conicas cordpolar parametrizada

conicas cordpolar parametrizada

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e se esta a esquerda do polo, entao a equacao polar da conica e

(b) Se a reta diretriz correspondente a F e paralela ao eixo polar e esta acima do polo, entao a equacao polar da conica e

e se esta abaixo do polo, entao a equacao polar da conica e

P r θ

Figura 20: Parte de uma conica com foco no polo e reta diretriz perpendicular ao eixo polar a direita y P

Figura 21: Hiperbole com foco no polo e reta diretriz perpendicular ao eixo polar a direita r θ

Figura 2: Parte de uma conica com foco no polo e reta diretriz perpendicular ao eixo polar a esquerda x y

Figura 23: Hiperbole com foco no polo e reta diretriz perpendicular ao eixo polar a esquerda r θ

Figura 24: Parte de uma conica com foco no polo e reta diretriz paralela ao eixo polar acima y P θ s

Figura 25: Hiperbole com foco no polo e reta diretriz paralela ao eixo polar acima x y

P r

Figura 26: Parte de uma conica com foco no polo e reta diretriz paralela ao eixo polar abaixo x y

Figura 27: Hiperbole com foco no polo e reta diretriz paralela ao eixo polar abaixo

Exemplo 2.3. Vamos identificar a conica cuja equacao em coordenadas polares e

Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro da equacao por 2 obtemos

que e a equacao em coordenadas polares de uma elipse com excentricidade igual a 1/2, um dos focos no polo, reta diretriz x = 4 (coordenadas cartesianas) ou r cosθ = 4 (coordenadas polares). Vamos encontrar as coordenadas polares dos vertices. Para isso, fazemos θ = 0 e θ = pi na equacao polar da elipse obtendo r = 4/3 e r = 4, respectivamente.

2.2 Circunferencia em Coordenadas Polares

A forma mais simples da equacao de uma circunferencia em coordenadas polares ocorre quando seu centro esta no polo. Neste caso a equacao e simplesmente r = a, em que a e o raio da circunferencia. Alem deste caso, a equacao polar de uma circunferencia assume uma forma simples quando ela passa pelo polo e o seu centro esta no eixo polar ou na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo.

(a) Se o centro esta no eixo polar.

(i) Se o raio e igual a a e o centro em coordenadas polares e C = (a,0). Se P e um ponto qualquer da circunferencia, entao

xy C r P

Figura 28: Circunferencia que passa pelo polo com centro no eixo polar a direita xy C r P

Figura 29: Circunferencia que passa pelo polo com centro no eixo polar a esquerda

Logo a equacao em coordenadas polares da circunferencia e

(i) Se o raio e igual a a e o centro em coordenadas polares e C = (a,pi). Se P e um ponto qualquer da circunferencia, entao

Logo a equacao em coordenadas polares da circunferencia e

(b) Se o centro esta na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo.

(i) Se o raio e igual a a e o centro em coordenadas polares e C = (a,pi/2). Se P e um ponto qualquer da circunferencia, entao

θ r

Figura 30: Circunferencia que passa pelo polo com centro acima do polo na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo x y θ r

Figura 31: Circunferencia que passa pelo polo com centro abaixo do polo na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo

Logo a equacao em coordenadas polares da circunferencia e

(i) Se o raio e igual a a e o centro em coordenadas polares e C = (a,−pi/2). Se P e um ponto qualquer da circunferencia, entao

Logo a equacao em coordenadas polares da circunferencia e

Proposicao 2.3. Considere uma circunferencia de raio a que passa pelo polo cujo centro esta no eixo polar ou na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo.

(a) Se o centro esta no eixo polar e a direita do polo, entao a equacao polar da circunferencia e dada por r = 2acosθ e se o centro esta a esquerda do polo, entao a equacao polar da circunferencia e dada por r = −2acosθ.

(b) Se o centro esta na reta perpendicular ao eixo polar que passa pelo polo e acima do polo, entao a equacao polar e dada por r = 2asenθ, e se esta abaixo do polo, entao a equacao polar da circunferencia e dada por

Exemplo 2.4. Uma circunferencia cuja equacao em coordenadas polares e r = −3cosθ passa pelo polo, tem raio igual a 3/2 e as coordenadas polares do seu centro sao (3/2,pi).

2.3 Equacoes Parametricas

a equacao de uma curva plana C em coordenadas retangulares. Sejam x e y funcoes de uma terceira variavel t em um subconjunto, I, do conjunto dos numeros reais, R, ou seja,

Se para qualquer valor da variavel t no conjunto I, os valores de x e y determinados pelas equacoes (10) satisfazem (9), entao as equacoes (10) sao chamadas equacoes parametricas da curva C e a variavel independente t e chamada parametro. Dizemos tambem que as equacoes (10) formam uma representacao parametrica da curva C. A representacao parametrica de curvas tem um papel importante no tracado de curvas pelo computador.

Exemplo 2.5. Seja a um numero real positivo fixo. A circunferencia de equacao

A circunferencia definida por (1) pode tambem ser representada parametricamente por

ou por

Apenas que com (13) obtemos somente a parte de cima da circunferencia e com (14) obtemos somente a parte de baixo.

t (cos t, sen t)

Figura 32: Circunferencia parametrizada t (a cos t, b sen t)

(b cos t, b sen t)

(acost,asent)

Figura 3: Elipse parametrizada

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