conicas cordpolar parametrizada

conicas cordpolar parametrizada

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em que p = de2 se a reta s

estiver a esquerda do foco F (Figuras 14 e 15). Assim o conjunto dos pontos P = (x,y) tais que

Figura 14: Elipse, um de seus focos e a reta diretriz a esquerda

Figura 15: Hiperbole, um de seus focos e a reta diretriz a esquerda pode ser descrito como sendo o conjunto dos pontos P = (x,y) tais que

Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos

que pode ainda ser escrito como x2

Se 0 < e < 1, esta e a equacao de uma elipse. Se e > 1, e a equacao de uma hiperbole.

Para mostrar a recıproca, considere uma elipse ou hiperbole com excentricidade e > 0 e um dos focos em F = (p,0). E facil verificar que (8) e a equacao desta conica e portanto (7) tambem o e, com a reta diretriz sendo s : x = p

Exercıcios Numericos

1.1. Reduzir cada uma das equacoes de forma a identificar a conica que ela representa e faca um esboco do seu grafico:

1.2. Escreva as equacoes das seguintes elipses:

1.3. Escreva as equacoes das seguintes hiperboles:

1.4. Escreva as equacoes das seguintes parabolas:

Exercıcios Teoricos

1.8. Seja uma elipse ou hiperbole com um dos focos em F = (p,0). Definindo a reta r : x = p

em que e e a excentricidade.

(a) Mostre que

e a equacao desta conica. (b) Mostre que esta conica pode ser descrita pelo conjunto de pontos P = (x,y) tais que

2 Coordenadas Polares e Equacoes Parametricas

Pr y

O θ x

Figura 16: Ponto P do plano em coordenadas polares (r,θ) e cartesianas (x,y)

Ate agora vimos usando o chamado sistema de coordenadas cartesianas, em que um ponto do plano e localizado em relacao a duas retas fixas perpendiculares entre si. Vamos definir um outro sistema de coordenadas chamado de sistema de coordenadas polares em que um ponto do plano e localizado em relacao a um ponto e a uma reta que passa por esse ponto.

Escolhemos um ponto O (usualmente a origem do sistema cartesiano), chamado polo e uma reta orientada passando pelo polo chamada eixo polar (usualmente tomamos o proprio eixo x do sistema cartesiano). No sistema de coordenadas polares um ponto no plano e localizado dando-se a distancia do ponto ao polo, r = dist(P,O) e o angulo, θ, entre os vetores −→ OP e um vetor na direcao e sentido do eixo polar, com a mesma convencao da trigonometria, ou seja, ele e positivo se medido no sentido anti-horario a partir do eixo polar e negativo se medido no sentido horario a partir do eixo polar. As coordenadas polares de um ponto P do plano sao escritas na forma (r,θ). Segue facilmente as relacoes entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares.

Proposicao 2.1. Suponha que o polo e o eixo polar do sistema de coordenadas polares coincidem com a origem e o eixo x do sistema de coordenadas cartesianas, respectivamente. Entao a transformacao entre os sistemas de coordenadas polares e o de coordenadas cartesianas podem ser realizadas pelas equacoes x = rcosθ e y = rsenθ

θ θ + pi

em lados opostos em relacao ao polo. x y

Figura 18: Circunferencia com equacao em coordenadas polares r − 2cosθ − 2senθ = 0

Exemplo 2.1. Vamos determinar a equacao em coordenadas polares da circunferencia cuja equacao em coordenadas retangulares e

Substituindo-se x por r cosθ e y por r senθ obtemos r2 − 2rcosθ − 2rsenθ = 0.

x y

Figura 19: Parabola com equacao em coordenadas polares r = 1

Exemplo 2.2. Vamos determinar a equacao em coordenadas retangulares do lugar geometrico cuja equacao em coordenadas polares e

Substituindo-se r por √ x2 + y2 e cosθ por x√

2.1 Conicas em Coordenadas Polares

A equacao polar de uma conica, que nao e uma circunferencia, assume uma forma simples quando um foco F esta no polo e a reta diretriz s e paralela ou perpendicular ao eixo polar. Seja d = dist(F,s). Para deduzir a equacao polar das conicas vamos usar a caracterizacao dada na Proposicao 1.4 na pagina 7, ou seja, que uma conica e o lugar geometrico dos pontos P que satisfazem dist(P,F) = edist(P,s)

Como o foco F esta no polo, temos que dist(P,F) = r, em que (r,θ) sao as coordenadas polares de P.

(a) Se a reta diretriz, s, e perpendicular ao eixo polar.

(i) Se a reta s esta a direita do polo, obtemos que dist(P,r) = d − r cosθ. Assim a equacao da conica fica sendo

Isolando r obtemos

(i) Se a reta s esta a esquerda do polo, obtemos que dist(P,s) = d + r cosθ. Assim a equacao da conica fica sendo

Isolando r obtemos

(b) Se a reta diretriz, s, e paralela ao eixo polar.

(i) Se a reta s esta acima do polo, obtemos que dist(P,r) = d−r senθ. Assim a equacao da conica fica sendo r = e(d − r senθ).

Isolando r obtemos

(i) Se a reta s esta abaixo do polo, obtemos que dist(P,r) = d+r senθ. Assim a equacao da conica fica sendo r = e(d + r senθ).

Isolando r obtemos

Isto prova o seguinte resultado

Proposicao 2.2. Considere uma conica com excentricidade e > 0 (que nao e uma circunferencia), que tem um foco F no polo e a reta diretriz s e paralela ou perpendicular ou eixo polar, com d = dist(s,F).

(a) Se a reta diretriz correspondente a F e perpendicular ao eixo polar e esta a direita do polo, entao a equacao polar da conica e

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