Tabela Periódica

Tabela Periódica

(Parte 1 de 12)

Matemática Elementar

Prof. Inaldo Barbosa de Albuquerque

Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL inaldobarbosa@uol.com.br

Curso de Matemática – UFPBVIRTUAL

Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle (w.ead.ufpb.br)

Site da UFPBVIRTUAL: w.virtual.ufpb.br

Site do curso: w.mat.ufpb.br/ead Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257

Carga horária: 60 horas

Créditos: 04

Ementa

Conjuntos; Relações de Equivalência e Conjunto Quociente; Princípio da Boa Ordenação; Enumerabilidade e não Enumerabilidade; Introdução à Teoria dos Números; Congruências.

Descrição

Esta disciplina é a porta de entrada para disciplinas mais avançadas da Matemática, notadamente as que envolvem estruturas algébricas.

O estudante deve desenvolver sua capacidade de leitura, escrita e discussão dentro de um ambiente interativo, trabalhando em grupo e utilizando como ferramenta a plataforma Moodle.

Objetivos Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado para:

Familiarizar-se com ideias matemáticas mais abstratas

Compreender o conceito de conjunto e dominar suas principais propriedades e operações; Compreender o conceito de relação de equivalência e de conjunto quociente e suas principais propriedades; Compreender os conceitos de número cardinal de um conjunto infinito, enumerabilidade e não enumerabilidade; Ter uma iniciação em Teoria dos Números;

Unidades Temáticas Integradas Unidade I Conjuntos

• Definição de Conjunto • Subconjuntos

• Operações com conjuntos e os Diagramas de Euler-Venn

• Famílias de conjuntos

Unidade IRelações de Equivalência

• Conjunto Quociente

Unidade IEnumerabilidade

• Conjuntos Parcialmente Ordenados • Diagramas de Hasse

• Conjuntos Totalmente Ordenados

• Conjuntos Bem Ordenados e o Axioma da Boa Ordenação

• Princípio da Indução

• Enumerabilidade

Unidade IVIntrodução à Teoria dos Números

• Algoritmo da divisão • Máximo Divisor Comum

• Teorema Fundamental da Aritmética

• Mínimo Múltiplo Comum

Unidade VCongruências

• Congruência Módulo n

• Operações em Zn • Propriedades das Congruências módulo n e Critérios de Divisibilidade

Unidade IConjuntos

1. Situando a Temática

Nesta unidade faremos uma breve revisão, introduzindo a noção de conjuntos e suas operações, teoria de fundamental importância para a compreensão de qualquer texto matemático. Usa-se a noção de conjunto no estudo de espaços vetoriais, domínios e contradomínios de funções, conjunto-solução de uma equação, base de soluções de uma equação diferencial linear homogênea de ordem n etc.

Este texto complementa-se na plataforma MOODLE, onde estão as listas de exercícios e atividades relacionadas com o mesmo. Lembre que a resolução dos exercícios propostos é de grande importância para o aprendizado de qualquer disciplina matemática.

2. Problematizando a Temática

A ideia de conjunto que temos hoje se deve a Georg Cantor.

Cantor (pronuncia-se Cântor) julgava que, para definir um conjunto, bastava que se desse uma propriedade que deveria ser satisfeita por seus elementos. Esta definição apresenta problemas, ou seja, não corresponde exatamente a uma “boa” definição porque há paradoxos em decorrência da imprecisão do conceito de conjunto, ainda hoje à espera de solução. Apesar disso, a importância da Teoria dos Conjuntos não é diminuída.

3. Conhecendo a Temática

3.1 Definição de conjunto

Um conjunto é definido como uma coleção qualquer de objetos: letras do alfabeto, números, pessoas, animais, conjuntos etc. Qualquer coleção de objetos pode ser considerada como conjunto.

considere a coleção I de todos os números naturais ímpares 1, 3, 5, 7,

Os objetos de um conjunto são os seus elementos. Por exemplo, Qualquer número natural ímpar pertence à coleção (conjunto) I. Denotamos a relação entre um conjunto A e um seu elemento x qualquer por x ∈ A (lê-se x pertence a A). Se um elemento y não pertence a A, escreve-se y ∉ A.

A notação usada para representar um conjunto consiste em colocar seus elementos entre chaves ou em definir uma propriedade a ser satisfeita por todos os seus elementos:

V = {a,e,i,o,u} = conjunto das vogais do nosso alfabeto N = {1,2,3, ...} = conjunto dos números naturais

Z = {0,±1,±2,±3,} = conjunto dos números inteiros

4 Q = {p/q ⎪ p,q ∈ Z, q ≠ 0} = conjunto dos números racionais A = {1,2,3,4,5,6} = {x ∈ N ⎪ 1 ≤ x ≤ 6} (lê-se: conjunto dos x pertencentes a N tais que 1 ≤ x ≤ 6)

Ampliando seu conhecimento

George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (São Petersburgo, 3 de Março de 1845 - Halle, Alemanha, 6 de Janeiro de 1918) foi um matemático russo de origem alemã conhecido por ter criado a moderna Teoria dos conjuntos. Foi a partir desta teoria que chegou ao conceito de número transfinito, incluindo as classes numéricas dos cardinais e ordinais, estabelecendo a diferença entre estes dois conceitos que colocam novos problemas quando se referem a conjuntos infinitos.

Nasceu em São Petersburgo (Rússia), filho de um comerciante dinamarquês, George Waldemar Cantor, e de uma música russa, Maria Anna Böhm. Em 1856 a sua família mudou-se para a Alemanha, continuando aí os seus estudos. Estudou na Escola Politécnica de Zurique. Doutorou-se na Universidade de Berlim em 1867. Teve como professores Ernst Kummer, Karl Weierstrass e Leopold Kronecker.

Em 1872 foi docente na Universidade alemã de Halle, onde obtém o título de professor em 1879. Toda a sua vida irá tentar em vão deixar Halle, tendo acabado por pensar que era vítima de uma conspiração.

Cantor provou que os conjuntos infinitos não têm todos a mesma potência (potência significando "tamanho"). Fez a distinção entre conjuntos numeráveis (ou enumeráveis) e conjuntos contínuos (ou não-enumeráveis). Provou que o conjunto dos números racionais Q é enumerável, enquanto que o conjunto dos números reais R é contínuo (logo, “maior” que o anterior). Na demonstração foi utilizado o célebre argumento da diagonal de Cantor ou método diagonal. Nos últimos anos de vida tentou provar, sem o conseguir, a "hipótese do contínuo", ou seja, que não existem conjuntos de potência intermediária entre os enumeráveis e os contínuos - em 1963, Paul Cohen demonstrou a indemonstrabilidade desta hipótese. Em 1897, Cantor descobriu vários paradoxos suscitados pela Teoria dos conjuntos. Foi ele que utilizou pela primeira vez o símbolo R para representar o conjunto dos números reais.

Durante a última metade da sua vida sofreu repetidamente de ataques de depressão, o que comprometeu a sua capacidade de trabalho e o forçou a ficar hospitalizado várias vezes. Provavelmente ser-lhe-ia diagnosticado, hoje em dia, um transtorno bipolar - vulgo maníaco-depressivo. A descoberta do Paradoxo de Russell conduziu-o a um esgotamento nervoso do qual não chegou a se recuperar. Começou, então, a se interessar por literatura e religião. Desenvolveu o seu conceito de Infinito Absoluto, que Georg Cantor identificava a Deus. Ficou na penúria durante a Primeira Guerra Mundial, morrendo num hospital psiquiátrico em Halle.

Os conceitos matemáticos inovadores propostos por Cantor enfrentaram uma resistência significativa por parte da comunidade matemática da época. Os matemáticos modernos, por seu lado, aceitam plenamente o trabalho desenvolvido por Cantor na sua Teoria dos Conjuntos, reconhecendo-a como uma mudança de paradigma da maior importância.

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