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FÍSICA MODERNA: CAPÍTULO 7: FÍSICA ATÕMICA

MACEIÓ – AL DEZ/2010

FÍSICA MODERNA: CAPÍTULO 7: FÍSICA ATÔMICA

MACEIÓ – AL DEZ/2010

Trabalho de Monografia: resumo e discussão sobre os capítulos 7 e 8 do livro Física Moderna – Typler, solicitado pela Prof. Francisco Fidelis, como requisito de conclusão da Disciplina Física Moderna I.

1. PREFÁCIO E OBJETIVOS04
2. INTRODUÇÃO05
ESFÉRICAS06

3. CAPÍTULO I: EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER EM COORDENADAS

ÁTOMO DE HIDROGÊNIO07
5. CAPÍTULO I: FUNÇÕES DE ONDA DO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO10
6. CAPÍTULO IV: SPIN DO ELÉTRON1

4. CAPÍTULO I: QUANTIZAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR E ENERGIA NO

ÓRBITA13

7. CAPÍTULO V: ADIÇÃO DE MOMENTOS ANGULARES E EFEITO SPIN-

PERIÓDICA14

8. CAPÍTULO VI: ESTADOS FUNDAMENTAIS DE ÁTOMOS; A TABELA

ALCALINOS15

9. CAPÍTULO VII: ESTADOS EXCITADOS E ESPECTROS DOS ÁTOMOS

ELÉTRONS16
1. CAPÍTULO IX: O EFEITO ZEEMAN17
12. CONCLUSÃO19

1. PREFÁCIO E OBJETIVOS

Em toda a trajetória de evolução da ciência, o mundo todo tem perguntado sobre seus mais incríveis mistérios, que com desabrochar da física moderna, essas respostas vão fluindo gradativamente com o tempo através das teorias quânticas que buscam, cada vez mais, enfatizar a transcendência do conhecimento. Neste trabalho procuramos abordar a origem dos números quânticos m, l e n, bem como seus possíveis valores em relação à quantização do momento angular e de energia; esboçar a função de onda e as funções de distribuição de probabilidade para o estado fundamental do hidrogênio; discutir semelhanças e diferenças entre o modelo de Bohr e o tratamento da equação de Schroedinger para o átomo de hidrogênio; fazer a ligação entre o átomo de hidrogênio; fazer a ligação entre o momento magnético e o momento angular; descrever a experiência de Stern-Gerlach; relacionar a combinação de dois vetores momento angular; discutir o efeito Spin-órbita; fazer uma discussão sobre o efeito se Spin do elétron numa tabela periódica entendendo a origem das configurações eletrônicas dos átomos; compreender as características gerais do gráfico de nível de energia de um átomo de um elétron, em especial o sódio, e de dois elétrons, como o mercúrio; discutir o efeito Zeeman, fazendo a comparação entre os efeitos Zeeman normal e anômalo, abordando suas teorias e experimentos.

2. INTRODUÇÃO

Aplicando a teoria quântica para os sistemas atômicos, compreendemos que a equação de Schrödinger verifica solução exatamente para o átomo de hidrogênio. A importância de considerarmos o átomo de hidrogênio é que suas considerações atômicas superam átomos simples, aproximando os seus conceitos de ondas dos átomos mais complicadas. O sucesso da equação de Schroedinger no campo da física atômica deve-se ao estudo da interação dos elétrons entre si e com o núcleo atômico, expressando bastante ênfase com os seus níveis de energia, os comprimentos de ondas e as intensidades de seus aspectos, podendo ser calculados através de métodos de aproximação e computacionais. A equação de Schroedinger foi resolvida pela primeira vez em 1924 em resolução para o átomo de hidrogênio. O estudo do átomo de hidrogênio é destacado no estudo da teoria atômica por ser mais complicado do que os sistemas constituídos de duas partículas, estudo esse que se caracteriza como sistemas movendo-se no espaço tridimensional sob a influência de uma atração coulombiana mútua. O movimento angular é um exemplo desse tipo de sistema. Segundo Bohr, trata-se de um conjunto elétron-núcleo com um sistema de dois corpos em movimento

com um centro da massa em repouso, com massa reduzida, por , onde m é a massa do elétron e M, a massa do núcleo. A energia potencial do sistema dependerá da posição radial do elétron em relação ao núcleo, dada por

, para o sistema elétron-núcleo quando mantido ligado por uma força de atração coulombiana entre as cargas - e e + Ze. Negativo (-), por se tratar de um problema de força central, onde veremos mais adiante. Nestas condições, a dependência radial da energia potencial, o problema possui uma simetria esférica, tratada na solução da equação de Schrödinger, em que discutiremos qualitativamente as características importantes destes resultados, que através de argumentos tão simples, tornaremos plausíveis e de grande importância os resultados obtidos. Portanto, é nesse campo da física Atômica que encontraremos satisfação em abordar tópicos imprescindíveis para o estudo da Teoria Quântica para sistemas atômicos.

3. CAPÍTULO I

Inicialmente tratamos o átomo de hidrogênio como uma única partícula, logo um elétron se movendo com energia cin.p2/me e energia potencial v(r) = -zke2/r, pois segundo a teoria de Bohr, o fator z é considerado o numero atômico, que para o hidrogênio é 1. Devendo levar em consideração o movimento do núcleo. Nestas condições, a equação de Schroedinger no espaço tridimensional é representada pela equação:

A energia potencial depende do radial r = (x2+y2+z2) 1/2, que nas coordenadas esféricas, r, θ, Ø, estão relacionados com x, y e z, por z = r cósθ, x = senθ cosØ e y = r senθ cosØ. Nestas condições, a transformação da equação de Schroedinger em coordenadas esféricas é pelo seguinte resultado:

Equação esta que não foi difícil para Schroedinger resolvê-la, por ser bem similar a outras equações diferenciais parciais relacionadas à Física Clássica. Com relação à ψ, devemos lembrar que no caso ψ(x, y, z, t) é um estado estacionário por se relacionar a uma densidade de probabilidade independente do tempo.

4. CAPITULO I

A importância de discutir a quantização do momento angular e da energia na solução da equação de Schroedinger é compreender a origem e interpretação dos números quânticos n, l e m, mediante as formas matemáticas das funções de onda do átomo de hidrogênio.

Começamos separando as variáveis escrevendo a função de onda ψ(r, θ, Ø) como produto de um a variável a partir de uma equação diferencial parcial. Assim escrevemos ψ (r, θ, Ø) = R(r)ƒ(θ)g(Ø), em que R depende de r, ƒ depende de θ e g depende de Ø, que para as equações diferenciais parciais podem ser transformadas em três equações diferenciais ordenarias, R(r), ƒ(θ) e g(Ø), uma para cada função. A energia potencial aparece somente na equação para R(r), considerada equação radial. Nestas condições, o requisito de que a função de onde seja bem comportada, de modo que seja continua e possa ser normalizada, introduz três números quânticos, cada qual associado a uma das três variáveis. Com isso, o numero quântico associado a Ø é m e está relacionado com a componente z do momento angular, dado por Lz = mħ. Para g(Ø), o valor de Ø está restrito entre Ø = 0 e Ø = 360°. Com isso, a condição de contorno de Ø leva a condição quântica na componente z do momento angular, associando a um campo magnético externo a fim de observar a quantização desta componente z (eixo z coord. Ø).

O numero quântico associado a θ é chamado l e está relacionado com a magnitude do momento angular e está relacionado com a magnitude do momento

angular L, dado por . A solução das partes angulares da equação de Schrödinger leva à quantização do momento angular L e da componente LZ. De modo análogo à mecânica clássica, quando V depende de r, a força é dirigida para a origem, afastando-se dela, e o momento angular L é constante, em que no momento angular de Bohr para o átomo de hidrogênio, é o postulado da quantização do momento angular que leva a valores discretos de energia. Os resultados corretos da equação de Schrödinger, nesse caso, diferem do postulado de Bohr. Muito embora a componente Z do momento angular seja um múltiplo inteiro de ħ, diferente para a magnitude do momento angular, onde

em , l é inteiro.

principal n. Portanto, para certos valores de E, resolvendo a equação radial, temos:

Discutindo os resultados para qualquer sistema esférico, em que a energia potencial depende de r, a solução da equação radial para R(r) depende de V(r). Nestas condições, o numero quântico associado à coordenada r é chamado número quântico

O número quântico principal n pode tomar os valores n= 1, 2, 3,; contando

. que n > l. Com isso, os valores quânticos n, l em associados as variáveis r, θ, Ø estão

n = 1, 2, 3,
l = 0, 1, 2,(n-1)
m = -1, -l+1,0, 1, 2,... + l .

para: A energia do átomo de hidrogênio depende do número quântico principal n e não de l, isso gera uma peculiaridade de forças inversas. Como resultado da mecânica clássica a energia depende do eixo maior da órbita e não da excentricidade. Ao maior valor do momento angular (l = n- l) corresponde à órbita circular, enquanto que o pequeno valor de l, a uma órbita excêntrica. Para forças centrais que não obedecem a lei quadrática inversa, a energia depende do momento angular que depende tanto de n quanto de l.

O número quântico de m está relacionado com a componente z do momento angular. Assim se colocarmos um átomo num campo magnético externo, haverá uma direção preferencial no espaço, e a energia dependerá do valor de m, a ser discutido pelo efeito Zeeman. As transições de dipolo elétrico permitidas obedecem às regras de seleção ∆m e ∆ l , em ∆m = 0 ou l e ∆ l = 1. Poderemos fazer uma ligação entre os números quânticos, l e m, e o momento

angular é bem mais valorizado para a equação de Schroedinger, onde , considerando as três equações diferenciais para R(r), ƒ(θ) e g(Ø), onde m é uma constante na separação de variáveis, em que a solução dessa equação é , para Ø

onde m/P = K5, então m = PK5 e mħ = PħK5 é a componente z do momento angular.

Considerando ƒ(θ), esta é muito complexa, tendo como padrão da física matemática na equação de Legendre, para θ = 0 e em θ = 180°, l é restrito a valores inteiros. Com isso, a equação diferencial para R(r) é:

Comparando a equação clássica para energia total .

Escrevendo p em termos de suas componentes pF ao longo do raio r e p┴ perpendicular a r, L = r.p┴, então:

. E a energia total é:

Portanto L2 = l (l +1)ħ2 , o quadrado do momento angular.

5. CAPITULO I

As funções de anda que satisfazem a equação de Schroedinger para o átomo de hidrogênio são funções de r, θ, Ø. A dependência em Ø da função de onda é eimØ , baseada na função de Le gendre. Considerando a dependência radial é da forma de:

Onde a0 é o primeiro raio de Bohr e Lnl é um polinominal de Laguerre. Nestas condições as funções de onda para o atomo de hidrogênio é escrita por:

Onde Rnl e Cnln é uma constante de normalização. Vemos que a função de onda depende dos números quânticos n, l e m, devido as condições de contorno em R(r), ƒ(θ) e g(Ø). Com a energia depende somente do valor de n. nestas condições para qualquer valor de n, há m valores de l; e para cada valor de l há (2 l +1) possível valores de m. exceto para o nível de menor energia, há muitas funções de onda diferentes à mesma energia. Logo, o estado de menor energia, fundamental, tem n = 1.

Portanto l e m são ambos nulos e p potencial de Laguerre L00 e a função de onda é:

Onde C100 é determinado por normalização:

Com isso, , considerada a probabilidade de encontrar o eletron no volume dt é ψ*ψdt.

6. CAPITULO IV

Entendemos que quando uma linha espectral do hidrogênio é examinada com alta resolução ela mostra uma estrutura fina. Embora o cálculo relativístico de Summerfeld de acordo com o modelo de Bohr, concorde com as medidas dessa estrutura fina dessa para o hidrogênio, onde prevê menos linhas do que em outros átomos. A fim de explicar esta estrutura e esclarecer as dificuldades com a explicação quântica da tabela periódica, W. Pauli sugeriu que o elétron tem um quarto numero quântico, além de n, l e m.

Nestas condições, os números quânticos surgem das condições de contorno de alguma coordenada, e que para Pauli esperava esta o quarto número quântico para a coordenada temporal numa teoria relativística, mas a idéia não era procedente. Portanto, além da explicação da estrutura fina e da tabela periódica, essa proposta de Assim devemos rever a ligação entre o momento angular e o momento magnético de um sistema carregado. Se o sistema de partículas estiver rodando, o momento magnético e proporcional a seu momento angular; resultado conhecido Teorema de Larmar. Tendo M, a massa da partícula e carga q, movendo-se num circulo de raio r com velocidade e freqüência ƒ = /2 r. O momento angular da partícula é L = M r. Já o momento magnético de uma corrente circular é dada por:

Onde a corrente elétrica é dada por:

Porém, se q for positiva, o momento magnético é dado por:

Aplicando-se esse resultado para o átomo de hidrogênio, temos para a magnitude e componente z do momento magnético.

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