Teoria dos Conjuntos

Teoria dos Conjuntos

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Teoria Ingênua dos ConjuntosLeandro Vieira dos Santos

Esse texto é resultado de uma pesquisa que o escritor fez para um trabalho da disciplina História da Matemática da UPE-FACETEG que foi apresentado em 2010, sendo que o mesmo foi encerrado paralelamente ao trabalho em janeiro de 2011.

Autor: Leandro Vieira email: vieira.leandro@ymail.com

Considerações Inicias

Em outubro de 2010 o escritor junto com alguns colegas de classe concluíram um trabalho sobre História da Matemática que deveria ser apresentado em forma de minicurso na semana da matemática da nossa faculdade. Infelizmente devido a alguns problemas entre o coordenador e organizadores da semana da matemática não houve semana da matemática. Parte do trabalho foi apresentado em sala de aula como requisito para obtenção de nota numa disciplina de história da matemática, e a outra parte, por estar fora do contexto da cadeira, acabou sendo excluída.

O seguinte texto são os resultados parciais da parte excluída da pesquisa citada anteriormente, que foi revida e ampliada pelo escritor nos meses finais de 2010 e em janeiro de 2011. A ideia do texto não é ser técnico ou científico, é uma apresentação informal de alguns conceitos inicias da Teoria dos Conjuntos. Por ser um texto que versa sobre alguns resultados duma pesquisa em andamento pode ser que apareçam alguns deslizes incômodos, o autor agradece muito se lhe forem indicados. Mas por fim, é um texto de divulgação, não formal. Espero que o leitor goste.

Teoria Ingênua dos Conjuntos

“Um conjunto é uma coleção considerada como um todo de objetos distintos e definidos da nossa intuição ou pensamento. Os objetos são chamados elemento do conjunto.” George Cantor

O que torna a Teoria dos Conjuntos de Cantor (TC) importante para a matemática como um todo é o fato de que todas as entidades estudadas na matemática (com algumas exceções) podem ser encaradas como conjuntos. Dessa forma a linguagem da Teoria dos Conjuntos, encontrando aplicabilidade em praticamente toda a matemática, é quase uma “linguagem universal”. Assim,

Teoria Ingênua dos ConjuntosLeandro Vieira dos Santos definições, conceitos, axiomas, os teoremas e suas demonstrações, etc., podem ser exprimidos em termos da Teoria dos Conjuntos. A TC desde sua criação no século XIX se encontra num lugar privilegiado, como base em que se assenta o conhecimento matemático, e consequentemente o conhecimento científico em geral.

A TC nasce quando Cantor tentava solucionar o problema da caracterização de conjuntos unicidade de séries trigonométricas (o leitor pode encontrar algumas noções de séries no final do texto). Um subconjunto X de [0, 2π] é dito conjunto de unicidade quando, se a série trigonométrica convergir para zero nos pontos fora de X, então os coeficientes se anulam. O primeiro resultado de cantor nesse assunto foi que o conjunto vazio é um conjunto de unicidade. Assim a única série trigonométrica que converge para zero em toda a parte de [0, 2π] é aquela cujos coeficientes são todos nulos. Cantor é levado a introduzir uma notação que explique e exemplifique os seus resultados: a Teoria dos Conjuntos.

Para Cantor toda coleção é um conjunto. Não existem restrições à construção, e a que tipos de objetos possam de fato vir a ser elementos de um conjunto. Essa concepção encontrou muitos oposicionistas no sentido de que a partir dela surgem vários paradoxos, isso põe em cheque sua posição como fundamento da matemática. O próprio Cantor notou a existências desses paradoxos. O primeiro paradoxo descoberto por Cantor envolve um conceito interessante: cardinalidade. Podese, em termos informais, afirmar que a cardinalidade de um conjunto é dado por seu “tamanho”, dessa forma o conjunto universal (como concebia Cantor: o conjunto de todos os conjuntos) deve ter a cardinalidade maior possível. Um conjunto X pode ter todos os seus elementos também elementos de outro conjunto Y, assim se diz que X é subconjunto de Y (em símbolos: X C Y, X está contido em Y); existe um conjunto Z que contém todos os subconjuntos de um conjunto qualquer Y,

Z é chamado conjuntos das partes de Y ou conjunto potência de Y, Z é denotado por P(Y). Cantor provou que para qualquer conjunto X, a cardinalidade de P(X) é maior que a cardinalidade de X.

Sendo assim o que dizer da cardinalidade do conjunto das partes do conjunto universal? O conjunto universal não é o maior conjunto?

Outra situação desagradável a que se coloca a concepção cantoriana dos conjuntos é a de impossibilidade da existência do conjunto universal. Ela se baseia no seguinte argumento: seja dado um conjunto, podemos caracterizá-lo a partir de uma propriedade única e universal de seus elementos (detalhe, quando x é elemento de um conjunto X, denota-se x∈X). Dados dois

Teoria Ingênua dos ConjuntosLeandro Vieira dos Santos conjuntos A e B, vamos supor que A seja o conjunto universal, denotemo-lo por U; e que seja B o conjunto onde todos os seus elementos não são elementos de si mesmo (espera-se que os elementos de B sejam conjuntos, isso não é problema, pois para Cantor não há restrições a construção de Conjuntos; portanto teríamos conjuntos que são elementos de outros conjuntos, e provavelmente conjuntos que são elementos de si mesmo). Podemos escrever B da seguinte forma:

que se lê: B é conjunto dos elementos x tais que x não é elemento de (ou não pertence a) x. Detalhe: inclusão de um novo símbolo pra a não pertinência -∈ , também representado por ∈'.

A chave do paradoxo se encontra na pergunta B∈U? A intuição afirma que sim, porém a resposta é não. Apesar de U ser o conjunto universal de Cantor não conteria todos os conjuntos: contradição. Pela definição de U teríamos todo x de B, pertencente a U e, portanto B C U, o conjunto que na verdade não é subconjunto de U é {B}. Sendo assim é impossível se construir o conjunto de todos os conjuntos, ou em termos informais: “Nada contém tudo, não existe universo!”. Justifica-se o fato de B não ser elemento de U da seguinte forma: se B∈U, então ou B∈B ou B∈B (note o “ou” exclusivo, uma e somente uma das hipóteses pode ser verdadeira). Se B∈ B, então B não é elemento de B ou B∈B; contradição, a afirmação de que B∈B é falsa. Então só nos resta afirmar que B∈B; mas se B∈B, então B é elemento de si mesmo ou B

∈B, o que acaba nos conduzindo a outra contradição. Como a suposição de que B seja elemento de U sempre conduz a uma contradição, somos levados a acreditar que essa suposição é falsa□. Foi o próprio Cantor quem notou a impossibilidade de se construir o conjunto universal.

Os paradoxos surgem quando tomando como base um sistema lógico e os postulados aceitos de uma teoria, se chega às conclusões φ e ~φ, ou φ ↔ ~φ, onde φ é uma afirmação qualquer e ~φ é sua negação (é comum também se representar ~φ por ¬φ). A proposição φ e ~φ afirma que φ é tanto falsa quanto verdadeira, o que contradiz o princípio do terceiro excluído da lógica clássica que diz que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa (proposição é uma frase que pode ser caracterizado como verdadeira ou falsa). Enquanto que a proposição φ ↔ ~φ afirma que a veracidade de φ faz com que ela seja falsa, e sua falsidade tem como consequência a comprovação de sua veracidade. Para a lógica de primeira ordem clássica como φ é uma proposição, pois φ é uma afirmação e como tal ou pode ser falsa, ou pode ser verdadeira. Utiliza-se em lógica conectivos para formar novas proposições a partir de posições menores, aqui se nota a utilização de dois desses conectivos o “e” e

Teoria Ingênua dos ConjuntosLeandro Vieira dos Santos o “↔”, portanto “φ e ~φ” e “φ ↔~φ” são proposições e que independentemente do valor lógico de φ são sempre falsas.

Tem-se também um famoso paradoxo de Bertrand Russel, que pode ser dito nos seguintes termos: formado o conjunto A = {x; x ∈x}, pergunta-se A∈A? A resposta é sim e não, se A

∈A, então A não é elemento de si mesmo; e se A∈A, então A é elemento de si mesmo; dessa forma A∈A ↔ A∈A, ou seja, uma contradição. O primeiro paradoxo de Cantor, não necessariamente atingia os alicerces da Teoria dos Conjuntos, pois envolve conceitos de um segundo estágio da TC (a Teoria dos Números Transfinitos). Essa mesma situação não encontra o paradoxo de Russel, devido ao fato do mesmo envolver ideias iniciais da TC (note que os termos do paradoxo envolvem apenas a definição de conjunto), ou seja, a sua origem não é consistente, e, portanto toda ela anda segue por trilhas ilógicas.

Uma teoria se constrói em matemática seguindo mais ou menos os seguintes passos: primeiro tem-se os objetos que a teoria estuda, cada uma apresenta uma definição, que são em muitos casos, pouco ou nada satisfatória, é o caso da Teoria dos Conjuntos, onde os objetos são os conjuntos e seus elementos, e pela definição de Cantor conjunto é uma coleção (e coleção o que é? Um conjunto. Por fim...), além da definição de elemento (objeto que faz parte do conjunto); num segundo passo se faz algumas afirmações alto evidentes, mas que não podem ser provadas: os axiomas. Os axiomas não podem ser provados, porém sua veracidade é verificada comparando-os entre si, e vendo se deles não resulta alguma coisa que não faz sentido, são leis válidas (uma vez ou outra um matemático simplesmente nega um ou mais axiomas, e constrói a partir daí outra teoria totalmente diferente da original, e eventualmente: útil); num terceiro passo temos os teoremas, que são afirmações que podem ser provadas tomando como base as definições e axiomas; num quarto e último passo se tem as aplicações dessa teoria, seja em matemática, ou mesmo em áreas da ciência. Quando os axiomas não levam a paradoxos diz-se que a teoria é consistente, ou os axiomas são consistentes, etc., pelo que foi dito a Teoria dos Conjuntos de Cantor não é consistente.

Ao se analisar a teoria que Cantor construiu nota-se que apesar dessa sua “fraqueza” em termos de formalidade, ela é uma verdadeira obra prima da matemática. Mesmo ela já é suficiente pra um estudo bem amplo de matemática, termos da álgebra e da topologia, por exemplo, se constroem a partir da teoria ingênua dos conjuntos, sem falar que praticamente todas as aplicações de Teoria dos Conjuntos na ciência em geral se dar a partir de sua forma ingênua. Inclusive a parte de conjuntos vistas comumente no ensino secundário é ingênua. Mas na verdade essa grande

Teoria Ingênua dos ConjuntosLeandro Vieira dos Santos aplicabilidade não implica que não se possa encontrar situações em que ela não se aplique, os paradoxos já nos mostraram isso. Por essa e outras a Teoria dos conjuntos de Cantor foi reformulada, e muitos matemáticos estiveram envolvidos nesse processo.

Cantor foi um desbravador, era de se esperar que o que ele construiu não estivesse em plena perfeição. Mesmo hoje Teoria dos Conjuntos ainda é uma área bastante dinâmica da matemática, e todas as suas mudanças, como maneira de encontrar uma estrutura ótima a qual possa se assentar, foram consequências dos avanços que houve tanto nela mesma como em sua ferramenta principal: a lógica. Um desses avanços foi a teoria dos conjuntos construída a partir da teoria dos tipos de Russel, e da axiomática de Ernest Zermelo acrescida de alguns coisas extras (coisas que estudaremos mais tarde). Antes de darmos continuidade nos estudos falemos de alguns resultados a que chegou Cantor a partir de seus estudos.

Como já foi mencionado, a cardinalidade é uma forma de “medir o tamanho” de um conjunto. Quando apenas estão envolvidos conjuntos com uma quantidade finita de elementos (não estamos dando um limite ao número de elementos do conjunto em questão, apenas se indica que ele deva ter um número finito de elementos), a cardinalidade do conjunto se confunde com o número de elementos que o mesmo tenha, nesse caso a cardinalidade é representada por um número natural, um exemplo, pouco claro, porém útil desse fato é conjunto dos divisores naturais de um número. Porém no caso de conjuntos infinitos essa situação toma direções bem estranhas. O conceito de infinito estava enraizado na matemática como a ideia de vazio: um conceito único, ou seja, duas coleções diferentes, mas ambas infinitas teriam, por fim, um mesmo infinito de elementos. Intuitivamente parece-nos bastante plausível aceitar essa afirmação. Uma das descobertas mais notáveis de Cantor foi que nem sempre a situação mencionada acima acerca de conjuntos infinitos acontece, em verdade, existem diferentes tipos de infinito, inclusive uns maiores que outros, e para ser mais exato, uma coleção infinita de diferentes infinitos. O curioso é o fato de que o mesmo não acontece o conjunto vazio, ele é único (pelo menos isso), vale salientar que tecnicamente o conjunto vazio é subconjunto de todo e qualquer conjunto.

Dados A e B conjuntos quaisquer, dizemos que ambos são equipotentes se pode-se associar a cada elemento de A um único elemento de B, por exemplo em dois conjuntos finitos de mesma cardinalidade ( a saber, mesmo número de elementos), é possível fazer essa associação apenas “ligando” um elemento de A a um elemento B, notando sempre que elementos distintos em A tenham “ligações” distintas em B. Quando acontece de dois conjuntos serem equipotentes, se diz

Teoria Ingênua dos ConjuntosLeandro Vieira dos Santos que eles podem ser colocados em correspondência biunívoca. Note que conjuntos finitos equipotentes têm a mesma cardinalidade, esse fato pode ser estendido para conjuntos infinitos; temos assim nosso primeiro axioma:

A.1 Conjuntos infinitos equipotentes tem a mesma cardinalidade.

Cantor notou que os números naturais e dos números pares eram equipotentes, portanto de mesma cardinalidade. E não apenas os números pares, mas também outros subconjuntos infinitos (especificamente todos) dos naturais eram equipolentes entre si e equipolentes a ℕ. Daí surge a definição: conjunto infinito é aquele que é equipotente a alguma de suas partes próprias (parte própria de conjunto X, é um subconjunto qualquer de X e que não é igual a X). Essa definição deve completar A.1, mas não a deixa menos obscura.

Quando um conjunto podia ser colocado em correspondência biunívoca comℕCantor dizia que esse conjunto era enumerável. O infinito enumerável é na verdade a primeira classe de infinito, foi associado a ele o símbolo

que representa o cardinal de todos os conjuntos enumeráveis ( alef, letra do alfabeto hebreu). Além disso, se prova que o conjunto dos números racionais é enumerável. Ou seja, os números da forma p/q com p e q inteiros e q diferente de zero pode ser colocado em correspondência biunívoca com os naturais. Quando se pensa nisso a partir da reta real notamos o quanto é sofisticada essa afirmação, os números naturais estão dispersos na reta, enquanto que os números racionais são densos sobre a reta (isso quer dizer que independentes de quão próximos estejam dois números racionais um do outro sempre existe um número racional entre eles), e que se diz é que o conjunto dos números naturais tem o mesmo tamanho do conjunto dos números racionais.

-n,, -2, -1, 0, 1, 2, ..., n, ...} da seguinte forma,ℤ= {0, 1, -1, 2, -2, ..., n, -n, ...}, assimℤ
segundo elemento,, n-enésimo elemento. Um raciocínio semelhante se usa para provar que

Para provar que um conjunto é enumerável basta que possamos organizar seus elementos de maneira tal que exista um primeiro elemento, um segundo elemento, um terceiro elemento, etc., pois dessa forma se tem uma correspondência entre tal conjunto e o conjunto dos números naturais, onde cada elemento do conjunto se associa com um e só um elemento de ℕ. Esse raciocínio é utilizado para provar que o conjunto dos números inteiros é enumerável, ponhamos ℤ = {..., claramente fica com seus elementos seguindo em uma certa ordem, com primeiro elemento, conjunto dos números racionais é enumerável, ele segue o seguinte caminho: considere a formação

Teoria Ingênua dos ConjuntosLeandro Vieira dos Santos

1/22/23/24/2…n/2…
1/4 2/4 3/4 4/4 … n/4 ...

é claro que todo e qualquer racional positivo aparece pelo menos uma vez nesse sistema. Omitindo algumas repetições, e seguindo as indicações das setas podemos ordenar os números da formação da seguinte forma:

1, 2, 1/2, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3,1/4,

que são justamente todos os racionais positivos postos em uma ordem enumerável. Por caminho semelhante ao tomado para provar queℤé enumerável, podemos provar queℚtambém o é

ℚ= {0, 1, -1, 2, -2, 1/2, -1/2, 3, -3, 4, -4,},

e a matemática nunca mais foi a mesma.

Foi visto que ℕ,ℤ e ℚ são enumeráveis, só resta afirma que todo conjunto numérico é enumerável, e assim I e R seriam ambos enumeráveis. Antes de iniciarmos essa parte do trabalho foi mencionado que existem infinitas formas de infinito, mas até agora só apareceu uma; o infinito enumerável. Justificando o que foi dito saibamos que Cantor provou que nem I nemℝsão enumeráveis.

Antes de falarmos do fato de I eℝnão serem enumeráveis vamos seguir a trilha de Cantor para chegar a esse ponto. Vejamos, seria o conjunto ]0,1[ enumerável? Note que a pergunta faz menção a um pequeno intervalo da reta real, a resposta dada por Cantor foi não, isso seria contraditório, estamos supondo que o “pequeno conjunto” ]0, 1[ é maior queℚ. Mas graças a Pitágoras sabemos que além dos racionais existem o irracionais. Admitindo a resposta de Cantor para a enumerabilidade de ]0, 1[, só podemos chegar a uma conclusão: I eℝnão são enumeráveis. Façamos uma pausa para provar o resultado de Cantor.

Supondo que ]0, 1[ seja enumerável, então poderia organizar os elementos desse conjunto seguindo uma ordem bem definida, e todos números pertencentes ao intervalo apareceriam nessa organização. Sabe-se que todo e qualquer número real pode ser escrito como uma dízima infinita, em alguns casos pode ocorrer de um número admitir duas dessas formas de dízima infinita, por

exemplo, a estranha (porém provável) situação de 3 pode ser escrito como 1,0ou 0,9...,

Teoria Ingênua dos ConjuntosLeandro Vieira dos Santos nesse casos apenas escolhemos um delas e esqueçamos da outra. Seguindo esse passo criemos a lista ordenada dos elemento de ]0, 1[:

1° elemento: p1 = 0,a11a12a13a14a15a16
2° elemento: p2 = 0,a21a22a23a24a25a26
3° elemento:p3 = 0,a31a32a33a34a35a36

etc.

representa um número entre 0 e 9. Tomemos o seguinte número b = 0,b1b2b3b4b5, onde se akk é

continuando poderíamos escrever todo e qualquer número real de ]0, 1[, vale ressaltar que cada aij diferente de um número definido p, então bk será igual p, digamos se akk ≠ 5 então bk = 5; e se akk for igual a p, então bk será igual a q, com q diferente de p, exemplo se akk = 5, então b = 7. Note que b nunca será igual a um dos números da nossa lista pois sempre diferenciar-se de algum deles por pelo menos um dígito:

b = 0,b1b2b3b4b5b n ... será sempre diferente de pn = 0,an1an2an3an4an5an6 ... ann ..., pois pela

regra para a construção de b temos bn ≠ ann. É claro que b é elemento de ]0, 1[, mas não faz parte da lista de todos esses elementos, assim não podemos colocar esses elementos em uma lista, pois a afirmação de que o podemos fazer nos leva a uma contradição.

Antes de continuarmos falemos um pouco sobre o tipo de prova dado anteriormente. Desde o inicio desse texto que se vem sendo feita demonstrações ditas por absurdo, ou em termos gerais redução ao absurdo. Eles consistem no seguinte: quando se quer provar que uma afirmação é verdadeira se usa do seguinte caminho, primeiro se admite que sua negação é verdadeira, se a partir dessa negação se chega a uma conclusão impossível em termos matemáticos (absurda por assim dizer), então a negação só pode ser falsa e portanto a afirmação que queria-se provar é verdadeira. Esse tipo de demonstração é muito utilizado em Teoria dos Conjuntos, e também na matemática como um todo. Muitos matemáticos são levados não aceitar tais demonstrações por seu caráter não construtivo, existe inclusive uma escola de filosofia da matemática que defende a ideia da abolição das provas por redução ao absurdo (os intuicionismo). Caso isso fosse possível uma parte substancial da matemática seria descartada, pois para muitos teoremas importantes da matemática

Teoria Ingênua dos ConjuntosLeandro Vieira dos Santos só há prova por redução a absurdo.

Do resultado de Cantor para enumerabilidade de ]0, 1[ , podemos tirar uma conclusão:ℝ não é enumerável, e portanto tem um cardinal diferente de ℕ,ℤe ℚ, como esses conjuntos são subconjuntos deℝsomos levados a acreditar que o cardinal deℝé maior que o cardinal de

ℕ. Temos assim uma definição bem sútil: o cardinal de um conjunto A é maior que o cardinal de um conjunto B, quando B é equipotente a uma parte própria de A, mas A não é equipotente a nenhuma parte própria de B. Não é difícil estender esse resultado e afirmar que o conjunto dos números complexos também não é enumerável. Note que nada se foi dito sobre a se o cardinal de ] 0, 1[ é igual ao cardinal de R, na verdade já se provou que ]0, 1[ é equipotente aℝe portanto ambos o tem o mesmo cardinal. Uma pergunta feita pelo próprio Cantor acerca do fato de existir um cardinal maior do que o cardinal deℕe menor que o cardinal deℝ, causou no século passado uma verdadeira revolução no conhecimento matemático. Cantor tentou provar que tal cardinal não existia, mas isso estava fora do alcance da matemática da época, e a pergunta ficou em aberto sendo dada a ela uma resposta assustadora por outro matemático: Kurt Gӧdel, logo adiante falaremos sobre essa pergunta que ficou conhecida como Hipótese do Contínuo.

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