momento de inercia

momento de inercia

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Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE

Centro de Engenharias e Ciências Exatas – Curso de Bacharelado em Química

Física Geral e Experimental 1 – Prof. Sandro F. Stolf

Alunos:

Data: 13/11/2009

Título: MOMENTO DE INÉRCIA

OBJETIVO

Estudo do momento de inércia de um corpo rígido em torno de eixos fixos.

RESUMO

O experimento realizado tem ênfase em testar o teorema dos eixos paralelos o qual diz que, sabendo o momento de inércia do corpo, sobre o eixo de rotação que passa pelo centro de massa, sabe-se qualquer momento de inércia de qualquer eixo paralelo ao mesmo.

Para obter medidas coerentes dos momentos de inércia em diferentes eixos, foi medido primeiramente o tempo de dez oscilações em cada eixo para obtendo assim um valor mais exato do período de uma oscilação para minimizar o erro associado, medindo sempre a distancia do eixo de rotação ate o centro de massa da chapa metálica. Com os dados coletados e utilizando a equação deduzida em sala de aula do momento de inércia teórico da peça, comparou-se a mesma com o momento de inércia experimental encontrado pela equação da reta do gráfico.

Discutiu-se os possíveis erros associados com os valores teóricos e experimentais calculados.

INTRODUÇÃO TEÓRICA

Momento de inércia ou inércia rotacional (I) nos diz como a massa do corpo em rotação está distribuída em torno do eixo de rotação, ou seja, envolve não apenas a massa mas também a forma como esta massa está distribuída. É constante para um corpo rígido particular e para um eixo de rotação particular.

Pode-se citar como exemplo, o fato de ser mais fácil girar uma longa haste em torno de seu eixo central (longitudinal) do que quando girado em torno de um eixo perpendicular à haste que passa através de seu centro. A razão para esta diferença é que a massa está distribuída mais próxima ao eixo de rotação em primeira rotação do que na segunda, ou seja, o momento de inércia da haste da primeira rotação é muito menor. Em geral, um momento de inércia menor significa uma rotação mais fácil.

Para determinar o momento de inércia utiliza-se a seguinte equação:

I = Σ miri2 (momento de inércia)

Onde: I = momento de inércia

m = massa

r = distância perpendicular de uma partícula em relação ao eixo de rotação

A unidade SI para o momento de inércia I é o quilograma-metro quadrado (kg m2)

Para definir o momento de inércia de um corpo rígido, pode-se utilizar integral:

I =

r2 dm (momento de inércia, corpo contínuo)

Quando tem o valor do momento de inérica do centro de massa I CM do corpo em torno de um eixo paralelo que passa pelo seu centro de massa, pode-se utilizar esta equação, conhecida como o teorema dos eixos paralelos:

I = I CM + Mh2 (teorema dos eixos paralelos)

Onde: I = momento de inércia

I CM = momento de inércia do centro de massa

M = massa

h = distância perpendicular entre o eixo dado e o eixo através do centro de

massa

Para a realização do calculo do momento de inércia teórico da peça, se fez necessário a dedução da equação do teorema dos eixos paralelos.

Primeiramente, deve-se saber que o momento de inércia da peça é o momento da chapa menos os furos. O momento de inércia da chapa é m/12(L²+D²)mchapa e o momento dos furos é preciso calcular. Para essa conta, fez o numero de furos dividido por dois, vezes a massa do furo e o diâmetro dos mesmos mais duas vezes a massa do furo vezes a somatória de cada furo ao quadrado e vezes a distancia dos centro de massa de um furo para o outro ao quadrado – 15/2 mf a² + 2mf b² Σn².

Encontrado o momento de inércia dos furos, precisa-se encontrar a massa dos furos e para isso, usou-se a densidade(ρ) da chapa igual a densidade dos furos por poder encontrar a massa através do volume da chapa que é largura vezes o comprimento e vezes a espessura. Já o volume dos furos é π vezes o diâmetro do furo ao quadrado vezes a espessura da chapa e o numero de furos,mchapa = mfuros

LD e πa²en

corta-se a espessura(e) e multiplica-se cruzado, obtendo: mfuros = mchapa πa²n/LD.

A massa da peça é a massa da chapa menos a massa dos furos:

mchapa= mchapa – mchapa πa²n/LD

= mchapa(1- πa²n)

LD

= mchapa( LD- πa²n)

LD

= mchapa ( LD)

LD- πa²n

Como a massa da chapa foi encontrada, basta substituir na massa dos furos

mfuros = mpeça (πa²n)

LD- πa²n

E finalmente a equação fica:

Icm,peça = mpeça (LD/LD-15πa²) [1/12(L² + D²)] – [15/2a² + 280b²](πa²15/LD-15πa²)mpeça

MATERIAIS E PROCEDIMENTOS

Primeiramente, mediu- se a massa da chapa metálica contendo 15 furos numa balança digital de incerteza (± 0,005) Kg, assim como, o comprimento (C), a largura (L), espessura (E), diâmetro dos furos (a) e as distâncias entre os furos (b) com uma régua, cuja incerteza é (± 0,05) cm.

Foram enumerados os furos de 1 a 15 e identificou-se o furo que se encontrava no centro de massa da peça, que no caso foi o furo de número 8.

O equipamento foi montado para dar inicio ao procedimento, o diagrama se encontra no final dessa seção. Foi usado um suporte universal e nele, um rolamento com eixo. Posicionou-se no rolamento o furo de número 1 e logo em seguida, a distância do centro de massa do eixo até o centro de massa do furo central foi medido com a régua.

Com um transferidor, a peça foi elevada lateralmente em um ângulo de no máximo 5,0º, na altura em que a peça será lançada cinco vezes. Ao soltar a peça da altura correspondente ao ângulo medido, foi acionado um cronômetro e o parou somente quando ocorreram 10 oscilações, ou seja, quando a peça voltou na altura inicial ao completar as 10 oscilações, então anotou-se o tempo cronometrado considerando uma incerteza de (± 0,01) (s).

Se fez necessário repetir esse procedimento com os furos de números 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Anotou-se as distâncias dos centros de massa dos furos até o centro de massa do furo de número 8 (centro de massa da chapa), bem como, o tempo de cada caso. As oscilações foram feitas aproximadamente da mesma altura pra todos os furos usando como referencia um ângulo de aproximadamente 5,0 º, apenas para garantir que o ângulo não ultrapassa-se esse valor e, o número de oscilações foram as mesmas para todos os casos.

Para cada furo foram realizadas cinco vezes o procedimento.

RESULTADOS E DISCUSSÃO

Os dados medidos do comprimento, largura, espessura, diâmetro dos furos e as distâncias entre furos da peça metálica estão representados na tabela 1:

Tabela 1: Dados experimentais.

Comprimento (± 0,05) cm

Largura (± 0,05) cm

Espessura (± 0,05) cm

Diâmetro dos furos (± 0,05) cm

Distância entre furos (± 0,05) cm

79,90

4,90

0,30

2,10

3,10

O tempo de 10 oscilações completas de cada furo que foi cronometrado e está representado na tabela 2:

Tabela 2: Dados experimentais.

Furo

Distancia

Eixo-CM

(± 0,05)cm

Tempo

10 osc.

(±0,01)s

Tempo

10 osc.

(±0,01)s

Tempo

10 osc.

(±0,01)s

Tempo

10 osc.

(±0,01)s

Tempo

10 osc.

(±0,01)s

1

35,60

14,09

13,93

13,94

13,95

14,05

2

30,80

13,87

13,63

13,62

13,45

13,70

3

25,40

13,79

13,51

13,11

13,55

13,19

4

20,20

13,02

13,23

13,30

13,29

13,28

5

15,20

13,50

13,64

13,71

13,62

13,92

6

10,10

15,66

15,51

13,61

15,57

13,40

7

5,20

20,33

20,49

20,23

20,21

20,23

Com esses valores experimentais, foi calculado o tempo médio de 10 oscilações e o período médio de cada furo, conforme a tabela 3:

Tabela 3: Tempo médio de 10 oscilações.

Furo

Tempo médio de 10 osc (±0,01)s

Período médio

(±0,01)s

1

14,00

1,40

2

13,65

1,37

3

13,45

1,35

4

13,22

1,32

5

13,67

1,37

6

14,75

1,48

7

20,30

2,03

Para se calcular o período (T) de cada furo, foi usado o tempo médio divido por 10, que é o numero de oscilações. Assim, obtendo o período médio para cada oscilação.

A variação do quadrado do período do pêndulo em função da distância do eixo de rotação ao CM são mostradas no gráfico 1 abaixo:

GRAFICO1

Foi possivel perceber observando o gráfico que, o quadrado do período vai diminuindo conforme aumenta a distância do eixo da rotação até próximo a 20cm, sendo que chega no mínimo neste ponto. Após essa distância, o quadrado do período vai aumentando conforme o aumento da distância do eixo de rotação.

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