s1)-(A2/s2))

Criticamente amortecido:

a=(r/(2*l)) wo=(l*c)(-1/2) wd=0

A=V/l; k1=(A/c)*(-1/a) k2=(A/c)*(-1/a2)

Subamortecido:

a=(r/(2*l)) wo=(l*c)(-1/2) wd=((wo2)-(a2))(1/2) b=(V/(l*wd)) s=sin (wd*t) cs=cos (wd*t) vc= (b/c)*((((-e(-a*t))*(cs)/wd)+ ((-a*e(-a*t))*(s)/(wd^(2))) + (1/wd))/(1+((a2)/(wd2)))) k1=((b/c)*(-1/wd))/(1+((a2)/(wd2))); k2=((b/c)*(-a/wd2))/(1+((a2)/(wd2)));

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