Baixe funções logarítmica e exponencial e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Funções Logarítmica e Exponencial FUNÇÕES INVERSAS Em linguagem comum, o termo " inversão" transmite a idéia de uma reversão. Por exemplo, em meteorologia, a inversão da temperatura é uma reversão nas propriedades usuais da temperatura de camadas de ar; em música, uma inversão é um tema recorrente que usa as mesmas notas na ordem reversa. Em matemática, o termo inversa é usado para descrever funções que são reversas uma da outra, no sentido que cada uma desfaz o efeito da outra. A idéia de resolver uma equação y = f (x) para x com uma função de y, digamos x = g(y), é uma das idéias mais importantes da matemática. Às vezes, resolver esta equação é um processo simples; por exemplo usando álgebra básica, a equação y = f (x) pode ser resolvida para x como uma função de y: x = g (y) A primeira equação é melhor para calcular y se x for conhecido, e a segunda é melhor para calcular x se y for conhecido O interesse fundamental é identificar relações que possam existir entre as funções f e g, quando uma função y=f(x) for expressa como x = g(y), ou ao contrário. Por exemplo, consideremos as funções e discutidas acima. Quando funções forem compostas em qualquer ordem, uma cancela o efeito da outra significando que A primeira dessas equações estabelece que cada saída de uma composição g(f(x)) é igual à entrada, e a segunda estabelece que cada saída da composição f(g(y)) é igual à entrada. Os pares de funções com essas duas propriedades são tão importantes que há uma terminologia específica para elas. Se as funções f e g satisfazem as duas condições g(f(x)) = x para todo x no domínio de f f(g(y)) = y para todo y no domínio de g então, dizemos que f e g são funções inversas. Além disso, chamamos f uma inversa de g e g uma inversa de f. Exemplo Confirme cada um dos seguintes itens. (a) A inversa de (b) A inversa de Solução (a). Solução (b). OBSERVAÇÃO. O resultado no exemplo deve fazer sentido intuitivamente para você, uma vez que as operações de multiplicar por 2 e multiplicar por em qualquer ordem cancelam uma o efeito da outra, da mesma que as operações de elevar ao cubo e extrair a raiz cúbica. DOMÍNIO E IMAGEM DAS FUNÇÕES INVERSAS A equação seguinte (f(x)) = x para todo x no domínio de f f ( (x)) = x para todo x no domínio de implica em certas relações entre os domínios e as imagens de f e . Por exemplo, na primeira equação a quantidade f (x) é uma entrada de , assim pontos nas imagens de f estão no domínio de ; e na segunda equação, a quantidade (x)é uma entrada de f, sendo que pontos na imagem de estão no domínio de f. Tudo isso sugere as seguintes relações: domínio de = imagem de f imagem de = domínio de f que as retas tangentes têm inclinação positiva) e deve ser decrescente em qualquer intervalo onde f'(x)<0 (uma vez que as retas tangentes têm inclinação negativa). Essas observações sugerem o seguinte teorema. Se o domínio de f for um intervalo no qual f' (x)>0 ou no qual f'(x)<0, então a função f tem uma inversa. Exemplo O gráfico de f(x) = é sempre crescente em , uma vez que para todo x. Contudo, não há maneira fácil de resolver a equação y = para x em termos de y; mesmo sabendo que f tem uma inversa, não podemos produzir uma fórmula para ela. OBSERVAÇÃO. O que é importante entender aqui é que a nossa incapacidade de achar uma fórmula para a inversa não nega a sua existência; de fato, é necessário que se desenvolvam formas de achar propriedades de funções, as quais não têm fórmula explícita para se trabalhar com elas. Funções Logarítmica e Exponencial Quando os logaritmos foram introduzidos no século XVII como uma ferramenta computacional, eles forneceram aos cientistas daquela época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os computadores e as calculadoras tenham substituído amplamente os logaritmos em cálculos numéricos, as funções logarítmica e suas relativas tem uma vasta aplicação na matemática e na ciência. EXPOENTES IRRACIONAIS Em álgebra, as potências inteiras e racionais de um número b estão definidas por Se b for negativo, então algumas das potências fracionárias de b terão valores imaginários; por exemplo, . Para evitar esta complicação, vamos supor que , mesmo que não seja estabelecido explicitamente. Observe que as definições precedentes não incluem potências irracionais de b, tais como Há vários métodos para definir potências irracionais. Uma abordagem é definir potências irracionais de b como limite de potências racionais. Por exemplo, para definir devemos começar com a representação decimal de , isto é, 3,1415926 Desta decimal, podemos formar uma seqüência de números racionais que ficam cada vez mais próximos de isto é, 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159 e a partir destes podemos formar uma seqüência de potências racionais de 2: Uma vez que os expoentes dos termos desta seqüência tendem a um limite , parece plausível que os próprios termos tendam a um limite; sendo assim, é razoável definir como sendo este limite. A tabela abaixo fornece evidência numérica de que a seqüência, na realidade, tem um limite e para quatro casas decimais, o valor deste limite é 8,8250. Em geral, para qualquer expoente irracional p e número positivo b, podemos definir como o limite de potências racionais de b, criadas pela expansão decimal de p. Tabela x 3 8,000000 3,1 8,574188 3,14 8,815241 3,141 8,821353 3,1415 8,824411 3,14159 8,824962 3,141592 8,824974 A FAMÍLIA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS Uma função da forma f (x) = , onde b > 0 e b 1, é chamada de função exponencial de base b, cujos exemplos são : f (x) = , f (x) = , f (x) = Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. Assim as funções tais como f (x) = e f (x) = não seriam classificadas como funções exponenciais, uma vez que elas tem uma base variável e um expoente constante. Pode ser mostrado que as funções exponenciais são contínuas e têm um dos dois aspectos básicos mostrados na figura 1, dependendo de se 0 < b < 1 ou b > 1. A figura 2 mostra os gráficos de algumas funções exponenciais específicas. OBSERVAÇÃO. Se b = 1, então a função é constante, uma vez que = = 1. Este caso não é de nosso interesse aqui, assim o excluímos da família das funções exponenciais. LOGARITMOS Lembre-se que, algebricamente, o logaritmo é um expoente. Mais precisamente, se b > 0 e b 1, então para valores positivos de x o logaritmo na base b de x é denotado por e é definido como sendo aquele expoente ao qual b deve ser elevado para produzir x. Por exemplo, Historicamente, os primeiros logaritmos a serem estudados foram os de base 10 chamados de logaritmos comuns. Para tais logaritmos, é usual suprimir referência explícita para a base e escrever log x e não . Mais recentemente, os logaritmos de base dois desempenharam logb(b x )=x para todos os valores reais de x b log x =x para x>0 Em outras palavras, a equação nos diz que as funções logb(b x ) e b log x cancelam o efeito de outra quando compostas em qualquer ordem; por exemplo DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA FUNÇÕES DEFINIDAS EXPLICITAMENTE E IMPLICITAMENTE Até agora, estávamos preocupados em diferenciar funções que são expressas na forma y = f (x). Dizemos que uma equação desta forma define y explicitamente como uma função de x, pois a variável y aparece sozinha de um lado da equação. Entretanto, algumas vezes as funções estão definidas com equações nas quais y não está sozinho de um lado; por exemplo, a equação yx + y +1 = x não está na forma y = f (x). Contudo, esta equação ainda define y como uma função de x, uma vez se pode reescrever como y = Assim dizemos que xy + y +1 = x define y implicitamente como uma função de x, sendo f (x) = Uma equação em x e y pode implicitamente definir mais do que uma função de x; por exemplo, se resolvermos a equação para y em termos de x, obtemos ; assim, encontramos duas funções que estão definidas implicitamente por , isto é e Os gráficos destas funções são semicírculos superiores e inferiores do círculo . y= y = - Em geral, se tivermos uma equação em x e y, então qualquer segmento de seu gráfico que passe pelo teste vertical pode ser visto como gráfico de una função definida pela equação. Assim fazemos a seguinte definição: Definição. Dizemos que uma dada equação em x e y define a função f implicitamente se o gráfico de y = f (x) coincidir com algum segmento do gráfico da equação. Assim, por exemplo, a equação define as funções e implicitamente, uma vez que os gráficos dessas funções são os segmentos do círculo . Às vezes, pode ser difícil ou impossível resolver uma equação em x e y para y em termos de x. Com persistência, a equação por exemplo, pode ser resolvida para y em termos de x, mas a álgebra é enfadonha e as fórmulas resultantes são complicadas. Por outro lado, a equação sen(xy) = y não pode ser resolvida para y em termos de x por qualquer método elementar. Assim, mesmo que uma equação em x e y possa definir uma ou mais funções de x, pode não ser prático ou possível achar fórmulas explícitas para aquelas funções. DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA Em geral, não é necessário resolver uma equação de y em termos de x, a fim de diferenciar as funções definidas pela equação. Para ilustrar isto, consideremos a equação xy = 1 Uma maneira de achar dy/dx é reescrever esta equação como da qual tem-se que Contudo, há uma outra maneira de obter esta derivada. Podemos diferenciar ambos os lados de xy = 1 antes de resolver para y em termos de x, tratando y como (não-especificado temporariamente) uma função diferenciável de x. Com esta abordagem, obtemos Se agora substituirmos na última expressão, obtemos que está de acordo com . Este método para obter derivadas é chamado de diferenciação implícita. Exemplo 1 Use a diferenciação implícita para achar dy/dx se Exemplo A partir de Se u for uma função diferenciável de x e r for um número racional, então a regra da cadeia dá lugar à seguinte generalização de DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS Agora obteremos fórmulas das derivadas para as funções logarítmicas e exponenciais e discutiremos as relações gerais entre e derivada de uma função um a um e a sua inversa. DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS O logaritmo natural desempenha um papel especial no cálculo que pode ser motivado diferenciando , onde b é uma base arbitrária. Para esta proposta, admitiremos que é diferenciável, e portanto contínua para x > 0. Também necessitaremos do limite Usando a definição de derivada, obtemos(com x em vez de v como variável). Assim, Mas a partir da fórmula , temos = 1/1n b; logo, podemos reescrever esta fórmula de derivada como No caso especial onde b = e, temos = 1n e = 1, logo esta fórmula torna-se Assim, entre todas as possíveis bases, a base b = e produz a fórmula mais simples da derivada para . Esta é uma das razões por que a função do logaritmo natural é preferida sobre todos os logaritmos no cálculo. Exemplo 1 Ache Solução. A partir de Quando possível as propriedades dos logaritmos devem ser usadas para converter produtos, quocientes e expoentes em somas, em diferenças e em múltiplos de constantes, antes de diferenciar uma função envolvendo logaritmos. Exemplo 2 DIFERENCIAÇÃO LOGARÍTMICA Consideremos agora uma técnica chamada diferenciação logarítmica, a qual é útil para diferenciar funções compostas de produtos, de quocientes e de potências. Exemplo A derivada de é relativamente difícil de ser calculada diretamente. Contudo, se primeiro tomarmos o logaritmo natural de ambos os lados e, então, usarmos suas propriedades, podemos escrever: Diferenciando ambos os lados em relação a x, resulta Assim, resolvendo para dy/dx e usando obtemos OBSERVAÇÃO.Uma vez que 1n y é definido apenas para y > 0, a diferenciação logarítmica de y = f(x) é válida apenas nos intervalos onde f(x) for positiva. Assim, a derivada mostrada no exemplo é válida no intervalo ( 2, + ), uma vez que a função dada é positiva para x > 2. Contudo, a fórmula é realmente válida também no intervalo ( - , 2). Isso pode ser visto Analogamente, x e x podem ser representadas com ângulos de triângulos retângulos mostrados na figura c e d. Esses triângulos revelam mais identidades úteis, como por exemplo: OBSERVAÇÃO. Não se ganha nada memorizando estas identidades; o que é importante é compreender o método usado para obtê-las. Exemplo A figura abaixo mostra um gráfico gerado por um computador de y = (sen x). Pode se pensar que este gráfico deva ser a reta y = x, uma vez que (sen x) = x. Por que isto não acontece? Solução. A relação (sen x) = x é válida no intervalo ; logo podemos dizer, com certeza, que os gráficos de y = (sen x) e y = x coincidem neste intervalo. Contudo, fora deste intervalo, a relação (sen x) = x não precisa ser válida. Por exemplo, se estiver no intervalo , então a quantidade x - estará no intervalo . Assim Desta forma,usando a identidade sen(x- ) = -sen x e o fato de que é uma função ímpar, podemos expressar (sen x) como Isso mostra que no intervalo , o gráfico de y = (sen x) coincide com a reta y = -(x- ), a qual tem inclinação -1 e um intercepto x em x = , o que está de acordo com a figura. DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Lembre-se que se f for uma função um a um, cuja a derivada é conhecida, então há duas maneiras básicas para obter uma fórmula de derivação para (x), podemos reescrever a equação y = (x) como x = f(y), e diferenciar implicitamente. Usaremos a diferenciação implícita para obter a fórmula de derivação para y = x. Reescrevendo esta equação como x = sen y e diferenciando implicitamente, obtemos Esta fórmula de derivada pode ser simplificada aplicando-se a fórmula , que foi deduzida a partir do triângulo da figura, resultando: Assim, mostramos que Se u for uma função diferenciável de x, então e a regra da cadeia produzem a seguinte fórmula generalizada da derivada O método usado para obter esta fórmula pode também ser usado para obter fórmulas generalizadas de derivadas para outras funções trigonométricas inversas. Estas fórmulas, válidas para -1< u < 1, são