lista3 - cal - 2009-1

lista3 - cal - 2009-1

3a LISTA DE EXERCÍCIOS
Atualizada em 2009.1

INSTITUTO DE MATEMÁTICA -UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT A01 – CÁLCULO A 01.Resolva as seguintes integrais:

1.4) dxx)3sen(∫ 1.5) dxxx cossen∫ 1.6) dx sec25∫xxtg dx

1.13) ∫dxex

125) ∫dxxx 3cos dx arccos 1.3) ∫dxx x)cos(ln

1.34) dxx ex∫ 1.35) dxxex sencos∫ 1.36) dxxax 2∫

2.1) f(π) = 2 e satisfaz a equação Cxcosxsendxtgx)x('f+−=∫3 ,sendo C uma constante real.

2.2) f (0) = 5 e satisfaz a equação ∫+=Cxdxx )x('farctg3 , sendo C uma constante real.

03. Em cada ponto da curva y = f(x), tem-se )(2 yd=. Sabendo-se que a reta tangente a essa curva no

ponto (0,1) é paralela ao eixo Ox, determinar a equação da mesma.

a) f(x) = x2 em [0,1]b) f(x) = a + b cos x em],[ππ−, a ≠ 0 e b ≠ 0.
c) )( )(2122xaxxf−= em [-a,a], a ≠ 0d) )()(2xsenxf= em [0, π].

04.Determine o valor médio de f no intervalo indicado e os valores de x em que este ocorre:

05. Determine a derivada dx dy de cada uma das funções dadas abaixo:

dtty123 e) dtey x

2 f) 0dt sen xy ttdte

th)0=dz cos sen3

zdzzπ

06. Sendo f definida por ()dtduuxfxt

a tdttexf sen)( tem um mínimo em x = 0 e um máximo em x = π.

08. Determine os pontos extremos das funções:

b) ∫+

09. Calcule as seguintes integrais:

xb) ()∫−

sex xsex xf, calcule dxxf∫

1. Determine a área da região limitada pelas curvas: a) y = cosx, x = 0, x = π, y = 0 b) y = x2 + 1, y = 5 c) y = x2 e y = 4x d) ,1 2x y=y = – x2, x = 1 e x = 2 e) x = y2, x =1 e x = 4 f) y = | x2 – 4| e y = 2 g) x = (y – 2)2 e x = y h) f(x) = x3 e g(x) = 3x i) f(x)= x|x| e g(x) = x3 j) x = y2 – 2 e x = 6 – y2 l) y = 2x, y = 2x – x2, x = 0 e x = 3.

12) Determine a expressão da integral que permite calcular a área da região do plano:

b) Limitada pela hipérbole

a) Exterior à parábola y2 = 2x e interior ao círculo x2 + y2 = 8.

xa yb

c) Comum aos círculos x2 + y2 = 4 ex2 + y2 = 4x.

13. Resolva as seguintes integrais:

dx)12

5)dx(x3)

4) dx

5)dx(x 6) dx

1

dx

10) dx

+ 12) dx

13) dx

14) dx

23 15) dx
19)dxxx∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+11ln 20) ∫+−+

3)dx(x

31) ∫

3) ∫dxxxsen)((cos).(2 34) ∫dxxtg)(3 35)n(3x).dx sen(5x).se∫

dx 43) dxx xa∫ −2

45) ∫ dx

dx

54) dx

RESPOSTAS 01. 1.1) (x4 /2) + (5/x) + 4x + c 1.2) (2/3)x3/2 – 3ln|x| + c

5ln

5sen

1.13) 3ex/3 + c 1.14) cex +−

1.15) arcsen(ex/2) + c 1.16) – cotg(3x)/3 + c 1.17) (tg7x)/7 + c 1.18) (–1/2)ln|5 – 2x| + c 1.19) (–1/2)ln|cos2x| + c 1.20) ln|sen(ex)| + c

1.23)

arccos3

1.3) cx+)sen(ln 1.34) 2ecx+

1.35) −+ecxcos 1.36) ca ln2

1.37) cex +

1.41) c x +

21.4) cxxsenx++2cos4
1

1.48) –x cotgx + ln|senx| + c

1.49) t sect – ln|sec t + tg t| + c1.50) cxx+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−3

1.53) xarctg(3x) – 6

ln(9x2 + 1) + c1.54) x2 ex + c
1.5) (x – 2)arcsen(x – 2) + cxx+−+−3421.56) xarccos(x) – cx+−21
02. 2.1) f(x) = – cos3x + senx + 12.2) 53 6
12+−=xcosln)x(f2.3) f(x) = arctgx + 1

03. 1)cos(ln 2

04. a) 1/3 em (1/3)1/2b) a em 2/π± c) 0 em 0 e ± a d) ½, em 4/π e 4/3π
05. a) lnx;b) ()2/121x+−; c) ()2/1812xx+;
d) ()1232−+x; e)
g) )(2'2
xsenxeyy−=h)

y xseny cos

3'2−−=
08. a) x máx = 1 e x mín = -1;b) xmáx = -1 e xmáx = 1; xmín = -2, xmín = 0 e xmín = 2.
09 a) 10/3b) -1/70 c) 53/2

1. a) 2 b) 32/3 c) 32/3

d) 17/6 e) 28/3 f) ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
g) 9/2 h) 1 i) 1/6
j) 64/3 l) 7/ln2

25) Cxx

)cos(

41) Cx xtg ++

43) Ca xarcsenx

45) Cx

47) C

1 48) C

53) Cxarctg

xarctg x

Comentários