conicas cordpolar parametrizada

conicas cordpolar parametrizada

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Exemplo 2.6. A elipse de equacao x2

pode ser representada parametricamente pelas equacoes

Pois elevando ao quadrado e dividindo por a2 a primeira equacao em (16), elevando ao quadrado e dividindo por b2 a segunda equacao em (16) e somando os resultados obtemos

Exemplo 2.7. A hiperbole de equacao

Pois elevando ao quadrado e dividindo por a2 a primeira equacao em (18), elevando ao quadrado e dividindo por b2 a segunda equacao em (18) e subtraindo os resultados obtemos

Vamos apresentar uma outra representacao parametrica da hiperbole. Para isso vamos definir duas funcoes

A hiperbole definida por (17) pode, tambem, ser representada parametricamente por

Pois elevando ao quadrado e dividindo por a2 a primeira equacao em (20), elevando ao quadrado e dividindo por b2 a segunda equacao em (20) e subtraindo os resultados obtemos

Figura 34: Cosseno hiperbolico x y

Figura 35: Seno hiperbolico

As funcoes f1(t) e f2(t) definidas por (19) recebem o nome de cosseno hiperbolico e seno hiperbolico, respectivamente e sao denotadas por cosht e senht. De (21) segue a seguinte relacao fundamental entre o cosseno e o seno hiperbolicos e a representacao parametrica (20) pode ser escrita como x = acosht e y = bsenht, para todo t ∈ R.

Tambem x = −acosht e y = bsenht, para todo t ∈ R. (23) e uma representacao parametrica da hiperbole (17). Apenas que com (20) obtemos somente o ramo direito da hiperbole e com (23), somente o ramo esquerdo.

(b, b tan t) (a sec t, b tan t)

(acost,asent)

Figura 36: Hiperbole parametrizada usando secante e tangente y (acosht,bsenht)(−acosht,bsenht)

Figura 37: Hiperbole parametrizada usando as funcoes hiperbolicas

Exemplo 2.8. Vamos mostrar que a parametrizacao de uma curva em relacao a qual sabemos sua equacao em coordenadas polares r = f(θ) pode ser feita da seguinte forma

A equacao da curva em coordenadas cartesianas e{ √

Para a parametrizacao (24) temos que√

x = ecost

1 + ecost e y = esent e uma parametrizacao de uma conica com excentricidade e > 0, reta diretriz localizada a direita a uma distancia igual a 1 e um dos focos na origem.

Figura 38: Elipse com foco na origem parametrizada usando a sua formula em coordenadas polares

Figura 39: Hiperbole com foco na origem parametrizada usando a sua formula em coordenadas polares

Exercıcios Numericos

2.1. Transformar a equacao em coordenadas retangulares em uma equacao em coordenadas polares:

2.2. Transformar a equacao em coordenadas polares em uma equacao em coordenadas retangulares:

2.3. Identificar a conica cuja equacao em coordenadas polares e dada. Determine a excentricidade, a equacao da diretriz, a distancia da diretriz ao foco e as coordenadas polares do(s) vertice(s):

2.4. Determine o raio e e as coordenadas polares do centro da circunferencia cuja equacao em coordenadas polares e dada:

2.5. A equacao da trajetoria de uma partıcula lancada do ponto P0 = (0,0), com velocidade v0, fazendo um angulo α com o eixo x e sujeita apenas a acao da aceleracao da gravidade g e dada por

Mostre que

sao equacoes parametricas da trajetoria da partıcula.

Exercıcios Teoricos

2.6. Se o centro de uma circunferencia que passa pelo polo e (a,α), mostre que sua equacao em coordenadas polares e r = 2acos(θ − α).

2.7. Se a conica de equacao r = de

1 − ecosθ representa uma parabola, determine as coordenadas polares do seu vertice e a equacao em coordenadas polares da reta diretriz.

2.8. Se a conica de equacao r = de

1 + ecosθ representa uma elipse, mostre que o comprimento

2.9. Mostre que a equacao em coordenadas polares de uma elipse com um dos focos no polo, que tem eixo maior igual a 2a e excentricidade e e

Referencias

[1] Howard Anton and Chris Rorres. Algebra Linear com Aplicacoes. Bookman, Sao Paulo, 8a. edition, 2000.

[2] Paulo Boulos and Ivan de C. e Oliveira. Geometria Analıtica - um tratamento vetorial. Mc Graw-Hill, Sao Paulo, 2a. edition, 1987.

[3] Charles H. Lehmann. Geometria Analıtica. Editora Globo, Porto Alegre, 1974.

[4] Louis Leithold. Calculo com geometria analıtica, Vol. 2. Ed. Harbra Ltda., Sao Paulo, 3a. edition, 1994.

[5] Reginaldo J. Santos. Matrizes Vetores e Geometria Analıtica. Imprensa Universitaria da UFMG, Belo Horizonte, 2001.

[6] James Stewart. Calculo, Vol. 2. Pioneira, Sao Paulo, 4a. edition, 2001.

[7] Israel Vainsecher. Notas de Geometria Analıtica Elementar. Departamento de Matematica- UFPe, Recife, 2001.

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